函数的应用
知识讲解
一、常见的函数模型
1.一次函数模型：（、为常数，）；
2.反比例函数模型：（、为常数，）；
3.二次函数模型：（、、为常数，）；
4.指数函数模型：f（x）＝abx＋c（、、为常数，，，）；
5.对数函数模型：（、、为常数，，）；
说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．
6.幂函数模型：（、、为常数，，）；
7.分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
二、数学建模
含义：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．
可用框图表示为
三种函数增长性的比较
类型：指数函数，对数函数，幂函数
1.在区间上，尽管函数，和都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快．会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
2.在区间上，尽管函数，和都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的递减速度越来越快．会超过并远远大于的递减速度，而的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK（x）=取函数f（x）=a﹣|x|（a＞1）．当K=时，函数fK（x）在下列区间上单调递减的是（ ）
A．（﹣∞，0）
B．（﹣a，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（1，+∞）
2．函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]?M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
①f（x）=x2（x≥0）；
②f（x）=ex﹣1（x∈R）；
③；
④．
A．①②③④
B．①③
C．①③④
D．①②④
3．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．（2，3]
B．（2，3）
C．[2，3]
D．（2，6]
4．东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，又再减少10张床租出，依此变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应收取租金（ ）
A．14元
B．16元
C．14元或16元
D．18元
5．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d（km）（d＜200km）的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n（km）以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．（经济效益=市场销售价值﹣生产成本﹣运输成本），则n的值为（ ）
项目
作物
水果
蔬菜
稻米
甘蔗
市场价格（元/kg）
8
3
2
1
生产成本（元/kg）
3
2
1
0.4
运输成本（元/kg?km）
0.06
0.02
0.01
0.01
单位面积相对产量（kg）
10
15
40
30
A．50
B．60
C．100
D．120
二．填空题（共4小题）
6．某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a﹣x）?x2成正比；②当时，y=a3，并且技术改造投入满足，其中t为常数且t∈（1，2]．则函数y=f（x）表达式为
，定义域
．
7．函数f（x）=的单调减区间
．
8．已知函数已知函数f（x）=，则f（f（4））
；函数f（x）的单调递减区间是
．
9．已知函数g（x）=x+（a＞0）在上是减函数，在上是增函数．若f（x）=x+定义域为[1，m]，值域为[4，5]，则m的取值范围为
．
三．解答题（共3小题）
10．已知函数f（x）=x|x﹣2|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．
11．已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|．
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）求集合M={m|m使方程f（x）=mx有四个不相等的实根}．
12．设函数f（x）=的定义域为D，其中a＜1．
（1）当a=﹣3时，写出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（2）若对于任意的x∈[0，2]∩D，均有f（x）≥kx2成立，求实数k的取值范围．函数的应用
知识讲解
一、常见的函数模型
1.一次函数模型：（、为常数，）；
2.反比例函数模型：（、为常数，）；
3.二次函数模型：（、、为常数，）；
4.指数函数模型：f（x）＝abx＋c（、、为常数，，，）；
5.对数函数模型：（、、为常数，，）；
说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色．
6.幂函数模型：（、、为常数，，）；
7.分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛．
二、数学建模
