山东省梁山一中2011-2012学年高二下学期期中试题数学理

梁山一中11-12学年高二下学期期中考试
数学（理）试题
选择题 (本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.)
1．已知复数是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A． B. C. D.
2．若，且，则实数的值是（ ）
A . -1 B . 0 C . 1 D . -2
3．曲线在点（1，-3）处的切线倾斜角为（ ）
A. B . C. D.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C． D．
5．函数的图象上一点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
6．用数学归纳法证明（）时，从“到”左边需增乘的代数式为（ ）
A． B． C． D．
7．函数的图象如图所示，若，则等于（ ）
A． B．
C．0 D．
8.续抛两枚骰子分别得到的点数是，，则向量与向量垂直的概率是( )
A. B. C. D.
9.利用数学归纳法证明“”，在验证成立时，左边应该是. ( )
A． B． C． D．
10. 已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为( )
A． B． C． D．
11．已知函数的图像如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是( )
A．
B．
C．
D．
12．若函数的导数是，则函数的单调减区间是( )
A． B。 C。 D。
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,请将答案填在答题纸上)
13．函数的单调递增区间是
14． ．
15．在上是减函数，则的取值范围是_____________
16.对于非零实数，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若，则； ④ 若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分10分）
已知函数的导数满足，，其中
常数，求曲线在点处的切线方程.
18. (本小题满分12分)
如图，在直三棱柱中， AB=1，，∠ABC=60.
(1 )证明：；
（2）求二面角A——B的正切值。
19. (本小题满分12分)
设的垂直平分线。
（1）当且仅当
（2）当直线的斜率为2时，求轴上截距的取值范围。
20. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，⊥底面.
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值。
21. （本小题满分12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：(≤120).已知甲、乙两地相距100千米。
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
22. (本小题满分12分)
已知函数.
（1）若曲线在处的切线的方程为，求实数的值；
（2）求证：≥0恒成立的充要条件是；
（3）若，且对任意，都有，求实数的取值范围。
参考答案：
1-5 DDADD 6-10 BCBCC 11-12 BA
13．; 14.1 ; 15. ; 16.②④
17. 解：因为，所以
令得.
由已知，所以. 解得.
又令得.
由已知 所以解得
所以，.
又因为
故曲线处的切线方程为
，即.
18.（1）证： 三棱柱为直三棱柱，
在中，,由正弦定理
,又
（2）解如图，作交于点D点，连结BD，
由三垂线定理知
为二面角的平面角
在
19.解：（1）
依题意不同时为0
上述条件等价于
即当且仅当
（2）；
过点
。
，则
，由
于是
20. (1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值。
(1)证明：∵ ∴
又∵⊥底面 ∴
又∵ ∴平面
而平面
∴平面平面
（2）由（1）所证，平面
所以∠即为二面角P-BC-D的平面角，即∠
而，所以
分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。
则，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
即 可解得
∴与平面所成角的正弦值为
21. 解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,
要耗油(.
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.
(2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=()·,
(x)= 其中0＜x≤120
令(x)=0，得x=80.
当x∈(0,80)时，(x)＜0,h(x)是减函数;
当x∈(80,120)时，(x)＞0,h(x)是增函数.
∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.
因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.
22.
。
（2）①充分性
所以当
上是增函数，当，所以函数在（0,1）上是减函数，所以
②必要性
（i）当时，恒成立，所以函数在（0，+）上是增函数。而，所以当
综上所述，恒成立的充要条件是a=1.
（3）由（2）可知
当a<0时，函数f(x)在上是增函数，又函数在是减函数。
，则
（第7题图）
C
B
A
C1
B1
A1