集合初步（1）
集合的概念，集合的表示方法，集合之间的关系
知识讲解
一、集合的概念
1.集合
某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；
2.集合的性质
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
二、集合的表示
1.集合的三种表示方法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
例如：，
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
例如：大于的所有整数表示为：
方程的所有实数根表示为：{|}
图示法
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
2.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作；
正整数集，记作或；
整数集，记作；
有理数集，记作；
实数集，记作．
三、集合之间的关系
1.子集关系
定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；
2.真子集关系
对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或）
相等关系：对于两个集合与，如果，且
，那么集合与相等，记作
3.空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集
性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。
注意事项：
①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是
②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（）
③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或
④显然，，
4.子集个数问题
设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为
典型例题
一．选择题（共4小题）
1．下列六个关系式：①{a，b}?{b，a}②{a，b}={b，a}③0=?④0∈{0}⑤?∈{0}⑥??{0}其中正确的个数为（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．少于4个
2．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1}，设集合C={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，则集合C的真子集的个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
3．若A?B，A?C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（ ）
A．4
B．15
C．16
D．32
4．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值组成的集合为（ ）
A．{﹣1，0}
B．{0，1}
C．{﹣1，1}
D．{﹣1，0，1}
二．解答题（共11小题）
5．用适当的方法表示下列集合
①方程x（x2+2x+1）=0的解集；
②在自然数集内，小于1
000的奇数构成的集合；
③不等式x﹣2＞6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
6．（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值．
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a、b的值．
7．已知A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}．
（1）若1∈A，用列举法表示A；
（2）当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的集合B．
8．已知集合A={x|ax2﹣2x+1=0}．
（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；
（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
9．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|m﹣1≤x≤2m+1}，已知B?A．
（1）当x∈N时，求集合A的子集的个数；
（2）求实数m的取值范围．
10．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若B?A，求实数m的取值范围；
（2）若x∈Z，求A的非空真子集的个数．
11．已知方程ax2+x+b=0．
（1）若方程的解集为{1}，求实数a，b的值；
（2）若方程的解集为{1，3}，求实数a，b的值．
12．已知集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，若B?A，求实数a的取值范围．
13．设S={x|x=m+n，m、n∈Z}．
（1）若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1?x2是否属于S？
14．已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．集合初步（1）
集合的概念，集合的表示方法，集合之间的关系
知识讲解
一、集合的概念
1.集合
某些指定的对象集在一起成为集合．集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；
2.集合的性质
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
二、集合的表示
1.集合的三种表示方法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
例如：，
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．
例如：大于的所有整数表示为：
方程的所有实数根表示为：{|}
图示法
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
2.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作；
正整数集，记作或；
整数集，记作；
有理数集，记作；
实数集，记作．
三、集合之间的关系
1.子集关系
定义：若集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；
简单性质：1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；
2.真子集关系
对于两个集合与，若且，则集合是集合的真子集，记作（或）
相等关系：对于两个集合与，如果，且
，那么集合与相等，记作
3.空集
定义：不含任何元素的集合叫做空集
性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。
注意事项：
①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是
②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（）
③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或
④显然，，
4.子集个数问题
设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为
典型例题
一．选择题（共4小题）
1．下列六个关系式：①{a，b}?{b，a}②{a，b}={b，a}③0=?④0∈{0}⑤?∈{0}⑥??{0}其中正确的个数为（ ）
A．6个
B．5个
C．4个
D．少于4个
【解答】解：根据集合自身是自身的子集，可知①正确；
根据集合无序性可知②正确；
根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；
根据元素与集合之间可知④正确；
根据空集是任何集合的子集可知⑥正确．
故选：C．
