数学归纳法

数学归纳法
【三维目标】：
一、知识与技能
1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2．抽象思维和概括能力进一步得到提高．
二、过程与方法
通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，其本质是证明一个递推关系。
三、情感，态度与价值观
体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归纳、猜想、证明能力。
【教学重点与难点】：
重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。
难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。
【课时安排】：2课时
第一课时
【教学思路】：
（一）、创设情景，揭示课题
问题1：P71中的例1.在数列｛an｝中，a1＝1，an+1＝（n∈N+），先计算a2，a3，a4的值，再推测通项an的公式．
生：a2＝，a3＝，a4＝．由此得到：an＝（n∈N+）．
问题2：通过计算下面式子，你能猜出的结果吗？证明你的结论？
生：上面四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，因此猜想：
（*） 怎样证明它呢？
问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。
（二）、研探新知
原理分析：问题3：可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个：
第一块骨牌倒下；
任意相邻的两块骨牌，前一块倒下.一定导致后一块倒下。
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。
问题2：分析： 这个问题的特点是：要证不等式（*）在n 为任何正整数时都成立，虽然我们可以验证n = 1，2，3，4，5，… 甚至n = 1000，10000，…时这个等式成立。但是正整数是无限多个，我们无法对它们一一验证，所以验证的方法无法完成证明。
要证明这个问题，必须寻找一种有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法。
类比多米骨牌游戏，我们设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长一队1，2，3，4，…k，k+1，…
可以验证
当n = 1时，等式（*）的左右两边都等于-1。即这时等式（*）成立
可以想象
若从“n = k 时等式（*）成立”能推出n = k + 1时等式（*）也成立，则可以建立一种多米诺骨牌那样的由前到后的自到递推关系
综合（1）（2），就自然地想到一种证明这个等式的方法：
首先证明（1）n = 1时等式（*）成立
然后证明（2）中的递推关系
完成以上两步后，就可由n = 1时等式（*）成立为起点，递推出n = 2时等式（*）成立，再由n = 2时等式（*）成立，递推出n = 3时等式（*）成立　……　如此继续自动递推下去，就可以说：对于任意正整数n，等式（*）成立
下面按照上述思路具体的证明等式（*）
证明：（1）当n = 1 时，式（*）左右两边都等于 -1，即这时等式（*）成立。
（2）假设当n = k (k≥1) 时等式（*）式成立，即在这个假设下，再考虑n = k + 1 时式（*）的左右两边。
左边=
。
所以当n = k + 1 时等式（*）成立。
由（1），（2）可知
总结上述过程，我们用了两个步骤：第一步，证明n = 1 时命题成立，从而奠定了命题成立的一个起点；第二步，先作归纳假设，然后证明由前后的递推关系由这两步保证：对于从起点由前向后的所有正整数,命题都成立。
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n = k 时命题成立，证明当n = k +1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction）.
思考：结合上面的证明，你认为数学归纳法的基本思想是什么？
在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠基，第二步是假设与递推。这两步都是非常重要，缺一不可。第一步确定了n = n0 时命题成立，n = n0 成为后面递推的出发点，没有它递推就成无源之水；第二步确认一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从正整数n0 开始，向后一个数一个数无限传递到n0 以后的每一个正整数，从而完成证明，因此，递推是实现从有限到无限的飞跃的关键，没有它我们就只能停留在对有限情况的把握上。以上就是数学归纳法的基本原理。
下面的框图表示了数归纳法的基本过程
问题：数学归纳法适用于证明什么的命题呢？对于一些与无限多个正整数相关的命题，如果不易有以前所学习过的方法证明，用数学归纳法可能收到较好的效果。
思考：如果要用数学归纳法证明某命脉题对于全体正整数都能立，应取n0为何值？为什么？
（三）、例题剖析
例1：（教材第94页例1）
例2：（教材第94页例2）
（四）、巩固深化，反馈矫正 （教材第95页练习 1、2）
第二课时
【教学思路】：
（一）、复习回顾
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（归纳奠基）证明当n取第一个值时命题成立;
（归纳递推）假设时命题成立，证明当时
命题也成立 。--------------数学归纳法
（二）、例题剖析：
例1．用数学归纳法证明：能被9整除.
证明：（1）当n=1时，（3+1）×7－1=27 能被9整除，命题成立
（2）假设当n=k时命题成立，即能被9整除
那么，当n=k+1时，
由归纳假设能被9整除
及是9的倍数
所以能被9整除
即n=k+1时，命题成立
由（1）（2）知命题对任意的均成立
例2．若n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：
证明：(1)当n=2时，
(2)假设当n=k时成立，即
由(1)、 (2)知原不等式对一切大于2的自然数都成立。
例3 ．已知 () 求证：
证明：(1)当n=1时，a1=＜1，不等式成立.
（2）假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即ak=＜1
亦即1+22+33+…+kk＜(k+1)k
当n=k+1时
ak+1=
==()k＜1. ∴n=k+1时，不等式也成立.
由（1）、（2）知,对一切n∈N*，不等式都成立.
例4 ．用数学归纳法证明等式对所有n∈N*均成立．
证明：i)当n=1时，左式=，右式=， ∴ 左式=右式，等式成立．
ii)假设当n=k(k∈N)时等式成立，
即，
则当n=k+1时，
即n=k+1时，等式也成立，
由i) ii)可知，等式对n∈N均成立．
小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k与n=k+1的两个等式的差别．n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由变为．因此在证明中，右式中的应与-合并，才能得到所证式．因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的．
由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系．
（三）、巩固深化，反馈矫正 （教材第95页练习 1、2）
（四）、归纳整理，整体认识
1．用数学归纳法证明，要完成两面个步骤，这两个步骤是缺一不可的，但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k 到 n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变。
2．数学归纳法常处理的几类问题①证明有关整除问题②证明不等式③证明数列有关问题。
3．运用数学归纳法时易犯的错误：
①对项数估算错误，特别是寻找n = k 与 n = k+1的关系时，项数发生什么变化被弄错。
②没有利用归纳假设。
③关键步骤含糊不清，“假设n=k时结论成立，利用此假设证明n=k+1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性，规范性。
（五）、作业布置（教材第96页习题2.3A组1）
（六）、板书设计（略）
（七）、课后记：
敬请各位同行指正，谢谢！
验证n = n0时
命题成立。
若n = k ( k = n0 )时命题成立，证明n = k + 1时命题也成立。
归纳奠基
归纳递推
命题对从n0开始所有的正整数n都成立时命题成立。