2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章 图形的相似》单元测试卷（word版含解析）

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第1章
图形的相似》单元测试卷
一．选择题
1．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）
A．两个直角三角形
B．两个等边三角形
C．两个菱形
D．两个矩形
2．如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（　　）
A．∠2＝∠B
B．∠1＝∠C
C．
D．
3．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（　　）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
4．下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（　　）
A．三角形
B．平行四边形
C．抛物线
D．圆
5．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和10cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（　　）
A．3cm
B．4cm
C．4.5cm
D．5cm
6．如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则＝（　　）
A．
B．
C．
D．
7．下面四组图形中，必是相似三角形的为（　　）
A．两个直角三角形
B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
C．有一个角为40°的两个等腰三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
8．如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（　　）
A．2：1
B．4：1
C．：1
D．1：
9．如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF，给出以下结论：①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③BF∥DE；④S△BEF＝．其中所有正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；
②△DFP∽△BPH；
③△PFD∽△PDB；
④DP2＝PH?PC．
其中正确的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11．在长8cm，宽6cm的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是　
　cm2．
12．在如图所示的相似四边形中，未知边x＝　
　．
13．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为　
　．
14．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为　
　．
15．如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，若AB＝4，BC＝6，则线段EF的长为　
　．
16．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，D是边AB上的一点，E是边AC上的一点（D，E均与端点不重合），如果△CDE与△ABC相似，那么CE＝　
　．
17．如图，△ABC，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于　
　．
18．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，点M在边AB上，AM＝3，过点M作直线MN与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为　
　．
19．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2020个正方形的面积为　
　．
20．如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形ABCD中，AB＝AC＝，AD＝CD＝，点E、点F分别是边AD，边BC上的中点．如果AC是凸四边形ABCD的相似对角线，那么EF的长等于　
　．
三．解答题
21．小红家的阳台上放置了一个晒衣架，如图1，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm，垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？
22．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．
23．如图，矩形ABDE中，AB＝3cm，BD＝7cm，点C在边ED上，且EC＝1cm，点P在边BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PD的长．
24．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
25．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段OA的端点在格点上，且OA＝1．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
（1）作△OAB，使线段OB＝2，线段AB＝．
（2）C为线段OB的中点，画△OCD∽△AOB．
（3）选择适当的格点E，作∠BAE＝45°．
26．我们已经知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形．比如两个正方形，它们的边长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．
现给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形．请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由．
