2018年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）
一、选择题：
1．（2018·全国Ⅲ卷理）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2018·全国Ⅲ卷理） =（ ）
A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i
3．（2018·全国Ⅲ卷理）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构建的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2018·全国Ⅲ卷理）若 ，则 =（ ）
A． B． C．- D．-
5．（2018·全国Ⅲ卷理） 的展开式中x4的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
6．（2018·全国Ⅲ卷理）直线 分别与 轴， 轴交于点 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2018·全国Ⅲ卷理）函数 的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2018·全国Ⅲ卷理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
9．（2018·全国Ⅲ卷理） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
10．（2018·全国Ⅲ卷理）设 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2018·全国Ⅲ卷理）设 是双曲线 （ ）的左，右焦点， 是坐标原点。过 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
12．（2018·全国Ⅲ卷理）设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018·全国Ⅲ卷理）已知 ， ， ，若 ，则 。
14．（2018·全国Ⅲ卷理）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
15．（2018·全国Ⅲ卷理）函数 在 的零点个数为 ．
16．（2018·全国Ⅲ卷理）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ．
三、解答题
17．（2018·全国Ⅲ卷理）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
18．（2018·全国Ⅲ卷理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成项目生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随即分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ，
19．（2018·全国Ⅲ卷理）如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明：平面 平面
（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。
20．（2018·全国Ⅲ卷理）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明：
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明： 成等差数列，并求该数列的公差。
21．（2018·全国Ⅲ卷理）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（2）若 是 的极大值点，求a．
四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2018·全国Ⅲ卷理）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ( 为参数)，过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点
（1）求 的取值范围
（2）求 中点 的轨迹的参数方程
五、选考题[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018·全国Ⅲ卷理）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： B=
所以
故答案为：C
【分析】先解出集合A，再取交集.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】(1+i)（2-i）=2-i2+i=3+i
故答案为：D
【分析】将等式化简即可.
3．【答案】A
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】由三视图定义可知选A
【分析】从上往下看，小长方体位于大长方体内，故为虚线.
4．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦.
5．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 通式
令10-3r=4 r=2 所以 的系数是
故答案为：C
【分析】先由二项式定理的通式求出x的指数，用r表示，再令其指数为4即可解出r.
6．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；解三角形
【解析】【解答】令x=0所以B（0，-2），令y=0，则A（-2，0），所以
又因为P到直线距离 所以
则
故答案为：A
【分析】由点到直线距离求出高，两点间距离公式求边.
7．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；导数的几何意义
【解析】【解答】
因为y是偶函数，则只需考虑
当 时，
则 时
故答案为：D
【分析】先由函数奇偶性判断出只需考虑 情形，再由导数可知，函数先增后减.
8．【答案】B
【知识点】一元二次不等式；极差、方差与标准差；二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】由题意可知x服从二项分布
则
又
所以 =0.6
故答案为：B
【分析】由题可知x服从二项分布，由二项分布方差求出P，再由 排除其中-P.
9．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程，即可求出C.
10．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质
【解析】【解答】当球心在三棱柱内时，体积最大，此时，如图，
设等边三角形边长为a，则
球心O在 内射影为 中心O1，连接OB
则OB=4，O1B=2 ，所以OO1=2，则O1D=6
则
故答案为：B
【分析】先分析出顶点在球上的位置，找到最大值点，在求出三棱锥体积.
11．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；余弦定理的应用
【解析】【解答】因为 ，直线OP的斜率为 ，则
则
则
故答案为：C
【分析】先分析 三边长，再由余弦定理找到a，b，c三者之间关系.
12．【答案】B
【知识点】对数的概念与表示；指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】解： 所以ab＜0
又 则a+b＜0
故答案为：B
【分析】由对数定义，对数运算法则，判断出ab，a+b的正负
13．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为
又
所以
【分析】由向量坐标运算得到 坐标，再由共线可求出
14．【答案】-3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：
所以
【分析】先求导，再求出x=0处导数值，即可得到答案
15．【答案】3
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】 ，因为
则 共三个零点，填3
【分析】先求出 整体范围，再在该范围内余弦值为零的零点共三个.
