2018年高考文数真题试卷（北京卷）
一、选择题
1．（2018·北京）已知集合A={x||x|<2}，B={-2，0，1，2}，则A B=（ ）
A．{0，1} B．{-1，0，1}
C．{-2，0，1，2} D．{-1，0，1，2}
2．（2018·北京）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2018·北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018·北京）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2018·北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 ，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2018·北京）在平面坐标系中， ， ， ， 是圆 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角 以Ox为始边，OP为终边，若 ，则P所在的圆弧是（ ）
A． B． C． D．
8．（2018·北京）设集合A= ，则（ ）
A．对任意实数a，
B．对任意实数a，
C．当且仅当 时，
D．当且仅当a 时，
二、填空题
9．（2018·北京）设向量a=（1，0），b=（-1，m），若a⊥（ma-b），则m= .
10．（2018·北京）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴，若l被抛物线 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .
11．（2018·北京）能说明“若a﹥b，则 ”为假命题的一组a，b的值依次为 .
12．（2018·北京）若双曲线 =1（a﹥0）的离心率为 ，则a= .
13．（2018·北京）若x，y满足x+1y 2x，则2y-x的最小值是 .
14．（2018·北京）若 的面积为 （ ），且∠C为钝角，则∠B= ； 的取值范围是 .
三、解答题
15．（2018·北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 + +…+ .
16．（2018·北京）已知函数
（Ⅰ）求 的最小正周期
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
17．（2018·北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140
50
300
200
800
510
好评率 0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
18．（2018·北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
19．（2018·北京）设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若 在 处取得极小值，求a的取值范围.
20．（2018·北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值；
（Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点 共线，求k.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：A= ，B= 。
∴ ，
故答案为：A.
【分析】先解集合A中的绝对值不等式，再与B取交集。
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： ，则共轭复数为 在第四象限，
故答案为：D
【分析】先化简复数 ，再求它的共轭复数。
3．【答案】B
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：k=1.S=1.
S=1+(-1)1 =1- ，
k=2.S=1- + .
k=3.S=1- + = ，
故答案为：B.
【分析】由程序框图，先算S，算到k=3为止。
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质
【解析】【解答】解：ad=bc a，b，c，d成等比数列，例如：a=4，d=9.b=c=6，
a，b，c，d成等比数列 ad=bc，等比数列性质，
故答案为B。
【分析】举反例说明不成立，由等比数列性质可以证明反着成立。
5．【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可知，单音构成以f为首项，以 为公比的等比数列，则第八个为 ，
故答案为：D。
【分析】理解等比数列含义，得到单音构成等比数列，由通项公式，可得到第八项。
6．【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图所示，PA 面ABCD，
则Rt PAB、Rt PAD、Rt PBC，
又PD= ，CD= ，PC=3.不满足勾股定理，
则侧面共有3个。
故答案为：C
【分析】由三视图得到PA 面ABCD，又由PA 面PAB，可得到三个直角三角形，又 PCD不满足勾股定理，故只有3个.
7．【答案】C
【知识点】三角函数值的符号；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】解：当0< < 时，sin < 0，cos <0，排除D。
故答案为：C
【分析】由三角函数线得：锐角时，sin < 8．【答案】D
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：当（2，1） A时，2-1 1，合并第一个不等式，2a+1>4 a> ，
2-a 2 a 0，则此时a> ，故A错，B错，
当（2，1） A时，则 ，
故答案为：D。
【分析】讨论（2，1） A，用排除法。
9．【答案】-1
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：m - =（m+1，-m）， =(1，0)，
∴m+1=0 m=-1.
【分析】解析：先求出m - 坐标，再由数量积为0，求出m。
10．【答案】（1，0）
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：当x=1时，y2=4a y= ，∴ ，
∴a=1，则焦点为（1，0）
【分析】先根据题意求出弦长，再求焦点即可。
11．【答案】1，-1
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】“若a﹥b，则 ”为假命题，则由a﹥b 。可令a=1，b=-1
【分析】a，b异号即能说明“若a﹥b，则 ”为假命题。
12．【答案】4
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：e= = a=4.
【分析】根据双曲线离心率公式代入数据，用待定系数法求解。
13．【答案】3
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：目标函数Z=2y-x过点A时，Z有最小值，
又 ，
∴ 。
故答案为：3
【分析】由线性约束条件画出可行域，目标函数过点A时，Z有最小值。
14．【答案】；
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解： =
= ，∴ ，
<0
∴
【分析】由余弦定理面积公式得到B，由钝角，余弦定理构造不等式。
15．【答案】解：（Ⅰ），∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ 。
（Ⅱ） ，
∴ ，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列性质，求出 ，（Ⅱ）由等比数列求和公式求和。
16．【答案】解：（Ⅰ）∵
=
= 。
T= ，
∴最小正周期为 。
（Ⅱ）∵ ， ，
∴ ，
即 时， ，
∴ ， ，
∴m最小值为 。
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（Ⅰ）正弦，余弦、二倍角公式降幂，引入辅助角公式化为一个角。
（Ⅱ）先求出 范围，再考虑右端点至少到哪。
17．【答案】解：（Ⅰ）设时间A为：“这部电影是获得好评的第四类电影”则 （Ⅱ）获得好评的电影部数为：140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2×510×0.1=372估计这部电影没有获得好评的概率为：1-=0.814.（Ⅲ）只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，可使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）古典概型，用第四类电影部数总部数；（2）根据表格数据，求出获得好评的电影部数，从而可以求出这部电影没有获得好评的概率；（3）增加电影部数多的，减少电影部数少的.
