5.7节三角函数的运用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课后练习（Word含答案）

12179300124587002020-2021学年第一学期人教A版（2019）必修第一册5.7节三角函数的运用课后练习
一、单选题
1．已知某人的血压满足函数解析式false，其中false为血压，false为时间，则此人每分钟心跳的次数为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
2．某艺术展览馆在开馆时间段（9：00—16：00）的参观人数（单位：千）随时间false（单位：时）的变化近似满足函数关系false，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观人数的最大值为（ ）
A．1万 B．9千 C．8千 D．7千
3．如图所示为一质点做简谐运动的图象，则下列判断中正确的是（ ）
A．该质点的振动周期为false B．该质点的振幅为false
C．该质点在false和false时振动速度最大 D．该质点在false和false时的振动速度为0
4．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0false，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ）
A．y＝sinfalse B．y＝sinfalse
C．y＝sinfalse D．y＝sinfalse
5．电流强度false随时间false变化的关系式是false，则当false时，电流强度false为（ ）
A．5A B．2.5A C．2A D．－5A
6．已知函数false，则下列判断错误的是（ ）
A．false的最小值为false B．点false是false的图象的一个对称中心
C．false的最小正周期为false D．false在false上单调递增
7．若false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．为迎接大运会的到来，学校决定在半径为false的半圆形空地false的内部修建一矩形观赛场地false，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）
A．400false B． false
C．600false D．800false
二、填空题
9．一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为false，其中false是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________ cm.
10．若将函数false的图象向左平移false个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则实数false的最小值是________.
11．函数false，若存在false，使得对任意false都有false成立，则false的最小值是_____________．
12．关于函数f（x）=false有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
③f（x）的图像关于直线x=false对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是__________．
解答题
13.如图，半径为4m的水轮绕着圆心O逆时针做匀速圆周运动，每分钟转动4圈，水轮圆心O距离水面2m，如果当水轮上点P从离开水面的时刻（P0）开始计算时间．

（1）将点P距离水面的高度y（m）与时间t（s）满足的函数关系；
（2）求点P第一次到达最高点需要的时间．
14.受日月引力影响，海水会发生涨退潮现象．通常情况下，船在涨潮时驶进港口，退潮时离开港口．某港口在某季节每天港口水位的深度y（米）是时间 t （ 0≤t≤24 ，单位：小时， t=0 表示0：00—零时）的函数，其函数关系式为 y=f(t), f(t)=Asin(ωt+φ)+K (A>0,ω>0,|φ|<π2) ．已知一天中该港口水位的深度变化有如下规律：出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，最高水位的深度为12米，最低水位的深度为6米，每天13：00时港口水位的深度恰为10．5米．
（1）试求函数 y=f(t) 的表达式；
（2）某货船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，安全条例规定船舶航行时船底与海底的距离不小于15．5米是安全的，问该船在当天的什么时间段能够安全进港？若该船欲于当天安全离港，则它最迟应在当天几点以前离开港口？
16.如图，AOB是一块半径为r的扇形空地， ∠AOB=π2 ．某单位计划在空地上修建一个矩形的活动场地OCDE及一矩形停车场EFGH，剩余的地方进行绿化．若 ∠BOG=π6 ，设 ∠AOD=θ

(Ⅰ)记活动场地与停车场占地总面积为 f(θ) ，求 f(θ) 的表达式；
(Ⅱ)当 cosθ 为何值时，可使活动场地与停车场占地总面积最大．
17.如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10 3 米，记∠BHE=θ．
（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

参考答案
C2．B3．B4．C5．B6．B7．A8．D9．false10．3 11．2 12．②③
13.【答案】 （1）解：以O为原点建立如图所示的直角坐标系．
由于水轮绕着圆心O做匀速圆周运动，可设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系 y=Asin(?t+?)+2,(?π2∵水轮每分钟旋转4圈，
∴ T=604=15 ．
∴ ?=2πT=2π15 ．
∵水轮半径为4 m，
∴A=4．
∴ y=4sin(2π15t+?)+2,(?π2当t=0时，y=0．
∴ ?=?π6 ．
∴ y=4sin(2π15t?π6)+2 ．
（2）解：由于最高点距离水面的距离为6，
∴ 6=4sin(2π15t?π6)+2 ．
∴ sin(2π15t?π6)=1 ．
∴ 2π15t?π6=π2+2kπ(k∈Z) ．
∴t=5+15k（k∈Z）．
∴当k=0时，即t=5（s）时，点P第一次达到最高点．