16．【答案】2
【知识点】平面向量的基本定理；抛物线的应用
【解析】【解答】设
设 所以
又 所以
【分析】直线与抛物线联立方程组，再将垂直用向量转化为坐标之间的关系，代入韦达定理即可.
17．【答案】（1）解：因为 ，a5=4a3
q4=4q2 q=±2
或
（2）解：
又
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】由等比数列定义求出q，再由等比数列求和公式得到 再解出m.
18．【答案】（1）解：第二种生产方式效率更高，因为第二组多数数据集中在70min~80min之间，第一组多数数据集中在80min~90min，所以第一组完成任务的平均时间大于第二组， ，
E1＞ 则第二种生产方式的效率更高。
（2）解：由题意
超过m 不超过m
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
（3）解：
有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验
【解析】【分析】第一问是算平均数，第二三问是列出连表，算独立性检验.
19．【答案】（1）解：因为 ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD
又DM 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC
又 即 又DMC 面AMD
所以 平面
（2）解：∵△ABC的面积为定值，
∴要使三棱锥M-ABC体积最大，则三棱锥的高最大，
此时M为圆弧的中点，
建立以0为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
∵正方形ABCD的边长为2，
∴A (2，-1， 0)，B(2，1，0)，M(0，0，1) ，
则平面MCD的法向量= ( 1 ， 0， 0) ，
设平面MAB的法向量为= (x ，y，z)
则= (0， 2，0) ，= (-2，1， 1)，
由.=2y=0 ， .=-2x+y+z=0 ，
令x=1
则y=0， z=2 ，即= (1 ，0，2)，
则cos<，>=
则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα=
【知识点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】由线面垂直，得到面面垂直，第二问由二面角定义，做出二面角即可
20．【答案】（1）解：设
设A（x1，y1）B（x2，y2）
所以
又
所以 所以
（2）解：F（1，0） 所以P（1，-2m）在抛物线上
所以3+16m2=12 16m2=9
即
又
同理
所以
所以
所以 为等差数列
2d=
=
=
=
=±
d=
【知识点】等差数列的性质；椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）联立方程解，利用M在椭圆内部得到m范围，再由k，m关系，得到k范围；
（2）由向量运算，将P坐标用m表示，在椭圆上求出m，再由两点间距离公式，得到|FA|、|FB|用韦达定理表示，得到d.
21．【答案】（1）证明：当a=0时
设函数g（x）=f'（x）
则g'（x）=
当-10时，g'(x)>0.故当x>-1时，g(x)≥g(0)=0
且仅当x=0时，g（x）=0
从而f'（x）≥0，当且仅当x=0时，f'（x）=0
所以f（x）在（-1，+∞）单调递增
又f（0）=0，
故当-10时，f（x）>0
（2）解：
2a(x+1)2ln(x+1)+(2ax+1)(x+1)+ax2+2ax-1≤0
2a(x+1)2ln(x+1)+3ax2+4ax+a≤0
a[2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x] ≤-x
设h(x)= 2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x
则 =4(x+1)ln(x+1)+2(x+1)+6x+4 =6＞0 h(0)=0
所以在x=0邻域内，x＞0时，h(x) ＞0；x＜0时，h(x) ＜0
x＞0时，a≤ 由洛必达法则得a≤-
x＜0时，a≥ 由洛必达法则得a≥-
综上所述：a=-
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数的导数，研究其正负得到 的单调性，从而得到 ，即 在 ，因此 ；（2）由函数的导数研究函数的极值.
22．【答案】（1）解：直线 所以
（2）解：l的参数方程为 （t为参数， ＜α ）
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP= ，且tA，tB满足
于是tA+tB= ，tP = ，
又P点的坐标（x，y）满足
所以点P的轨迹的参数方程是
【知识点】直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程；圆的参数方程
【解析】【分析】由直线方程，直线与圆的位置关系中，点到直线距离公式求出 范围，再由点差法求弦中点问题.
23．【答案】（1）解：
（2）解：由（1）中可得：a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b取最小值，
所以a+b的最小值为5.
【知识点】一次函数的性质与图象；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）画图像，分段函数；（2）转化为一次函数分析.
