因式分解的方法
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(共31张PPT)
因式分解的方法
一、提公因式法；
二、公式法；
三、十字相乘法；
四、换元法；
五、分组分解法；
六、拆项、添项法；
七、配方法；
八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本的方法。在分解因式时一定要首先认真观察等分解的代数式，尽可能地找出它们的分因数（式）
方法二：公式法
一、平方差公式：
二、完全平方公式：
三、立方和（差）公式：
四、完全立方和（差）分式：
五、常用到的式子：
方法三：十字相乘法
对二次三项式的系数进行分解，借助直字交叉图分解，即：
例题：用十字交叉法分解下列多项式：
（1）
（2）
（3）
（4）
方法四、换元法
对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
例题：（分解因式）（第12届“五羊杯”竞赛题）
解：设
原式=
同步练习：分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）解：
则原式=
（2）解：原式=
（3）设x+y=a,xy=b,则原式=a(a+2b)+(b+1)(b-1)
=
(4)原式=
（5）原式=
(6)原式=
方法五、分组分解法
（1）形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
(2)形如：
把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能运用公式，这样的因式分解的方法叫分组分解法。
分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又有全局的思想。如何分组是解题的关键。常见的分组方法有：
（1）按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起；
（2）按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂排列，再分组；
（3）按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分组。
在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。
例题1（上海市竞赛题）多项式
因式分解后的结果是
解：将原式重新整理成关于x的二次三项式，则
原式=
例题2（重庆市竞赛题）分解因式：
解：原式=
方法六、拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，整理、化简将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。
例题：分解因式：
解法一：将常数项8拆成-1+9
原式=
解法二：将一次项-9x拆成-x-8x
解法三：将三次项 拆成
解法四：添加两项
对应练习
分解因式：
（1）
（2）
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。配方法的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式 ，然后在此基础上分解因式。
例题：（1）
（2）
（3）
（1）解：原式=
(2)原式=
（3）原式=
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；
2.利用怛等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程；
3.解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得到需求问题的解。
例题1：如果 有两个因式x+1和
x+2，则a+b=
例题2：如果多项式 能分解成两个因式（x+b）、(x+c)的乘积（b、c 为整数），则a的值是应为多少？（第17届江苏省竞赛题）
课堂练习：用你喜欢的方法分解下列多项式。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)证明恒等式：
(1)原式=
（2）原式=
(3)原式=
(4)原式=
(5)原式=
(6)原式=
（7）原式=
（8）原式=
(9)原式=
(10)原式=
（11）原式=
(12)原式=
(13)证明：
因式分解的方法
一、提公因式法；
二、公式法；
三、十字相乘法；
四、换元法；
五、分组分解法；
六、拆项、添项法；
七、配方法；
八、待定系数法。
方法一：提分因式法
这是因式分解的首选方法。也是最基本的方法。在分解因式时一定要首先认真观察等分解的代数式，尽可能地找出它们的分因数（式）
方法二：公式法
一、平方差公式：
二、完全平方公式：
三、立方和（差）公式：
四、完全立方和（差）分式：
五、常用到的式子：
方法三：十字相乘法
对二次三项式的系数进行分解，借助直字交叉图分解，即：
例题：用十字交叉法分解下列多项式：
（1）
（2）
（3）
（4）
方法四、换元法
对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
例题：（分解因式）（第12届“五羊杯”竞赛题）
解：设
原式=
同步练习：分解因式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（1）解：
则原式=
（2）解：原式=
（3）设x+y=a,xy=b,则原式=a(a+2b)+(b+1)(b-1)
=
(4)原式=
（5）原式=
(6)原式=
方法五、分组分解法
（1）形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)
=a(m+n)+b(m+n)
=(a+b)(m+n)
(2)形如：
把多项式适当的分组，分组后能够有公因式或能运用公式，这样的因式分解的方法叫分组分解法。
分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又有全局的思想。如何分组是解题的关键。常见的分组方法有：
（1）按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起；
（2）按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂排列，再分组；
（3）按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分组。
在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。
例题1（上海市竞赛题）多项式
因式分解后的结果是
解：将原式重新整理成关于x的二次三项式，则
原式=
例题2（重庆市竞赛题）分解因式：
解：原式=
方法六、拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算。在多项式乘法运算时，整理、化简将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零。在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，前者称为拆项，后者称为添项。
例题：分解因式：
解法一：将常数项8拆成-1+9
原式=
解法二：将一次项-9x拆成-x-8x
解法三：将三次项 拆成
解法四：添加两项
对应练习
分解因式：
（1）
（2）
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法。配方法的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式 ，然后在此基础上分解因式。
例题：（1）
（2）
（3）
（1）解：原式=
(2)原式=
（3）原式=
方法八：待定系数法
对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题目的一般步骤是：
1.根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；
2.利用怛等式对应项系数相等，列出含有待定系数的方程；
3.解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得到需求问题的解。
例题1：如果 有两个因式x+1和
x+2，则a+b=
例题2：如果多项式 能分解成两个因式（x+b）、(x+c)的乘积（b、c 为整数），则a的值是应为多少？（第17届江苏省竞赛题）
课堂练习：用你喜欢的方法分解下列多项式。
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)证明恒等式：
(1)原式=
（2）原式=
(3)原式=
(4)原式=
(5)原式=
(6)原式=
（7）原式=
（8）原式=
(9)原式=
(10)原式=
（11）原式=
(12)原式=
(13)证明：