2018年高考文数真题试卷（全国Ⅲ卷）
一、选择题
1．（2018·全国Ⅲ卷理）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： B=
所以
故答案为：C
【分析】先解出集合A，再取交集.
2．（2018·全国Ⅲ卷理） =（ ）
A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】(1+i)（2-i）=2-i2+i=3+i
故答案为：D
【分析】将等式化简即可.
3．（2018·全国Ⅲ卷文）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】由三视图定义可知选A.
【分析】从上往下看，小长方体位于大长方体内，故为虚线.
4．（2018·全国Ⅲ卷理）若 ，则 =（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦.
5．（2018·全国Ⅲ卷文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】B
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：p=1-0.45-0.15=0.4
故答案为：B
【分析】根据对立事件进行解答
6．（2018·全国Ⅲ卷文）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】f（x）=
函数的最小正周期为.
故答案为：C
【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦转换公式，将函数化简，利用正弦函数的周期性，即可得出函数的最小正周期.
7．（2018·全国Ⅲ卷文）下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】f（x）=lnx与f（2-x）=ln（2-x）关于x=1对称，
故答案为：B
【分析】根据函数对称性找到f（2-x）
8．（2018·全国Ⅲ卷理）直线 分别与 轴， 轴交于点 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；解三角形
【解析】【解答】令x=0所以B（0，-2），令y=0，则A（-2，0），所以
又因为P到直线距离 所以
则
故答案为：A
【分析】由点到直线距离求出高，两点间距离公式求边.
9．（2018·全国Ⅲ卷理）函数 的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；导数的几何意义
【解析】【解答】
因为y是偶函数，则只需考虑
当 时，
则 时
故答案为：D
【分析】先由函数奇偶性判断出只需考虑 情形，再由导数可知，函数先增后减.
10．（2018·全国Ⅲ卷文）已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的应用
【解析】【解答】 因为a=b
则渐近线方程为y=±x
所以（4，0）到渐近线距离d=
故答案为：D
【分析】利用离心率得到渐近线斜率，再用点到直线距离公式
11．（2018·全国Ⅲ卷理） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程，即可求出C.
12．（2018·全国Ⅲ卷理）设 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质
【解析】【解答】当球心在三棱柱内时，体积最大，此时，如图，
设等边三角形边长为a，则
球心O在 内射影为 中心O1，连接OB
则OB=4，O1B=2 ，所以OO1=2，则O1D=6
则
故答案为：B
【分析】先分析出顶点在球上的位置，找到最大值点，在求出三棱锥体积.
二、填空题
13．（2018·全国Ⅲ卷文）已知向量 ， ， ，若 ，则 。
【答案】
【知识点】共线（平行）向量；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为
又
所以
【分析】由向量坐标运算得到 坐标，再由共线可求出
14．（2018·全国Ⅲ卷文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 。
【答案】分层抽样
【知识点】分层抽样方法
【解析】【分析】客户的年龄有差异，总体是由很明显的差异构成
15．（2018·全国Ⅲ卷文）若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 。
【答案】3
【知识点】简单线性规划；简单线性规划的应用
【解析】【解答】 经过图中直线 ，
Zmax=2+=3
【分析】画出可行域，平移目标函数.
16．（2018·全国Ⅲ卷文）已知函数 ， ，则 。
【答案】-2
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数g（x）=ln（ -x）
满足g（-x）=ln（）=ln=-ln（）=-g（x）
所以g（x）是奇函数
函数f（x）=ln（）+1，f（a）=4
可得：f（a）=4=+1，可得：ln（）=3
f（-a）=-ln（）+1=-3+1=-2
故答案为：-2
【分析】利用ln（ -x）与ln（ +x）是相反的
三、解答题
17．（2018·全国Ⅲ卷文）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
【答案】（1）解：因为 ，a5=4a3
q4=4q2 q=±2
或
（2）解：
又
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】由等比数列定义求出q，再由等比数列求和公式得到 再解出m
18．（2018·全国Ⅲ卷文）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项项目生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随即分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ，
【答案】（1）解：第二种生产方式效率更高，因为第二组多数数据集中在70min~80min之间，第一组多数数据集中在80min~90min，所以第一组完成任务的平均时间大于第二组， ，
E1＞ 则第二种生产方式的效率更高。
（2）解：由题意
超过m 不超过m
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
（3）解：
有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验
【解析】【分析】第一问是算平均数，第二三问是列出连表，算独立性检验
19．（2018·全国Ⅲ卷文）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明：平面 平面
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由
【答案】（1）解：因为 ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD
又DM 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC
又 即 又DMC 面AMD
所以 平面
（2）解：连接AC、BD交于点O，取AM中点为P，连接PO
因为O是AC中点，P是AM中点所以PO∥MC，
所以MC∥面PBD
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】在面PBD中构造线线平行，来证明线面平行
20．（2018·全国Ⅲ卷文）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明：
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明：
【答案】（1）解：设
设A（x1，y1）B（x2，y2）
所以
又
所以 所以
（2）解：F（1，0） 所以P（1，-2m）在抛物线上
所以3+16m2=12 16m2=9
即
又
同理
所以
所以
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）联立方程解，韦达定理；（2）向量坐标运算，得到P坐标在椭圆上，即P坐标已知，再用两点间距离公式得到 ，用第一问结论代入
21．（2018·全国Ⅲ卷文）已知函数
（1）求函数 在点 处的切线方程
（2）证明：当 时，
【答案】（1）解：因为f（x）=
所以 即切线方程为；y+1=2x 2x-y-1=0为所求
（2）解：欲证：
只需证：
即证
又a≥1，则证：
令h（x）=
所以 又
所以 在
即
所以 0恒成立
即原命题成立.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）切线定义：求导；（2）导数的应用，将不等式变形，再构建函数.