1 / 12018年高考理数真题试卷（全国Ⅲ卷）
一、选择题：
1．（2018·全国Ⅲ卷理）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： B=
所以
故答案为：C
【分析】先解出集合A，再取交集.
2．（2018·全国Ⅲ卷理） =（ ）
A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】(1+i)（2-i）=2-i2+i=3+i
故答案为：D
【分析】将等式化简即可.
3．（2018·全国Ⅲ卷理）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构建的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】由三视图定义可知选A
【分析】从上往下看，小长方体位于大长方体内，故为虚线.
4．（2018·全国Ⅲ卷理）若 ，则 =（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦.
5．（2018·全国Ⅲ卷理） 的展开式中x4的系数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】 通式
令10-3r=4 r=2 所以 的系数是
故答案为：C
【分析】先由二项式定理的通式求出x的指数，用r表示，再令其指数为4即可解出r.
6．（2018·全国Ⅲ卷理）直线 分别与 轴， 轴交于点 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；解三角形
【解析】【解答】令x=0所以B（0，-2），令y=0，则A（-2，0），所以
又因为P到直线距离 所以
则
故答案为：A
【分析】由点到直线距离求出高，两点间距离公式求边.
7．（2018·全国Ⅲ卷理）函数 的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；导数的几何意义
【解析】【解答】
因为y是偶函数，则只需考虑
当 时，
则 时
故答案为：D
【分析】先由函数奇偶性判断出只需考虑 情形，再由导数可知，函数先增后减.
8．（2018·全国Ⅲ卷理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 （ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3
【答案】B
【知识点】一元二次不等式；极差、方差与标准差；二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】由题意可知x服从二项分布
则
又
所以 =0.6
故答案为：B
【分析】由题可知x服从二项分布，由二项分布方差求出P，再由 排除其中-P.
9．（2018·全国Ⅲ卷理） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程，即可求出C.
10．（2018·全国Ⅲ卷理）设 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质
【解析】【解答】当球心在三棱柱内时，体积最大，此时，如图，
设等边三角形边长为a，则
球心O在 内射影为 中心O1，连接OB
则OB=4，O1B=2 ，所以OO1=2，则O1D=6
则
故答案为：B
【分析】先分析出顶点在球上的位置，找到最大值点，在求出三棱锥体积.
11．（2018·全国Ⅲ卷理）设 是双曲线 （ ）的左，右焦点， 是坐标原点。过 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P。若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式；余弦定理的应用
【解析】【解答】因为 ，直线OP的斜率为 ，则
则
则
故答案为：C
【分析】先分析 三边长，再由余弦定理找到a，b，c三者之间关系.
12．（2018·全国Ⅲ卷理）设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的概念与表示；指数式与对数式的互化；换底公式的应用
【解析】【解答】解： 所以ab＜0
又 则a+b＜0
故答案为：B
【分析】由对数定义，对数运算法则，判断出ab，a+b的正负
二、填空题
13．（2018·全国Ⅲ卷理）已知 ， ， ，若 ，则 。
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：因为
又
所以
【分析】由向量坐标运算得到 坐标，再由共线可求出
14．（2018·全国Ⅲ卷理）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
【答案】-3
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：
所以
【分析】先求导，再求出x=0处导数值，即可得到答案
15．（2018·全国Ⅲ卷理）函数 在 的零点个数为 ．
【答案】3
【知识点】余弦函数的图象
【解析】【解答】 ，因为
则 共三个零点，填3
【分析】先求出 整体范围，再在该范围内余弦值为零的零点共三个.
16．（2018·全国Ⅲ卷理）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点．若 ，则 ．
【答案】2
【知识点】平面向量的基本定理；抛物线的应用
【解析】【解答】设
设 所以
又 所以
【分析】直线与抛物线联立方程组，再将垂直用向量转化为坐标之间的关系，代入韦达定理即可.
三、解答题
17．（2018·全国Ⅲ卷理）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
【答案】（1）解：因为 ，a5=4a3
q4=4q2 q=±2
或
（2）解：
又
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和
【解析】【分析】由等比数列定义求出q，再由等比数列求和公式得到 再解出m.