27．已知点O是四边形ABCD内一点，AB＝BC，OD＝OC，∠ABC＝∠DOC＝α．
（1）如图1，α＝60°，探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，α＝120°，探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；
（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为　
　（直接写出答案）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：B．
2．解：∠A＝∠A，
A、若添加∠2＝∠B，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
B、若添加∠1＝∠C，可利用两角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
C、若添加＝，可利用两边及其夹角法判定△AED∽△ABC，故本选项错误；
D、若添加＝，不能判定△AED∽△ABC，故本选项正确；
故选：D．
3．解：当＝时，
又∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA．
故选：C．
4．解：A、两个三角形不一定相似，如等边三角形和直角三角形，故此选项不符合题意；
B、两个平行四边形不一定相似，如矩形和菱形，故此选项不符合题意；
C、两条抛物线不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个圆一定相似，故此选项符合题意；
故选：D．
5．解：设另一个三角形的最长边长为xcm，
根据题意，得：，
解得：x＝5，
即另一个三角形的最长边长为5cm，
故选：D．
6．解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝＝，
故选：D．
7．解：两个直角三角形不一定相似；
因为只有一个直角相等，
∴A不一定相似；
两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；
因为这个对应角不一定是夹角；
∴B不一定相似；
有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；
因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，
∴C不一定相似；
有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；
因为100°的角只能是顶角，
所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，
∴D一定相似；
故选：D．
8．解：根据矩形相似，对应边的比相等得到：，
即：，
则b2＝
∴＝2，
∴＝：1
矩形的长边与短边的比是：1．
故选：C．
9．解：如图，由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
在Rt△ADG和Rt△FDG中，
，
∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），故①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x+6，BG＝12﹣x，
由勾股定理得：EG2＝BE2+BG2，
即：（x+6）2＝62+（12﹣x）2，
解得：x＝4
∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，故②正确，
∵EF＝EC＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF，
∵∠DEC＝∠DEF，∠CEF＝∠EFB+∠EBF，
∴∠DEC＝∠EBF，
∴BF∥DE，故③正确；
S△GBE＝×6×8＝24，S△BEF＝?S△GBE＝×24＝，故④正确．
综上可知正确的结论的是4个．
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠CBA＝90°，
∵△BCP是等边三角形，
∴∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∴∠ABE＝30°，
∴BE＝2AE，故①正确，
∵AD∥BC，
∴∠DFP＝∠BCP＝∠BPH＝60°，
∵∠PHB＝∠PCB+∠CBH＝60°+45°＝105°，
又∵CD＝CP，∠PCD＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，
∴∠DPF＝105°，
∴∠PHB＝∠DPF，
∴△DFP∽△BPH，故②正确，
∵∠DPB＝60°+75°＝135°≠∠DPF，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误，
∵∠PDH＝∠PDC﹣∠CDH＝75°﹣45°＝30°，
∴∠PDH＝∠PCD，
∵∠DPH＝∠CPD，
∴△PDH∽△PCD，
∴＝，
∴PD2＝PH?PC，故④正确，
故选：C．
二．填空题
11．解：设宽为x，
∵留下的矩形与原矩形相似，
∴＝，
解得x＝．
∴截去的矩形的面积为×6＝21cm2，
∴留下的矩形的面积为48﹣21＝27cm2，
故答案为：27．
12．解：根据题意得：＝
解得x＝27．
故答案为：27．
13．解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC?AB＝BC?OP'，求得OP′，而其他部分的步骤共用．
故答案为：．
14．解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，
∴对应高的比为：3：2．
故答案为：3：2
15．解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如右图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝6，
∴BD＝3，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD＝＝5，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE＝＝，
∵AB＝4，BE＝，∠AEB＝90°，
∴AE＝＝，
设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，