2．已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1}，设集合C={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，则集合C的真子集的个数为（ ）
A．7
B．8
C．15
D．16
【解答】解：根据题意，集合A={﹣1，0，1}，B={0，1}，设集合C={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，
则C={﹣1，0，1，2}，有4个元素，
则C有24﹣1=15个真子集；
故选：C．
3．若A?B，A?C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（ ）
A．4
B．15
C．16
D．32
【解答】解：∵A?B，A?C，
∴A?（B∩C），
∵B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，
∴B∩C={0，2，4，6}，
∴A的个数为16，
故选：C．
4．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值组成的集合为（ ）
A．{﹣1，0}
B．{0，1}
C．{﹣1，1}
D．{﹣1，0，1}
【解答】解：由题意可得，集合A为单元素集，
（1）当a=0时，A={x|2x=0}={0}，此时集合A的两个子集是{0}，?，
（2）当a≠0时
则△=4﹣4a2=0解得a=±1，
当a=1时，集合A的两个子集是{1}，?，
当a=﹣1，此时集合A的两个子集是{﹣1}，?．
综上所述，a的取值为﹣1，0，1．
故选：D．
二．解答题（共11小题）
5．用适当的方法表示下列集合
①方程x（x2+2x+1）=0的解集；
②在自然数集内，小于1
000的奇数构成的集合；
③不等式x﹣2＞6的解的集合；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．
【解答】解：①解方程x（x2+2x+1）=0得：
x=0或x=﹣1，
故方程x（x2+2x+1）=0的解集为{﹣1，0}；
②在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合可表示为：{x|x=2n+1，n≤499，且n∈N}；
③解不等式x﹣2＞6得：
x＞8．
故不等式x﹣2＞6的解集为{x|x＞8}；
④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合是：{x|0.5＜x≤6，且x∈N}．
6．（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值．
（2）已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a、b的值．
【解答】解：（1）由题意：
a+2=1或（a+1）2=1或a2+3a+3=1，
解得a=﹣1或a=﹣2或a=0．
据元素的互异性可排除﹣1，﹣2，∴a=0．
（2）由题意或，
解得或或，
根据集合中元素的互异性得
或．
7．已知A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}．
（1）若1∈A，用列举法表示A；
（2）当A中有且只有一个元素时，求a的值组成的集合B．
【解答】解：A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}．
（1）当1∈A时，方程ax2+2x+1=0的实数根为1，
∴a+2+1=0，解得a=﹣3；
∴方程为﹣3x2+2x+1=0，
解得x=1或x=﹣；
∴A={1，﹣}；
（2）当a=0时，方程ax2+2x+1=0为2x+1=0，
解得x=﹣，A={﹣}；
当a≠0时，若集合A只有一个元素，
由一元二次方程ax2+2x+1=0判别式△=4﹣4a=0，
解得a=1；
综上，当a=0或a=1时，集合A只有一个元素．
所以a的值组成的集合B={0，1}．
8．已知集合A={x|ax2﹣2x+1=0}．
（1）若A中恰好只有一个元素，求实数a的值；
（2）若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）若A中恰好只有一个元素，则方程ax2﹣2x+1=0只有一个解．
当a=0时，方程ax2﹣2x+1=0等价为﹣2x+1=0，即x=，满足条件．
当a≠0，判别式△=4﹣4a=0，解得a=1．
所以a=0或a=1．
（2）若A中至少有一个元素，则由（1）知，当集合只有一个元素时a=0或a=1．
当集合A有2个元素时，满足条件a≠0且△=4﹣4a＞0，解得a＜1且a≠0．
综上实数a的取值范围a≤1．
9．设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|m﹣1≤x≤2m+1}，已知B?A．
（1）当x∈N时，求集合A的子集的个数；
（2）求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵当x∈N时，A={0，1，2}，∴集合A的子集的个数为23=8．
（2）①当m﹣1＞2m+1，即m＜﹣2时，B=?，符合题意；
②当m﹣1≤2m+1，即m≥﹣2时，B≠?．由B?A，借助数轴，如图所示，
得解得0≤m≤，所以0≤m≤．
综合①②可知，实数m的取值范围为．
10．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若B?A，求实数m的取值范围；
（2）若x∈Z，求A的非空真子集的个数．
【解答】解：（1）①若B≠?，m+1≤2m﹣1，∴m≥2，
∵B?A；
∴，解得﹣3≤m≤3，
∴2≤m≤3；
②若B=?，满足B?A，则：m+1＞2m﹣1；
∴m＜2；
∴实数m的取值范围为：（﹣∞，3]．
（2）x∈Z，A={x|﹣2≤x≤5}={﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，
∴A的非空真子集的个数为28﹣2=254．
11．已知方程ax2+x+b=0．
（1）若方程的解集为{1}，求实数a，b的值；
（2）若方程的解集为{1，3}，求实数a，b的值．
【解答】解：（1）若方程的解集为{1}，则
①若a=0，则1+b=0，
解得a=0，b=﹣1；
②若a≠0，则a+1+b=0且1﹣4ab=0，
解得a=b=﹣．
综上所述，a=0，b=﹣1或a=b=﹣．
（2）依题意得：1+3=﹣，1×3=，
解得a=﹣，b=﹣．
12．已知集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0，x∈R}，若B?A，求实数a的取值范围．
【解答】解：A={x|x2+4x=0，x∈R}={0，﹣4}，
若A∪B=A，则B?A，
方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的判别式△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8=8（a+1），
①若B=?，即△=8（a+1）＜0．即a＜﹣1，满足条件，B?A．
②若B={0}或{﹣4}，则△=8（a+1）=0，即a=﹣1，
此时方程为x2=0，解得x=0，即此时B={0}成立
③若B={0，﹣4}，则△=8（a+1）＞0，即a＞﹣1，
则，解得a=1．
综上a≤﹣1或a=1．
13．设S={x|x=m+n，m、n∈Z}．
（1）若a∈Z，则a是否是集合S中的元素？
（2）对S中的任意两个x1、x2，则x1+x2、x1?x2是否属于S？
【解答】解：（1）∵S={x|x=m+n，m、n∈Z}，a∈Z，
∴a=a+0×∈S．
∴a是集合S的元素．
（2）不妨设x1=m+n，x2=p+q，m、n、p、q∈Z．
则x1+x2=（m+n）+（p+q）=（m+n）+（p+q），
∵m、n、p、q∈Z．∴p+q∈Z，m+n∈Z．∴x1+x2∈S，
x1?x2=（m+n）?（p+q）=（mp+2nq）+（mq+np），m、n、p、q∈Z．
故mp+2nq∈Z，mq+np∈Z．
∴x1?x2∈S．
综上，x1+x2、x1?x2都属于S．
14．已知集合A={x|（m﹣1）x2+3x﹣2=0}，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由．
【解答】解：存在M={1，}满足条件；理由如下：
若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，
即方程（m﹣1）x2+3x﹣2=0只有一个根，
则m﹣1=0，或，
解得：m=1，或m=，
故M={1，}．
