算法的概念（教学说明）
一、内容和内容解析
《 算法的概念》是全日制普通高级中学教科书必修3第一章《算法初步》第一节的内容．《算法初步》是课程标准的新增内容，是数学及其应用的重要组成部分，也是计算科学的基础．在信息技术高度发达的现代社会，算法思想应该是公民必备的科学素养之一．而《算法的概念》则是《算法初步》的奠基石，其重要性不言而喻．新教材的编写特别强调知识的螺旋形式上升，所以在前面的学习中，通过大量的算法实践，这个重要的数学概念其实早已存在于学生的意识之中，并已经在不同场合被不自觉的“实际使用”过，只是没有明确定义而已，故此时引入算法概念可谓水到渠成．教师的责任就是为学生建立概念、疏通渠道，让学生借助已有的大量经验提炼出算法的概念并认识其特点；然后再依据算法的概念和特点来设计一个具体的算法，进一步深化对概念的认知；最后通过典型例题的解题步骤提炼出算法的过程，使算法思想得到进一步的升华．这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性认知和实践的能力，也有利于学生理解构造性数学，从而培养其数学应用意识．
本节是起始课，不仅要让学生体会算法概念，认识到这一概念的重要性，还要为进一步学习程序框图、算法的基本结构和语句打基础．此外，算法是逻辑能力培养的有效素材．再者，从现实意义上看，算法思想不仅在科学技术上有着广泛的应用，而且在日常生活中也扮演着不可或缺的角色．以上共同决定了本节课的重要地位．
根据以上对教材及学情的分析，特制定教学重点如下：
理解算法的概念及其特点，体会算法思想，能用自然语言描述算法．
二、教学目标分析
秉承以人为本的教学理念，遵照发挥学生主动性、使学生成为课堂的主体的教学原则，遵循学生的认知规律，让学生通过回顾已有的数学经验，概括出算法的概念；并通过对算法特点的研究、设计算法的过程进一步深化对概念的认知．在该过程中体现生生、师生之间互相启发，团结合作，教学相长的学习风范，充分挖掘学生的内在潜能．通过对典型习题解法进行分析从而提炼其算法这一设计，使学生分析问题、总结问题的能力得到提高，让学生体会到算法思想的精髓，感知数学世界的美妙和神奇．
根据以上分析特制定教学目标如下：
1．通过对学生已经学习过的一些算法实例的再现，让学生体会算法思想，了解算法含义，初步形成算法概念的雏形，从而培养学生归纳总结、提炼概括的能力．
2．通过对具体算法实例的挖掘，引导学生认识算法的特征、完善算法的概念，培养学生的理性思维能力．
3．通过算法实例设计的实践过程，让学生进一步完善算法的理解，准确把握算法的基本特征，学会用自然语言描述算法，培养学生的逻辑思维能力．
4．通过从典型解题步骤中抽象出算法的过程，再度渗透算法的思想，强化学生利用算法来解决问题的意识．
5．通过具体实例呈现算法的基本结构并构造程序框图，为学生后续学习分散难点，同时通过程序演示和语言激励，激发学生后续学习的激情．
三、教学问题诊断
高二的学生在以前的学习和生活中已经接触过大量的算法实例，除了本节课中提取的高一阶段的四个典型案例之外，在初中阶段的解方程、方程组问题和小学阶段的四则运算法则乃至其它学科的应用中都蕴含着丰富的算法思想．本节课就是在此基础上提出这个学生“接触已久”却依然全新的概念．虽然他们此时已经具备了相当的概括和归纳能力，但是要提炼出“算法”这一比较抽象的概念还是颇有一定难度的．为了突破这一难点，在课堂设计时，需要次第搭建台阶逐渐完善概念的形成．首先，从学生熟悉的案例出发，充分调动学生观察、归纳、概括等各方面的能力，促使学生通过已知构建新知，从而形成对概念的初步认识；接下来，在案例4的分析中，逐步加深对概念的认知，形成完整的算法概念；最后，通过设计算法来深化对算法概念的理解．
除此之外，由于不了解信息科学及计算机语言，学生在依据概念设计算法时会存在一定的困难．他们可能只能简单的模仿，而这必然导致思维受阻，特别是对于算法擅长处理的条件结构和循环结构，学生原来极少有机会体会．因此，我选择按照从具体到抽象、从特殊到一般的过程，耐心点拨指导，从思路、方向、技能等诸方面给予提示，促使学生关注到算法中存在的逻辑结构，逐步分散难点，各个击破．
根据以上分析，制定教学难点如下：
1．从算法实例中抽象概括算法的概念和特点．
2．依据概念设计算法．