∴，
即，
解得，x＝，
∴EF＝2x﹣＝2×﹣＝，
故答案为：．
16．解：∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
当△ABC∽△CDE，如图1，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴△ADC为等腰三角形，
∴CE＝AE，
∴CE＝AC＝2；
当△ABC∽△DCE，如图2，则∠CED＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠B，
而∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴CD⊥AB，
∴CD＝＝，
∵△ABC∽△DCE，
∴AB：CD＝BC：CE，即5：＝3：CE，
∴CE＝；
当△ABC∽△CED，如图3，∠CDE＝∠ACB＝90°，∠DCE＝∠A，
∴DC＝DA，
∵∠A+∠B＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴DB＝DC，
∴CD＝DA＝DB＝AB＝，
∵△ABC∽△CED，
∴CE：AB＝CD：AC，即CE：5＝：4，
∴CE＝，
综上所述，CE的长为2，，．
故答案为2，，．
17．解：∵△ABC∽△ADE，
∴＝或＝，
∵AD＝AB，AB＝12，
∴AD＝8，
∵AC＝15，
∴＝或＝，
解得：AE＝10或6.4．
故答案为10或6.4
18．解：∵△AMN和△ABC相似，
∴①如图1，△AMN∽△ABC，
∴＝，
∵AM＝3，BC＝12，AB＝9，
∴，
解得MN＝4．
②如图2，△AMN∽△ACB，
∴＝，
∵AM＝3，AC＝6，BC＝12，
∴，MN＝6，
综上所述，MN为4或6．
故答案为：4或6．
19．解：∵正方形ABCD的点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA＝1，OD＝2，AD＝，，
延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，
∴△AA1B∽△DAO，
∴，
∵AD＝AB＝，
∴A1B＝，
∴第1个正方形的面积为：S1＝A1C2＝（+）2＝5?（）2；
同理可得，A2C2＝（+）2
第2个正方形的面积为：S2＝5?（）4
…
∴第2020个正方形的面积为：S2020＝5?（）4038．
故答案为：5?（）4038．
20．解：如图所示：
∵AB＝AC，AD＝CD，△ABC∽△DAC，
∴AC2＝BC?AD，
∵AC＝，AD＝，
∴CB＝2，
∵△ABC∽△DAC，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴CB∥AD，
∵AB＝AC，F为BC中点，
∴AF⊥CB，BF＝CF＝1，
∴∠AFC＝90°，
∵CB∥AD，
∴∠FAE＝∠AFC＝90°，
∵AC＝，
∴AF＝，
∵AD＝，E为AD中点，
∴AE＝，
∴EF＝＝＝．
故答案为：．
三．解答题
21．解：∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOD），
同理可证：∠OBD＝∠ODB＝（180°﹣∠BOD），
∴∠OAC＝∠OBD，
∴AC∥BD，
在Rt△OEN中，ON＝＝30（cm），
过点A作AM⊥BD于点M，
同理可证：EF∥BD，
∴∠ABM＝∠OEN，则Rt△OEN∽Rt△ABM，
∴＝，AM＝＝120（cm），
所以垂挂在衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖落到地面上．
22．解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴，∠C＝α，∠D＝∠D′＝140°．
∴x＝12，y＝，α＝∠C＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°．
23．解：∵四边形ABDE为矩形，AB＝3cm，BD＝7cm，EC＝1，
∴DC＝DE﹣CE＝BA﹣CE＝2cm，BD＝AE＝7cm．
设DP＝xcm，则BP＝（7﹣x）cm．
∵∠B＝∠D＝90°，
∴存在两种情况．
①当△CDP∽△ABP时，＝，
即＝，
∴x＝；
②当△PDC∽△ABP时，＝，
即＝，
整理，得：x2﹣7x+6＝0，
解得：x1＝1，x2＝6．
∴当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，PD的长为cm或1cm或6cm．
24．证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，
∴∠PCA＝∠PDB＝120°，
∵AC＝1，BD＝4，
∴，＝，
∴＝，
∴△ACP∽△PDB．
25．解：（1）如图所示，△OAB即为所求；
（2）如图所示，△OCD∽△AOB；
（3）如图所示，∠BAE＝45°．
26．解：①两个圆，它们的所有对应元素都成比例，是相似图形；
②两个菱形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，不一定是相似图形；
③两个长方形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不一定是相似图形；
④两个正六边形，它们的边长、对应角等所有元素都对应成比例，是相似图形．
∴①④是相似图形，②③不一定是相似图形．
27．解：（1）AD＝OB，
如图1，连接AC，
∵AB＝BC，OD＝OC，∠ABC＝∠DOC＝60°，
∴△ABC与△COD是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△ACD与△BCO中，
，
∴△ACD≌△BCO，
∴AD＝OB；
（2）AD＝OB；
如图2，连接AC，
∵AB＝BC，OC＝OD，
∴，
∵∠ABC＝∠DOC，
∴△ABC∽△DOC，
∴，
过B作BF⊥AC于F，
∵AB＝BC，OD＝OC，∠ABC＝∠DOC＝120°，
∴∠ACB＝∠DCO＝30°，
∴∠ACD＝∠BCO，
∵，
∴△ACD∽△BCO，
∴，
∵∠CFB＝90°，
∴＝2sin60°＝，
∴AD＝OB；
（3）如图3，连接AC，过B作BF⊥AC于F，
∵AB＝BC，OD＝OC，∠ABC＝∠DOC＝α，
∴∠ACB＝∠DCO＝，
∴∠ACD＝∠BCO，
∴△ACD∽△BCO，
∴，
∵∠CFB＝90°，
∴＝2sin，
∴AD＝2sinOB．
故答案为：AD＝2OBsin．