18．（2018·全国Ⅲ卷理）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成项目生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随即分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ，
【答案】（1）解：第二种生产方式效率更高，因为第二组多数数据集中在70min~80min之间，第一组多数数据集中在80min~90min，所以第一组完成任务的平均时间大于第二组， ，
E1＞ 则第二种生产方式的效率更高。
（2）解：由题意
超过m 不超过m
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
（3）解：
有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验
【解析】【分析】第一问是算平均数，第二三问是列出连表，算独立性检验.
19．（2018·全国Ⅲ卷理）如图，边长为2的正方形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明：平面 平面
（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值。
【答案】（1）解：因为 ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD
又DM 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC
又 即 又DMC 面AMD
所以 平面
（2）解：∵△ABC的面积为定值，
∴要使三棱锥M-ABC体积最大，则三棱锥的高最大，
此时M为圆弧的中点，
建立以0为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图
∵正方形ABCD的边长为2，
∴A (2，-1， 0)，B(2，1，0)，M(0，0，1) ，
则平面MCD的法向量= ( 1 ， 0， 0) ，
设平面MAB的法向量为= (x ，y，z)
则= (0， 2，0) ，= (-2，1， 1)，
由.=2y=0 ， .=-2x+y+z=0 ，
令x=1
则y=0， z=2 ，即= (1 ，0，2)，
则cos<，>=
则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值sinα=
【知识点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】由线面垂直，得到面面垂直，第二问由二面角定义，做出二面角即可
20．（2018·全国Ⅲ卷理）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明：
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明： 成等差数列，并求该数列的公差。
【答案】（1）解：设
设A（x1，y1）B（x2，y2）
所以
又
所以 所以
（2）解：F（1，0） 所以P（1，-2m）在抛物线上
所以3+16m2=12 16m2=9
即
又
同理
所以
所以
所以 为等差数列
2d=
=
=
=
=±
d=
【知识点】等差数列的性质；椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）联立方程解，利用M在椭圆内部得到m范围，再由k，m关系，得到k范围；
（2）由向量运算，将P坐标用m表示，在椭圆上求出m，再由两点间距离公式，得到|FA|、|FB|用韦达定理表示，得到d.
21．（2018·全国Ⅲ卷理）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（2）若 是 的极大值点，求a．
【答案】（1）证明：当a=0时
设函数g（x）=f'（x）
则g'（x）=
当-10时，g'(x)>0.故当x>-1时，g(x)≥g(0)=0
且仅当x=0时，g（x）=0
从而f'（x）≥0，当且仅当x=0时，f'（x）=0
所以f（x）在（-1，+∞）单调递增
又f（0）=0，
故当-10时，f（x）>0
（2）解：
2a(x+1)2ln(x+1)+(2ax+1)(x+1)+ax2+2ax-1≤0
2a(x+1)2ln(x+1)+3ax2+4ax+a≤0
a[2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x] ≤-x
设h(x)= 2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x
则 =4(x+1)ln(x+1)+2(x+1)+6x+4 =6＞0 h(0)=0
所以在x=0邻域内，x＞0时，h(x) ＞0；x＜0时，h(x) ＜0
x＞0时，a≤ 由洛必达法则得a≤-
x＜0时，a≥ 由洛必达法则得a≥-
综上所述：a=-
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数的导数，研究其正负得到 的单调性，从而得到 ，即 在 ，因此 ；（2）由函数的导数研究函数的极值.
四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2018·全国Ⅲ卷理）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ( 为参数)，过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点
（1）求 的取值范围
（2）求 中点 的轨迹的参数方程
【答案】（1）解：直线 所以
（2）解：l的参数方程为 （t为参数， ＜α ）
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP= ，且tA，tB满足
于是tA+tB= ，tP = ，
又P点的坐标（x，y）满足
所以点P的轨迹的参数方程是
【知识点】直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程；圆的参数方程
【解析】【分析】由直线方程，直线与圆的位置关系中，点到直线距离公式求出 范围，再由点差法求弦中点问题.
五、选考题[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018·全国Ⅲ卷理）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
【答案】（1）解：
（2）解：由（1）中可得：a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b取最小值，
所以a+b的最小值为5.
【知识点】一次函数的性质与图象；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）画图像，分段函数；（2）转化为一次函数分析.
1 / 1