四、教法特点及预期效果分析
数学学习实际上是一个“认知结构”的完善过程，算法的学习就体现了这一过程：从经验中提炼概念，再在设计运用中加深对概念的认知，最后在对经典问题的解法提炼算法的过程中进一步深化算法的思想，这都需要教师循循善诱．
本节课的设计并没有按照课本上从二元一次方程组的具体解法再到一般性的算法这一过程进行．而是直接运用必修1、2中四个案例的经验，从算法实例中提炼出算法的概念；而且这些案例结构多样，有顺序结构、选择结构和循环结构，为学生在后面学习算法的结构做好了充分的铺垫．
在概念的雏形形成之后，选择二分法求函数近似值的算法案例作进一步的研究．这个算法主要是一个典型的循环结构，当然其中也蕴含着顺序结构和选择结构，它不仅充分体现了算法的重要特点——步骤的明确性和有限性，为学生形成完整的算法概念奠定了基础，而且还为质数判定的算法提供了循环结构的借鉴依据，有效地分散了设计算法中的难点．
在引出“质数判定”这个算法设计时，巧妙引用了学校的人文历史资源，增强了学生的兴趣．在提出问题“如何设计判断任意大于2的正整数n是否是质数的算法”之后，选择从11到1999再到任意大于2的正整数n的，从简单到复杂，从具体到抽象，从特殊到一般设计过程，一方面降低了设计的难度，让学生积累了设计算法的经验；另一方面又体现了算法概念的内涵：算法是解决某一类问题的步骤。通过为学生提供一个又一个的操作机会，达到让学生在整个过程中模仿中有探索，探索中有新知，步步为营加深对概念的认知的目的．
课本上将从典型解题方法中提炼算法的过程，放在算法的概念形成之前，使学生认识感知算法的形成．而我在作这节课的设计时把它作为最后一步骤，让学生分组去进行多个典型解法的算法提炼，既可以深化学生对概念的认知，又能够培养学生有意识地进行归纳和总结，将算法思想更加深入地融入到分析问题和解决问题的过程中去的能力．
五、课后反思
本节课的设计曾经历过一次推倒重来式的大修改．在第一稿方案中，在概念的引出上我沿用了课本的方案从具体的二元一次方程组的解法出发归纳到一般性的解法．当时认为这一实例虽然很具有代表性，可以体现算法的形成过程，但是考虑到仅由一个实例引出概念显得过于单薄，所以又设计了一些具有典型步骤性的问题，包括一些生活中的实例，但最终发现效果并不好．第一，学生的注意力完全被设计算法的过程所吸引，而没有对其概念的本质进行认识，喧宾夺主，丧失了概念教学的基本原则；第二，生活中的实例“泛化”了算法概念，脱离了主题，使学生对概念的认识不具体、不透彻．
考虑到新教材非常注重知识体系的螺旋式上升，学生在前面已经接受了大量的算法实例，此时概念的引出已经是“呼之欲出”，所以没有必要在概念未引出之前再大量设计算法，而若直接利用学生的既有知识，在学生“最近发展区”上构建新知，则不仅更遵循教育教学的规律，而且对概念的认识更加容易深入．
在概念的雏形形成之后，如何把握算法的特点？如何完善算法的概念？若此时仍一味让学生观察四个实例，寻求算法的特征，则学生的注意力难以有效聚焦．故改从其中最有代表性的一个实例——二分法求函数零点近似值着手做进一步的分析，这个实例体现的是一个具有循环结构和选择结构问题的算法，不仅可以非常清晰的反映“明确性”和“有限性”的重要特征，而且能对质数判断算法的设计起到示范作用，可谓“一石二鸟”．但是在本节课中，算法的“明确性”特征的得出的这一过程，还是稍显突兀，而且主要是由教师讲，学生的主动参与不足，这是本节课应该改进的地方．
算法思想的重要性不言而喻．所以在本节课的后半阶段，我设计了这样的一个程序：让学生根据典型解题方法来归纳同类型问题的算法．这个过程设计放在概念的得出以后，不仅是对概念的更深入的认识，同时也是算法思想的进一步升华．学生很容易明白这个过程的意图，从而在随后的学习中能够更加主动、更有意识的进行总结归纳，其实这也是本节课的一个重点之一，从课堂的现场来看效果比较满意．算法的概念（教学设计）
——人教A版数学必修3第1章第1节第1课时
一、教材背景分析
1．教材的地位和作用