四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2018·全国Ⅲ卷理）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ( 为参数)，过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点
（1）求 的取值范围
（2）求 中点 的轨迹的参数方程
【答案】（1）解：直线 所以
（2）解：l的参数方程为 （t为参数， ＜α ）
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP= ，且tA，tB满足
于是tA+tB= ，tP = ，
又P点的坐标（x，y）满足
所以点P的轨迹的参数方程是
【知识点】直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程；圆的参数方程
【解析】【分析】由直线方程，直线与圆的位置关系中，点到直线距离公式求出 范围，再由点差法求弦中点问题.
五、选考题[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018·全国Ⅲ卷理）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
【答案】（1）解：
（2）解：由（1）中可得：a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b取最小值，
所以a+b的最小值为5.
【知识点】一次函数的性质与图象；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）画图像，分段函数；（2）转化为一次函数分析.
1 / 12018年高考文数真题试卷（全国Ⅲ卷）
一、选择题
1．（2018·全国Ⅲ卷理）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2018·全国Ⅲ卷理） =（ ）
A．-3-i B．-3+i C．3-i D．3+i
3．（2018·全国Ⅲ卷文）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的突出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2018·全国Ⅲ卷理）若 ，则 =（ ）
A． B． C．- D．-
5．（2018·全国Ⅲ卷文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
6．（2018·全国Ⅲ卷文）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．2
7．（2018·全国Ⅲ卷文）下列函数中，其图像与函数 的图像关于直线 对称的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·全国Ⅲ卷理）直线 分别与 轴， 轴交于点 两点，点 在圆 上，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·全国Ⅲ卷理）函数 的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2018·全国Ⅲ卷文）已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
11．（2018·全国Ⅲ卷理） 的内角 的对边分别为 ，若 的面积为 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
12．（2018·全国Ⅲ卷理）设 是同一个半径为 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2018·全国Ⅲ卷文）已知向量 ， ， ，若 ，则 。
14．（2018·全国Ⅲ卷文）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 。
15．（2018·全国Ⅲ卷文）若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 。
16．（2018·全国Ⅲ卷文）已知函数 ， ，则 。
三、解答题
17．（2018·全国Ⅲ卷文）等比数列 中， .
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和，若Sm=63，求m。
18．（2018·全国Ⅲ卷文）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项项目生产任务的两种新的生产方式，为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随即分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：
超过m 不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
（3）根据2中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附： ，
19．（2018·全国Ⅲ卷文）如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点。
（1）证明：平面 平面
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由
20．（2018·全国Ⅲ卷文）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为
（1）证明：
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点，且 ，证明：
21．（2018·全国Ⅲ卷文）已知函数
（1）求函数 在点 处的切线方程
（2）证明：当 时，
四、选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（2018·全国Ⅲ卷理）在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 ( 为参数)，过点 且倾斜角为 的直线 与 交于 两点
（1）求 的取值范围
（2）求 中点 的轨迹的参数方程
五、选考题[选修4-5：不等式选讲]
23．（2018·全国Ⅲ卷理）设函数
（1）画出 的图像
（2）当 时， ，求 的最小值。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： B=
所以
故答案为：C
【分析】先解出集合A，再取交集.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】(1+i)（2-i）=2-i2+i=3+i
故答案为：D
【分析】将等式化简即可.
3．【答案】A
【知识点】简单空间图形的三视图
【解析】【解答】由三视图定义可知选A.
【分析】从上往下看，小长方体位于大长方体内，故为虚线.
4．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式
【解析】【解答】
故答案为：B
【分析】由余弦倍角公式，转化为一倍角正弦.
5．【答案】B
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：p=1-0.45-0.15=0.4
故答案为：B
【分析】根据对立事件进行解答
6．【答案】C
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】f（x）=
函数的最小正周期为.
故答案为：C
【分析】利用同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦转换公式，将函数化简，利用正弦函数的周期性，即可得出函数的最小正周期.