含义：数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．
可用框图表示为
三种函数增长性的比较
类型：指数函数，对数函数，幂函数
1.在区间上，尽管函数，和都是增函数．但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的增长速度越来越快．会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
2.在区间上，尽管函数，和都是减函数．但它们的递减速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着的增大，的递减速度越来越快．会超过并远远大于的递减速度，而的递减速度则会越来越慢．因此，总会存在一个，当时，就有．
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数：fK（x）=取函数f（x）=a﹣|x|（a＞1）．当K=时，函数fK（x）在下列区间上单调递减的是（ ）
A．（﹣∞，0）
B．（﹣a，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（1，+∞）
【解答】解：因为?x=﹣1，x=1，
所以：fK（x）==，
因为a＞1，
所以当x≤﹣1时，函数递增，
当﹣1＜x＜1时，为常数函数，
当x≥1时，为减函数．
故选：D．
2．函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]?M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
①f（x）=x2（x≥0）；
②f（x）=ex﹣1（x∈R）；
③；
④．
A．①②③④
B．①③
C．①③④
D．①②④
【解答】解：①由二次函数的单调性知道：函数f（x）=x2在x≥0时单调递增，令x2=2x，解得x=0或2，f（x）在区间[0，2]上的值域为[0，4]．
由此可知：区间[0，2]是函数f（x）=x2的倍值区间．
②由于函数y=ex在R上单调递增，所以f（x）=ex﹣1在R上单调递增．
令ex﹣1=2x，再令g（x）=ex﹣2x﹣1，求导得g′（x）=ex﹣2，令ex﹣2=0，解得x=ln2．
经判断得到：g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时，g（x）取得最小值g（ln2）=2﹣1﹣2ln2=1﹣ln4＜0，
又g（2）=e2﹣5＞0，g（1）=e﹣3＜0，所以ex﹣1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且eb﹣2b﹣1=0．
可知：f（0）=0，f（b）=2b，满足题意，所以区间[0，b]是函数f（x）=ex﹣1的倍值区间．
③由解得x=0或1；又当0≤x≤1时，≤0，所以函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以区间[0，1]是函数f（x）的倍值区间．
④要使函数f（x）有意义，则满足，取a＞1，令，则，解得．
由于函数y=logax在x＞0时单调递增，所以当a＞1时，函数f（x）在区间上单调递增，所以区间是函数f（x）的倍值区间．
综上可知①②③④皆正确．
故选：A．
3．已知函数f（x）=是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．（2，3]
B．（2，3）
C．[2，3]
D．（2，6]
【解答】解：要使函数是R上的增函数，
则满足当x＜2时，函数为增函数，参数a﹣1＞1，得a＞2，
当x≥2时，函数为增函数，此时函数的导数f′（x）=3x2﹣2a≥0恒成立，即a≤x2，
∵x≥2，∴x2≥6，则a≤6，
且f（2）≥（a﹣1）2﹣7，
即8﹣4a+1≥（a﹣1）2﹣7，
即（a﹣1）2≤16﹣4a，
即a2+2a﹣15≤0，
得﹣5≤a≤3，
综上得2＜a≤3，
故选：A．
4．东方旅社有100张普通客床，每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出，若每床每夜收费提高2元，便减少10张床租出，再提高2元，又再减少10张床租出，依此变化下去，为了投资少而获利大，每床每夜应收取租金（ ）
A．14元
B．16元
C．14元或16元
D．18元
【解答】解：设：每床每夜x元，收入为y．（10≤x＜30）
∴y=x×[100﹣10×]
∴y=﹣5x2+150x=﹣5（x﹣15）2+1125
所以一百张床位的条件下每张床15元来的人最多．
若不存在提高一元的情况下，为了节省酒店的清洁电气等开支，
则人少的情况下较好，所以最为经济的是14或16元每夜每床．
故选：C．
5．某农场，可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d（km）（d＜200km）的中心城市，其产销资料如表：当距离d达到n（km）以上时，四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高．（经济效益=市场销售价值﹣生产成本﹣运输成本），则n的值为（ ）
项目
作物
水果
蔬菜
稻米
甘蔗
市场价格（元/kg）
8
3
2
1
生产成本（元/kg）
3
2
1
0.4
运输成本（元/kg?km）
0.06
0.02
0.01
0.01
单位面积相对产量（kg）
10
15
40
30
A．50
B．60
C．100
D．120
【解答】解：设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为y1、y2、y3、y4，