《 算法的概念》是全日制普通高级中学教科书人教A版必修3第一章《算法初步》的第一节内容，《算法初步》是课程标准的新增内容，它是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，在信息技术高度发达的现代社会，算法思想应该是公民必备的科学素养之一．而《算法的概念》则是《算法初步》的奠基石，它非常重要，但并不神秘．新教材的编写特别强调了知识的螺旋形上升，所以在前面的学习中，已经让学生积累了大量的算法的实际经验，这个重要的数学概念其实早已存在于学生的意识之中，而且在不同场合都已经不自觉的“实际使用”，只是没有明朗化．此时引入算法概念可以说是水到渠成，教师的责任就是为学生建立概念修通渠道．让学生借助他们已有的大量经验抽象出算法的概念并认识其特点；再依据算法的概念和特点来设计一个具体的算法，进一步深化对概念的认知；最后通过典型解题步骤提炼算法的过程，使算法思想进一步得到升华．这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力；也有利于学生理解构造性数学，培养其数学应用意识．
本节是起始课，不仅应让学生体会概念，认识到这一概念的重要性，还要为进一步的学习程序框图，算法的基本结构和语句奠定基础．而且算法思想是逻辑数学最重要的体现形式．这一切都决定了本节课的重要地位．
2．学情分析
知识结构：学生在以前的学习和生活中已经认识过大量的算法实例，本节课就是在此基础上使学生进一步理解和提炼算法的概念，体会算法的思想．
心理特征：高二的学生已经具备了分辨是非的能力，高度的语言概括能力，能够从具体问题中去体会和提炼重要数学思想．
3．教学重点与难点
重点：理解算法的概念及其特点，体会算法思想，能用自然语言描述算法．
难点：根据算法实例抽象概括算法的概念和特点；依据概念设计算法．
关键：算法思想的渗透．
二、教学目标
1．通过对学生已经学习过的一些算法实例的再现，让学生体会算法思想，了解算法含义，初步形成算法概念的雏形，进一步培养学生归纳总结、提炼概括的能力．
2．通过对具体算法实例的挖掘，引导学生进一步认识算法的特征、完善算法的概念，进一步培养学生理性思维能力．
3．通过算法实例设计的实践过程，让学生进一步完善算法的理解，准确把握算法的基本特征，学会用自然语言描述算法，进一步培养学生逻辑思维能力．
4．通过具体实例渗透算法的基本结构和程序框图，为学生后继学习分散难点，同时通过具体情境和语言的激励，激发学生后继学习的激情．
5．通过典型解题步骤抽象出算法这一过程的设计，进一步渗透算法的思想，从而增强利用算法来解决问题的意识．
三、教法选择和学法指导
教法：问题引导、合作探究．
学法：数学学习实际上是“认知结构”的完善过程，算法的学习就体现这一过程：从经验中提炼概念，再从设计运用中深化对概念的认知，最后从算法的提炼中进一步渗透算法的思想．这都需要教师的层层引导，渐次递进．
四、教学基本流程设计
五、教学过程
（一）轶事开篇，巧妙设境引深思
有一天希尔伯特邀请朋友们来家聚会，眼看客人就要登门，他的夫人凯娣却发现希尔伯特还系着一根旧领带，便催促他说赶紧上二楼换根领带．过了片刻，客人陆续登门，可就是不见希尔伯特下楼来，夫人便悄悄吩咐管家赶紧上楼去请希尔伯特下来．管家来到他的房间，却发现希尔伯特已在床上睡熟了．原来，对于希尔伯特来说，上了二楼，解下领带，下一个程序便是上床入睡．所以，他严格按照既定程序酣然入睡了．
在我们的数学领域中，太多问题的解决都需要按照一定的规则、遵循严格的步骤，事实上在高一的学习中，大家就应该发现了这一现象．
（二）温故知新，拨云见雾初识真
1．“坐标方法”解决几何问题的三部曲：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面 几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．
2．求圆的方程常用“待定系数法”，那么它的大致步骤是怎样的？
第一步：根据题意，选择标准方程或一般方程；
第二步：根据条件列出关于或的方程组；
第三步：解出或，代入标准方程或一般方程．
3．实际问题使用数学建模的步骤：
4．给点精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：
第一步：确定区间，验证；
第二步：求区间的中点；
第三步：计算；
（1）若，则就是函数零点；
（2）若，则令，（此时零点）；
（3）若，则令，（此时零点）.