7．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】f（x）=lnx与f（2-x）=ln（2-x）关于x=1对称，
故答案为：B
【分析】根据函数对称性找到f（2-x）
8．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；解三角形
【解析】【解答】令x=0所以B（0，-2），令y=0，则A（-2，0），所以
又因为P到直线距离 所以
则
故答案为：A
【分析】由点到直线距离求出高，两点间距离公式求边.
9．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性；导数的几何意义
【解析】【解答】
因为y是偶函数，则只需考虑
当 时，
则 时
故答案为：D
【分析】先由函数奇偶性判断出只需考虑 情形，再由导数可知，函数先增后减.
10．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的应用
【解析】【解答】 因为a=b
则渐近线方程为y=±x
所以（4，0）到渐近线距离d=
故答案为：D
【分析】利用离心率得到渐近线斜率，再用点到直线距离公式
11．【答案】C
【知识点】余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】
故答案为：C
【分析】由余弦定理和三角形的面积公式构建三角方程，即可求出C.
12．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质
【解析】【解答】当球心在三棱柱内时，体积最大，此时，如图，
设等边三角形边长为a，则
球心O在 内射影为 中心O1，连接OB
则OB=4，O1B=2 ，所以OO1=2，则O1D=6
则
故答案为：B
【分析】先分析出顶点在球上的位置，找到最大值点，在求出三棱锥体积.
13．【答案】
【知识点】共线（平行）向量；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为
又
所以
【分析】由向量坐标运算得到 坐标，再由共线可求出
14．【答案】分层抽样
【知识点】分层抽样方法
【解析】【分析】客户的年龄有差异，总体是由很明显的差异构成
15．【答案】3
【知识点】简单线性规划；简单线性规划的应用
【解析】【解答】 经过图中直线 ，
Zmax=2+=3
【分析】画出可行域，平移目标函数.
16．【答案】-2
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数g（x）=ln（ -x）
满足g（-x）=ln（）=ln=-ln（）=-g（x）
所以g（x）是奇函数
函数f（x）=ln（）+1，f（a）=4
可得：f（a）=4=+1，可得：ln（）=3
f（-a）=-ln（）+1=-3+1=-2
故答案为：-2
【分析】利用ln（ -x）与ln（ +x）是相反的
17．【答案】（1）解：因为 ，a5=4a3
q4=4q2 q=±2
或
（2）解：
又
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】由等比数列定义求出q，再由等比数列求和公式得到 再解出m
18．【答案】（1）解：第二种生产方式效率更高，因为第二组多数数据集中在70min~80min之间，第一组多数数据集中在80min~90min，所以第一组完成任务的平均时间大于第二组， ，
E1＞ 则第二种生产方式的效率更高。
（2）解：由题意
超过m 不超过m
第一种生产方式 15 5
第二种生产方式 5 15
（3）解：
有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
【知识点】众数、中位数、平均数；独立性检验
【解析】【分析】第一问是算平均数，第二三问是列出连表，算独立性检验
19．【答案】（1）解：因为 ，平面ABCD⊥半圆CD，所以BC⊥面半圆CD
又DM 半圆弧CD，所以BC⊥DM，又DC是直径，所以DM⊥MC
又 即 又DMC 面AMD
所以 平面
（2）解：连接AC、BD交于点O，取AM中点为P，连接PO
因为O是AC中点，P是AM中点所以PO∥MC，
所以MC∥面PBD
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【分析】在面PBD中构造线线平行，来证明线面平行
20．【答案】（1）解：设
设A（x1，y1）B（x2，y2）
所以
又
所以 所以
（2）解：F（1，0） 所以P（1，-2m）在抛物线上
所以3+16m2=12 16m2=9
即
又
同理
所以
所以
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）联立方程解，韦达定理；（2）向量坐标运算，得到P坐标在椭圆上，即P坐标已知，再用两点间距离公式得到 ，用第一问结论代入
21．【答案】（1）解：因为f（x）=
所以 即切线方程为；y+1=2x 2x-y-1=0为所求
（2）解：欲证：
只需证：
即证
又a≥1，则证：
令h（x）=
所以 又
所以 在
即
所以 0恒成立
即原命题成立.
【知识点】根据实际问题选择函数类型；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）切线定义：求导；（2）导数的应用，将不等式变形，再构建函数.
22．【答案】（1）解：直线 所以
（2）解：l的参数方程为 （t为参数， ＜α ）
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP= ，且tA，tB满足
于是tA+tB= ，tP = ，
又P点的坐标（x，y）满足
所以点P的轨迹的参数方程是
【知识点】直线与圆相交的性质；相交弦所在直线的方程；圆的参数方程
【解析】【分析】由直线方程，直线与圆的位置关系中，点到直线距离公式求出 范围，再由点差法求弦中点问题.
23．【答案】（1）解：
（2）解：由（1）中可得：a≥3，b≥2，当a=3，b=2时，a+b取最小值，
所以a+b的最小值为5.
【知识点】一次函数的性质与图象；含绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（1）画图像，分段函数；（2）转化为一次函数分析.
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