18．【答案】证明：（Ⅰ）PA=PD，PA⊥PD，
∴PE垂直AD，又面PAD⊥面ABCD，
∴PE⊥面ABCD
又BC 面ABCD
∴PE⊥BC
（Ⅱ）因为AB⊥AD，面PAD⊥面ABCD
∴AB⊥面PAD，
又PD 面PAD
∴AB⊥PD，又由（1）PE⊥面ABCD
∴PE⊥AB，
∴AB⊥面PAD
又AB∥DC，则面PAB 面PCD=l，
∴PD⊥l，又PD⊥PA且PA l=p，
∴PD⊥面PAB，又PD 面PCD，
∴面PAB⊥面PCD
（Ⅲ）取PC、PD中点M、N，链接FM、DN、MN
则FM BC，ED BC
所以FM、DE是平行四边形
则EF∥MN，MN 面PCD，所以EF∥面PCD
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）线面垂直 线线垂直；（2）线线垂直 线面垂直 面面垂直；（3）线线垂直 线面垂直.
19．【答案】（Ⅰ） ，又
（Ⅱ） ， 令
当a=0时， ，所以 在 递增 递减
所以 在x=1处有极大值，不合题意
当 ，所以 在 递增，在 递减，所以 在x=1处有极大值，不合题意
当
若a=1， 在R单调，不合题意
若 ， 在 ， ，不合题意
若 ， 在 ， ，符合题意
所以
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，根据 ，求出a；（2）对a进行分类讨论，看是否符合极值.
20．【答案】解：（Ⅰ） ；
∴椭圆方程
（Ⅱ）l：y=x+m，
当m=0时，
（Ⅲ）设
∴
代入上式得
则
即
同理
因为C、D和 共线，所以
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求ab.（2）联立方程组，弦长公式可求；（3）联立方程组，均用 表示， 表示，得到关系，则得到k.
1 / 12018年高考文数真题试卷（北京卷）
一、选择题
1．（2018·北京）已知集合A={x||x|<2}，B={-2，0，1，2}，则A B=（ ）
A．{0，1} B．{-1，0，1}
C．{-2，0，1，2} D．{-1，0，1，2}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：A= ，B= 。
∴ ，
故答案为：A.
【分析】先解集合A中的绝对值不等式，再与B取交集。
2．（2018·北京）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解： ，则共轭复数为 在第四象限，
故答案为：D
【分析】先化简复数 ，再求它的共轭复数。
3．（2018·北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】循环结构；程序框图
【解析】【解答】解：k=1.S=1.
S=1+(-1)1 =1- ，
k=2.S=1- + .
k=3.S=1- + = ，
故答案为：B.
【分析】由程序框图，先算S，算到k=3为止。
4．（2018·北京）设a，b，c，d是非零实数，则“ad=bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质
【解析】【解答】解：ad=bc a，b，c，d成等比数列，例如：a=4，d=9.b=c=6，
a，b，c，d成等比数列 ad=bc，等比数列性质，
故答案为B。
【分析】举反例说明不成立，由等比数列性质可以证明反着成立。
5．（2018·北京）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 ，若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可知，单音构成以f为首项，以 为公比的等比数列，则第八个为 ，
故答案为：D。
【分析】理解等比数列含义，得到单音构成等比数列，由通项公式，可得到第八项。
6．（2018·北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】如图所示，PA 面ABCD，
则Rt PAB、Rt PAD、Rt PBC，
又PD= ，CD= ，PC=3.不满足勾股定理，
则侧面共有3个。
故答案为：C
【分析】由三视图得到PA 面ABCD，又由PA 面PAB，可得到三个直角三角形，又 PCD不满足勾股定理，故只有3个.
7．（2018·北京）在平面坐标系中， ， ， ， 是圆 上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角 以Ox为始边，OP为终边，若 ，则P所在的圆弧是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角函数值的符号；单位圆与三角函数线
【解析】【解答】解：当0< < 时，sin < 0，cos <0，排除D。
故答案为：C
【分析】由三角函数线得：锐角时，sin < 8．（2018·北京）设集合A= ，则（ ）
A．对任意实数a，
B．对任意实数a，
C．当且仅当 时，
D．当且仅当a 时，
【答案】D
【知识点】集合间关系的判断
【解析】【解答】解：当（2，1） A时，2-1 1，合并第一个不等式，2a+1>4 a> ，
2-a 2 a 0，则此时a> ，故A错，B错，
当（2，1） A时，则 ，
故答案为：D。
【分析】讨论（2，1） A，用排除法。
二、填空题
9．（2018·北京）设向量a=（1，0），b=（-1，m），若a⊥（ma-b），则m= .