第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值或；否则重复2～4．
通过观察以上算法实例，初步形成概念的雏形：算法是按一定规则解决某一类问题的步骤．
（三）共论经典，曲径通幽玉妆成
选取案例4中的算法做更深入的研究．
问题1：按照此算法，我们是否能够借助计算机来寻求方程的近似值呢？
我们必须确保让计算机执行的程序的每一个步骤都明明白白没有歧义，也就是步骤必须明确
问题2：我们可以把精确度取消吗？
算法的步骤必须是有限的，它可以进行循环结构的运算，但必须有终点．
在数学中，经过这样一补充，我们就得到了完整的算法概念：
算法通常是指按照一定的规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．
（四）实例设计，分层推进探玄机
问题：如何设计判断任意大于2的正整数n是否是质数的算法？
1．判断11是否为质数的算法：
第一步：用2除11，得到余数为1，因为余数不为0，所以2不能整除11．
第二步：用3除11，得到余数为2，因为余数不为0，所以3不能整除11．
第三步：用4除11，得到余数为3，因为余数不为0，所以4不能整除11．
第四步：用5除 11，得到余数为1，因为余数不为0，所以5不能整除11．
第五步：用6除11，得到余数为5，因为余数不为0，所以6不能整除11．
第六步：用7除11，得到余数为4，因为余数不为0，所以7不能整除11．
第七步：用8除11，得到余数为3，因为余数不为0，所以8不能整除11．
第八步：用9除11，得到余数为2，因为余数不为0，所以9不能整除11．
第九步：用10除11，得到余数为1，因为余数不为0，所以10不能整除11．
所以11是质数．
2．判断1999是否是质数的算法：
第一步：令；
第二步：用除1999，得到余数．
第三步：判断“”是否成立．若是，则1999不是质数；否则，将的值增加1，仍用表示；
第四步，判断“”是否成立．若是，则是质数，结束算法；否则，返回第三步．
3．判断任意大于2的正整数n是否是质数的算法：
第一步：给定大于2的整数n；
第二步：令；
第三步：用除，得到余数．
第四步：判断“”是否成立．若是，则不是质数；否则将的值增加1，仍用表示；
第五步，判断“”是否成立．若是，则是质数，结束算法；否则，返回第三步．
回顾刚才研究的整个过程，从11，再到1999，最后到任意大于2的正整数n，对他们的判断方法具有高度的一致性，这其实反映了算法的一个重要特征----普适性．
（五）见微知著，算法思想再升华
在平常的学习中，是否可以通过一些典型问题的解法，从具体到抽象，总结出同类型问题共有的解题步骤和程序呢？现在就请大家根据一些典型习题的解题方法来寻求其对应的算法．
（六）华章重奏，雏鹰振翅欲高飞
因为本节课是一章的起始课，它的功能不仅仅是本节知识内容的落实，还需要对后面的学习起到提纲挈领的作用．所以归纳小结不仅对今天所学知识：算法的概念、特点，如何设计算法使用算法思想等作了简要回顾，还对即将学习的内容和作用作了介绍，使学生对后续的学习充满了信心和兴趣．
（七）目标检测，概念应用悟新知
（1）写出求一元二次方程根的一个算法．
（2）任意给定一个对于1的正整数，设计一个算法求出的所有因数．
六、目标检测设计
（一）课堂检测
根据以下典型解题方法寻求此类问题的算法：
1．解二元一次方程组：
解：第一步：，得， （3）
第二步，解（3）得，
第三步：，得， （4）
第四步，解（4）得，
第五步，所以方程组解为
2．画出函数的简图：
解：第一步：先把正弦曲线上所有的点向右平行移动个单位长度，得到的图象．
第二步：再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象；
第三步：再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，而得到函数的图象．
3．解下列不等式：（1）；（2）；（3）．
解：（1） 方程无实根．又的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．
（2）方程的根为
∴原不等式的解集为．
（3）方程的根为
∴原不等式的解集为．
4．判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；（3）．
解：（1）对于函数，其定义域为. 因为对于定义域内每一个，都有，所以是偶函数．
（2）对于函数，其定义域为. 因为对于定义域内每一个，都有，所以是奇函数．
（3）对于函数，其定义域为. 因为对其定义域不具备对称性，所以函数非奇非偶．
设计意图：促进学生进一步了解算法的概念及特征，巩固学生已领会的算法思想并促进其有意识的运用．
（二）课后检测：
（1）写出求一元二次方程根的一个算法．
（2）任意给定一个对于1的正整数，设计一个算法求出的所有因数．
设计意图：进一步巩固概念的认知，检测学生是否能用自然语言正确表达算法．