则y1=50﹣0.6d，y2=15﹣0.3d，y3=40﹣0.4d，y4=18﹣0.3d，
由即：
解得：50＜d＜200，
∴n=50，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
6．某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与（a﹣x）?x2成正比；②当时，y=a3，并且技术改造投入满足，其中t为常数且t∈（1，2]．则函数y=f（x）表达式为 f（x）=8（a﹣x）x2 ，定义域 ．
【解答】解：由题意，设y=k（a﹣x）?x2
∵当时，y=a3，∴k=8，∴y=8（a﹣x）?x2
∵，∴
故答案为f（x）=8（a﹣x）x2；
．
7．函数f（x）=的单调减区间 [﹣1，2] ．
【解答】解：由﹣x2﹣2x+8≥0得x2+2x﹣8≤0，
解得﹣4≤x≤2，
即函数的定义域为[﹣4，2]，
设t=﹣x2﹣2x+8，
则t=﹣（x+1）2+9，对称轴为t=﹣1，
则y=为增函数，
则函数f（x）的减区间即求出函数t=﹣（x+1）2+9的减区间，
即﹣1≤x≤2，
故函数f（x）的单调递减区间为[﹣1，2]，
故答案为：[﹣1，2]
8．已知函数已知函数f（x）=，则f（f（4）） 1 ；函数f（x）的单调递减区间是 [1，2] ．
【解答】解：f（4）=log24﹣1=1；
∴f（f（4））=f（1）=﹣12+2×1=1；
x≤2时，f（x）=﹣x2+2x，对称轴为x=1；
∴f（x）在[1，2]上单调递减；
∴f（x）的单调递减区间为[1，2]．
故答案为：1，[1，2]．
9．已知函数g（x）=x+（a＞0）在上是减函数，在上是增函数．若f（x）=x+定义域为[1，m]，值域为[4，5]，则m的取值范围为 [2，4] ．
【解答】解：f（x）=x+在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，
则x=2时，f（x）=4为最小值，当x=1时，f（x）=5为最大值，
在[2，+∞）上，f（4）=5，
则在定义域为[1，m]，有值域为[4，5]，
则有m的取值范围为[2，4]．
故答案为：[2，4]．
三．解答题（共3小题）
10．已知函数f（x）=x|x﹣2|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．
【解答】解：（1）函数f（x）=x|x﹣2|=
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．
（2）不等式f（x）＜3，即
x|x﹣2|＜3，∴，或，
∴2≤x＜3
或
x＜2，∴不等式f（x）＜3的解集为{x|x＜3
}．
（3）当0＜a≤1
时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的最大值是
f（a）=a（2﹣a）．
当1＜a≤2
时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，
此时，f（x）在[0，a]上的上的最大值是
f（1）=1．
综上，当0＜a≤1
时，此时f（x）在[0，a]上的
上的最大值是
f（a）=a（2﹣a）．
当1＜a≤2
时，f（x）在[0，a]上的
上的最大值是1．
11．已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|．
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）求集合M={m|m使方程f（x）=mx有四个不相等的实根}．
【解答】解：（1）f（x）=|（x﹣2）2﹣1|，函数图象如图，
∴f（x）的单调递增区间是（1，2），（3，+∞），单调递减区间是（﹣∞，1），（2，3）；
（2）由图象，考虑y=mx与抛物线相切时，m=4﹣2，
∵y=mx与图象有四个交点，
∴0＜m＜4﹣2，即使方程f（x）=mx有四个不相等的实根时，0＜m＜4﹣2，
∴M={m|0＜m＜4﹣2}．
12．设函数f（x）=的定义域为D，其中a＜1．
（1）当a=﹣3时，写出函数f（x）的单调区间（不要求证明）；
（2）若对于任意的x∈[0，2]∩D，均有f（x）≥kx2成立，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）单调递增区间（﹣∞，1]，单调递减区间是[1，+∞）．
（2）x=0时，不等式f（x）≥kx2成立，
x≠0时，f（x）≥kx2成立，等价于k≤．
设h（x）=x（|x﹣1|﹣a）=．
①a≤﹣1时，h（x）在（0，2]上单调递增，∴0＜h（x）≤h（2），即0＜h（x）≤2（1﹣a），
∴k≤，
②当﹣1＜a＜0时，h（x）在（0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
∵h（2）=2﹣2a＞=h（），
∴0＜h（x）≤h（2）
∴0＜h（x）≤2（1﹣a），
∴k≤；
③当0≤a＜1时，h（x）在（0，]上单调递增，在[，1﹣a）上单调递减，在（1﹣a，1）上单调递减，在[1，1+a）上单调递增，在（1+a，2]上单调递增，
∴h（1）≤h（x）≤max{h（2），h（}且h（x）≠0，
∵h（2）=2﹣2a＞=h（），
∴﹣a≤h（x）≤2﹣2a，且h（x）≠0．
当0≤a＜时，∵|2﹣2a|＞|﹣a|，∴k≤；
当≤a＜1时，∵|2﹣2a|≤|﹣a|，∴k≤．
综上所述，当a＜时，k≤；当≤a＜1时，k≤．