【答案】-1
【知识点】平面向量的坐标运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】解：m - =（m+1，-m）， =(1，0)，
∴m+1=0 m=-1.
【分析】解析：先求出m - 坐标，再由数量积为0，求出m。
10．（2018·北京）已知直线l过点（1，0）且垂直于x轴，若l被抛物线 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为 .
【答案】（1，0）
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：当x=1时，y2=4a y= ，∴ ，
∴a=1，则焦点为（1，0）
【分析】先根据题意求出弦长，再求焦点即可。
11．（2018·北京）能说明“若a﹥b，则 ”为假命题的一组a，b的值依次为 .
【答案】1，-1
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】“若a﹥b，则 ”为假命题，则由a﹥b 。可令a=1，b=-1
【分析】a，b异号即能说明“若a﹥b，则 ”为假命题。
12．（2018·北京）若双曲线 =1（a﹥0）的离心率为 ，则a= .
【答案】4
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：e= = a=4.
【分析】根据双曲线离心率公式代入数据，用待定系数法求解。
13．（2018·北京）若x，y满足x+1y 2x，则2y-x的最小值是 .
【答案】3
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：目标函数Z=2y-x过点A时，Z有最小值，
又 ，
∴ 。
故答案为：3
【分析】由线性约束条件画出可行域，目标函数过点A时，Z有最小值。
14．（2018·北京）若 的面积为 （ ），且∠C为钝角，则∠B= ； 的取值范围是 .
【答案】；
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解： =
= ，∴ ，
<0
∴
【分析】由余弦定理面积公式得到B，由钝角，余弦定理构造不等式。
三、解答题
15．（2018·北京）设 是等差数列，且 ， +a3=5 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 + +…+ .
【答案】解：（Ⅰ），∵ ， ，
∴ ，则 ，
∴ 。
（Ⅱ） ，
∴ ，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（Ⅰ）由等差数列性质，求出 ，（Ⅱ）由等比数列求和公式求和。
16．（2018·北京）已知函数
（Ⅰ）求 的最小正周期
（Ⅱ）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.
【答案】解：（Ⅰ）∵
=
= 。
T= ，
∴最小正周期为 。
（Ⅱ）∵ ， ，
∴ ，
即 时， ，
∴ ， ，
∴m最小值为 。
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（Ⅰ）正弦，余弦、二倍角公式降幂，引入辅助角公式化为一个角。
（Ⅱ）先求出 范围，再考虑右端点至少到哪。
17．（2018·北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140
50
300
200
800
510
好评率 0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
【答案】解：（Ⅰ）设时间A为：“这部电影是获得好评的第四类电影”则 （Ⅱ）获得好评的电影部数为：140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2×510×0.1=372估计这部电影没有获得好评的概率为：1-=0.814.（Ⅲ）只要第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1，可使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大.
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）古典概型，用第四类电影部数总部数；（2）根据表格数据，求出获得好评的电影部数，从而可以求出这部电影没有获得好评的概率；（3）增加电影部数多的，减少电影部数少的.
18．（2018·北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分别为AD，PB的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.
【答案】证明：（Ⅰ）PA=PD，PA⊥PD，
∴PE垂直AD，又面PAD⊥面ABCD，
∴PE⊥面ABCD
又BC 面ABCD
∴PE⊥BC
（Ⅱ）因为AB⊥AD，面PAD⊥面ABCD
∴AB⊥面PAD，
又PD 面PAD
∴AB⊥PD，又由（1）PE⊥面ABCD
∴PE⊥AB，
∴AB⊥面PAD
又AB∥DC，则面PAB 面PCD=l，
∴PD⊥l，又PD⊥PA且PA l=p，
∴PD⊥面PAB，又PD 面PCD，
∴面PAB⊥面PCD
（Ⅲ）取PC、PD中点M、N，链接FM、DN、MN
则FM BC，ED BC
所以FM、DE是平行四边形
则EF∥MN，MN 面PCD，所以EF∥面PCD
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）线面垂直 线线垂直；（2）线线垂直 线面垂直 面面垂直；（3）线线垂直 线面垂直.
19．（2018·北京）设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若 在 处取得极小值，求a的取值范围.
【答案】（Ⅰ） ，又
（Ⅱ） ， 令
当a=0时， ，所以 在 递增 递减
所以 在x=1处有极大值，不合题意
当 ，所以 在 递增，在 递减，所以 在x=1处有极大值，不合题意
当
若a=1， 在R单调，不合题意
若 ， 在 ， ，不合题意
若 ， 在 ， ，符合题意
所以
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，根据 ，求出a；（2）对a进行分类讨论，看是否符合极值.
20．（2018·北京）已知椭圆 的离心率为 ，焦距2 .斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值；
（Ⅲ）设 ，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C，D和点 共线，求k.
【答案】解：（Ⅰ） ；
∴椭圆方程
（Ⅱ）l：y=x+m，
当m=0时，
（Ⅲ）设
∴
代入上式得
则
即
同理
因为C、D和 共线，所以
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法，求ab.（2）联立方程组，弦长公式可求；（3）联立方程组，均用 表示， 表示，得到关系，则得到k.
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