专题强化训练2 复数-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册练习(Word含答案)

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名称 专题强化训练2 复数-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册练习(Word含答案)
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文件大小 164.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-07-09 13:01:06

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文档简介

专题强化训练(二) 复数
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.如图所示,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是(  )
A.A  B.B    
C.C     D.D
2.已知a,b∈C,下列命题正确的是(  )
A.3i<5i
B.a=0?|a|=0
C.若|a|=|b|,则a=±b
D.a2≥0
3.复数的共轭复数为(  )
A.-+i B.+i
C.-i D.--i
4.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则 (a+bi)2=(  )
A.3-4i B.3+4i
C.4-3i D.4+3i
5.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于(  )
A.1 B.-1
C. D.-
二、填空题
6.设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=________.
7.复数z满足方程 i=1-i,则z=________.
8.若复数(-6+k2)-(k2-4)i所对应的点在第三象限,则实数k的取值范围是________.
三、解答题
9.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,求复数z.
10.已知复数z=(1-i)2+1+3i.
(1)求|z|;
(2)若z2+az+b=,求实数a,b的值.
11.(多选题)设z是复数,则下列命题中的真命题是(  )
A.若z2≥0,则z是实数 B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2≥0 D.若z是纯虚数,则z2<0
12.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(  )
A.第一象限     B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
13.对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的是________.(填序号)
①|z-|=2y;②z2=x2+y2;
③|z-|≥2x;④|z|≤|x|+|y|.
14.求关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解.
15.已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值;
(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,当z为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.
专题强化训练(二) 复数
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.如图所示,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是(  )
A.A  B.B    
C.C     D.D
B [设z=a+bi(a,b∈R),且a<0,b>0,
则z的共轭复数为a-bi,其中a<0,-b<0,
故应为B点.]
2.已知a,b∈C,下列命题正确的是(  )
A.3i<5i
B.a=0?|a|=0
C.若|a|=|b|,则a=±b
D.a2≥0
B [A选项中,虚数不能比较大小;B选项正确;C选项中,当a,b∈R时,结论成立,但在复数集中不一定成立,如|i|=,但i≠-+i或-i;D选项中,当a∈R时结论成立,但在复数集中不一定成立,如i2=-1<0.]
3.复数的共轭复数为(  )
A.-+i B.+i
C.-i D.--i
D [===-+i,共轭复数为--i,故选D.]
4.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则 (a+bi)2=(  )
A.3-4i B.3+4i
C.4-3i D.4+3i
A [由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,则(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.]
5.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于(  )
A.1 B.-1
C. D.-
B [∵(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,m∈R,∴由a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0,得m3+1=0,即m=-1.]
二、填空题
6.设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=________.
3 [∵|a+bi|==,∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.]
7.复数z满足方程 i=1-i,则z=________.
-1+i [∵i=1-i,∴===-i(1-i)=-1-i,∴z=-1+i.]
8.若复数(-6+k2)-(k2-4)i所对应的点在第三象限,则实数k的取值范围是________.
(-,-2)∪(2,) [由已知得∴4三、解答题
9.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,求复数z.
[解] 设z=bi (b∈R,b≠0),
则(z+2)2-8i=(2+bi)2-8i=(4-b2)+(4b-8)i,
∵(z+2)2-8i为纯虚数,
∴4-b2=0且4b-8≠0.∴b=-2.∴z=-2i.
10.已知复数z=(1-i)2+1+3i.
(1)求|z|;
(2)若z2+az+b=,求实数a,b的值.
[解] z=(1-i)2+1+3i=-2i+1+3i=1+i.
(1)|z|==.
(2)z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b
=2i+a+ai+b=a+b+(a+2)i,
∵=1-i,∴a+b+(a+2)i=1-i,
∴∴a=-3,b=4.
11.(多选题)设z是复数,则下列命题中的真命题是(  )
A.若z2≥0,则z是实数 B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2≥0 D.若z是纯虚数,则z2<0
ABD [设z=a+bi(a,b∈R),选项A,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi≥0,则故b=0或a,b都为0,即z为实数,正确.选项B,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi<0,则则故z一定为虚数,正确.选项C,若z为虚数,则b≠0,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,由于a的值不确定,故z2无法与0比较大小,错误.选项D,若z为纯虚数,则则z2=-b2<0,正确.]
12.复数z=(m∈R,i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于(  )
A.第一象限     B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A [z===[(m-4)-2(m+1)i],其实部为(m-4),虚部为-(m+1),由得此时无解.故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限.]
13.对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的是________.(填序号)
①|z-|=2y;②z2=x2+y2;
③|z-|≥2x;④|z|≤|x|+|y|.
④ [对于①,=x-yi(x,y∈R),|z-|=|x+yi-x+yi|=|2yi|=|2y|,故不正确;对于②,z2=x2-y2+2xyi,故不正确;对于③,|z-|=|2y|≥2x不一定成立,故不正确;对于④,|z|=≤|x|+|y|,故正确.]
14.求关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解.
[解] 设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是
解得或
因为13-2x=≥0,
所以x≤,
故x=舍去,
故z=4+3i.]
15.已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a,b的值;
(2)若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0,当z为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.
[解] (1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,
故解得a=b=3.
(2)设z=m+ni(m,n∈R),由|-3-3i|=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m2+n2),
即(m+1)2+(n-1)2=8,
所以Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,以2为半径的圆.
如图,当Z点在直线OO1上时,|z|有最大值或最小值.
因为|OO1|=,半径r=2,
所以当z=1-i时,|z|有最小值,且|z|min=.