【解析】（1）设点P到水面的距离y（m）与时间t（s）满足函数关系 y=Asin(?t+?)+2,(?π214.【答案】 （1）解：依题意， A+K=12,?A+K=6,2πω=12 ，∴ A=3,K=9 ， ω=π6 ，又 f(13)=10.5 ，∴ 3sin(13π6+φ)+9=10.5 ，∴ sin(π6+φ)=12 ，又 ?π2<φ<π2 ，∴ φ=0 ，∴ y=f(t)=3sinπ6t+9
（2）解：令 3sinπ6t+9≥7+3.5 得 sinπ6t≥12 ，∴ 2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6 ，∴ 12k+1≤t≤12k+5,k∈Z
∵ 0≤t≤24 ，∴ 1≤t≤5 或 13≤t≤17 ，∴该船当天安全进港的时间为1~5点和13~17点，最迟应在当天的17点以前离开港口
【解析】（1）最高水位为A+K，最低水位为-A+K，联立方程组求得A和K的值，再由出现相邻两次最高水位的深度的时间差为12小时，可知周期为12，由此求得ω值，再结合每天13：00时港口水位的深度恰为10．5米，把点（13，10．5）代入y=Asin（ωx+φ）+K的解析式求得φ，则函数y=f（t）的表达式可求；（2）直接由（1）中求得的函数表达式大于等于7+3．5求解t的范围，则答案可求．
15.【答案】 解： ( Ⅰ ) 由题意得，在矩形OCDE中， ∠AOD=θ ， ∴OC=rcosθ ， OE=rsinθ ，
∴ 矩形OCDE的面积为 S矩形OCDE=OC?OE=r2sinθcosθ ；
又 ∠BOG=π6 ，四边形EFGH是矩形， ∴HG=rsinπ6=r2 ， OH=rcosπ6=3r2 ，
∴HE=OH?OE=r(32?sinθ) ；
∴ 矩形EFGH的面积为 S矩形EFGH=HG?HE=r22(32?sinθ) ，
∴f(θ)=S矩形OCDE+S矩形EFGH=r2sinθcosθ+r22(32?sinθ)=r2(sinθcosθ?12sinθ+34) ，其中 θ∈(0,π3) ；
( Ⅱ ) 由题意知， f'(θ)=r2(cos2θ?sin2θ?12cosθ)=r22(4cos2θ?cosθ?2) ，
令 f'(θ)=0 ，得 4cos2θ?cosθ?2=0 ，
解得 cosθ=1+338 ，或 cosθ=1?338( 不合题意，舍去 ) ；
令 cosθ0=1+338 ，则 θ0∈(0,π3) ；
① 当 θ∈(0,θ0) 时， f'(θ)>0 ， f(θ) 单调递增；
② 当 θ∈(θ0,π3) 时， f'(θ)<0 ， f(θ) 单调递减；
∴ 当 θ=θ0 时， f(θ) 取得最大值；
即 cosθ=1+338 时，可使活动场地与停车场占地总面积最大．
【解析】 ( Ⅰ )根据三角函数的定义及矩形的面积公式，即可确定函数的表达式；
(Ⅱ) 求导数，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值和此时的余弦值.
16.【答案】 （1）解：由题意可得EH= 10cosθ ，FH= 10sinθ ，EF= 10sinθcosθ ，由于 BE=10tanθ≤10 3 ，AF= 10tanθ ≤10 3 ，
而且 33 ≤tanθ≤ 3 ，θ∈[ π6 ， π3 ]，
∴L= 10cosθ + 10sinθ + 10sinθcosθ ，θ∈[ π6 ， π3 ]．
即L=10× sinθ+cosθ+1sinθ?cosθ ，θ∈[ π6 ， π3 ]
（2）解：设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ= t2?12 ，由于θ∈[ π6 ， π3 ]，∴sinθ+cosθ=t= 2 sin（θ+ π4 ）∈[ 3+12 ， 2 ]．
由于L= 20t?1 ?在[ 3+12 ， 2 ]上是单调减函数，∴当t= 3+12 时，即 θ= π6 ?或θ= π3 ?时，L取得最大值为 20（ 3 +1）米
【解析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 20t?1 ?在[ 3+12 ， 2 ]上是单调减函数，可求得L的最大值．