3.4.2 第1课时 相似三角形中三条重要线段的性质 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
3.4.1相似三角形中三条重要线段的性质
湘教版·九年级数学上册
复习导入
1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3.相似三角形的判定方法有哪些？
两角分别相等的两个三角形相似.
相似三角形判定定理1
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形判定定理2
三边成比例的两个三角形相似.
相似三角形判定定理3
探究新知
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B=∠B′.
又
∠AHB=∠A′H′B′=90°，
∴△AHB∽∠A′H′B′.
类似地，可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
如图，
AB∥PQ，AB=100m，PQ=120m.点P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40m，求点C到直线PQ的距离.
例9
A
B
C
D
E
P
Q
解
∵AB∥PQ，
∴△CAB∽△CPQ.
过点C作CD⊥PQ，垂足为点D.设CD交AB的延长线于点E，
∴CE⊥AB，DE=40m.
又
AB=100m，PQ=120m，DE=40m，
∴CD=240m.
答：点C到直线PQ的距离是240m.
由“相似三角形对应高的比等于相似比”可得，
如图，
已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分别为对应∠BAC，∠B′A′C′的角平分线.
求证：
例10
证明
∵
△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B=∠B′
，∠BAC=∠B′A′C′.
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC，
∠B′A′C′的角平分线，
∴∠BAT=
∠BAC=
∠B′A′C′=∠B′A′T′，
∴△ABT∽△A′B′T′，
同样可以证明其余两组对应角的角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
如图，
已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分别为对应∠BAC，∠B′A′C′的角平分线.
求证：
例10
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
证明
∵
△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B=∠B′，
.
∵
D、D′分别是BC和B′C′的中点，
∴△ABD∽△A′B′D′.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
同样可以证明其余两组对应边上的中线的比也等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.
在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.
1.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形；
（2）若AD=9
cm，CD=6
cm，求BD；
（3）若AB=25
cm，BC=15
cm，求BD.
（2）∵△ACD∽△CBD，∴
，即
∴BD=4
（cm）.
∴
，∴
=9（cm）.
（3）∵△CBD∽△ABC，∴
1.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形；
（2）若AD=9
cm，CD=6
cm，求BD；
（3）若AB=25
cm，BC=15
cm，求BD.
2.如图
，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.
（1）证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，
∴△CDF∽△BGF．
（2）由（1）知△CDF∽△BGF，
又F是BC的中点，∴BF=FC，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF=FG，CD=BG.
又∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AG，得2EF=AB+BG．
∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，
∴CD=BG=2cm．
课堂练习
练习
1.已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
∴DN=3cm.
2.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC
的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且
AD=4，
A′D′=3，BE=6，求B′E′的长.
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
∵
AD=4，
A′D′=3，
BE=6，
∴B′E′=4.5.
∵
△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，
课堂小结
相似三角形高，角平分线，中线的性质
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
相似三角形对应的角平分线的比等于相似比.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业
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