§3.1.1两角差的余弦公式
桃源八中 张超宇
姓名 班次 组号 小组评价 教师评价
【学习目标】
知识与技能：会用向量的方法进行两角差的余弦公式的推导；掌握公式，学会对公式的简单应用.
过程与方法：通过公式推导与运用，体会利用联系的观点来分析解决问题，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，提高恒等变形能力和逻辑推理能力.
情感、态度价值观：通过教师启发引导、小组合作探究，通过公式的推导，经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识。培养勇于探索的精神和解决问题的优化意识；激发提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情.
【学习重点、难点】
重点：公式的推导与应用. 难点：公式的推导与理解.
【学习过程】
一、课前准备（预习教材P124 ～P127，找出疑惑之处，弄清以下几个问题）
1、复习任意角的三角函数值的定义、三角函数线.
2、回忆在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？
3、两角差的余弦公式的表达形式是什么？公式有什么特点？可以怎样记忆？
4、※如何推导或证明两角差的余弦公式.
二、新课导学：
※ 问题学习探究
1、一般地，cos(α-β)能否用α 、β角的正弦、余弦函数来表示 若能，如何用任意角α与β的正弦、余弦函数来表示cos(α-β)？
2、设α，β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ成立吗
※自主、合作、展示:
（A级）1、不查表计算下列各式的值：；
（2）（提示：把特殊值变成特殊角的正弦和余弦）.
(B级)
(C级) 3、教材P127练习第2题.
(C级) 4、教材P127练习第3题.
(思考题)5、
三、课堂小结
四、当堂测试（测试问题见课件）
1、不查表计算下列各式的值（只写结果）：
（1） （2）
2、
3、
五、学习总结与反思
（1）自我评价：你完成本节导学案的情况为
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
（2）我想对老师说（学得最好的或最不理解的或教学建议或对学案编制想法等）：
【 课后作业】 教材P137习题3.1 A组 第2、3、4题§3.1.1两角差的余弦公式
桃源八中 张超宇
【教学目标】
知识与技能：会用向量的方法进行两角差的余弦公式的推导；掌握公式，学会对公式的简单应用.
过程与方法：通过公式推导与运用，体会利用联系的观点来分析解决问题，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，提高恒等变形能力和逻辑推理能力.
情感、态度价值观：通过教师启发引导、小组合作探究，通过公式的推导，经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识。培养勇于探索的精神和解决问题的优化意识；激发提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情.
【教学重点、难点】
重点：公式的推导与应用. 难点：公式的推导与理解.
【教学过程】
一、问题探究、导入新课
1、复习任意角的三角函数值的求法.
2、复习：在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？
3、思考
_________；_________；
？
（1）
（2）
4、上式中15°能否写成两个特殊角的和或差的形式
5、究竟cos15°=
6、cos(45°— 30°)能否用45°和30°角的正弦、余弦函数来表示
7、如果能,那么一般地cos(α-β)能否用α 、β角的正弦、余弦函数来表示
8、一般地，cos(α-β)能否用α 、β角的正弦、余弦函数来表示 若能，如何用任意角α与β的正弦、余弦函数来表示cos(α-β)？
9、设α、β为两个任意角, 你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ成立吗
（引入新课，书写课题）
二、新课讲授、解决疑难：
1、两角差的余弦公式：设α，β为两个任意角
2、证明两角差的余弦公式
分析：(1)结合图形,明确应选择哪几个向量,它们怎么表示
(2)怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探索结果
证明：（略）
3、两角差的余弦公式理解
（1）仔细观察一下公式的结构，说说公式的结构有什么特点？应怎样记忆？（对学生的回答给予及时肯定）；
（2）对于α、β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α-β）.
4、两角差的余弦公式（※自主、合作、展示）:
（A级）1、不查表计算下列各式的值： ；
（2）（提示：把特殊值变成特殊角的正弦和余弦）.
(B级)
(C级) 3、教材P127练习第2题.
(C级) 4、教材P127练习第3题.
（运用公式时应根据角的范围，正确确定两角正、余弦值的范围）
(思考题)4、
三、课堂小结
（1）两角差的余弦公式：。公式探究的一般步骤： 特殊→猜想→证明。
（2）在运用两角差的余弦公式时应注意：根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负；适当逆用公式，可达到化简计算的目的；灵活选取两角的形式，活用公式．公式中角α、β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如:2β＝(α＋β)－(α－β) 等.
（3）在两角差的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.
四、当堂测试
1、填空： ； .
2、已知 是第二象限角，求 的值。
3、
五、课后作业布置：
（书面作业）教材P137习题3.1 A组 第2、3、4题
【课后总结与反思】
这次的学案教学设计我从如何解决一个实际问题出发，首先通过章头图实际问题的引入，又作恰当的数据改变，起点低、浅，让学生感受到研究两角差的余弦公式的必要性，通过求解特殊问题，引起学生学习兴趣。鼓励学生发挥想象力，大胆猜测，然后再去验证其合理性，增强学生探索问题、挑战困难的勇气。鼓励学生对各种可能的情况进行探索，培养他们的交流合作意识，在探索的过程中获得成就感。学生能轻易地解决，然后作相应的推广，引发知识矛盾冲突，明确探究目标。这样启发调动学生的思维与学习积极性，抓住学生的兴趣。
公式推导过程，我设计主要通过计算猜想，两角差余弦公式，特殊验证，作出初步决策，引导学生运用数形结合的思想给出证明。借用新教材的推导方法，即先用数形结合的思想，借助于单位圆中的三角函数线，推出α、β、α－β均为锐角时公式成立。接着根据学生实际知识水平，作适当的点拨推广对于α，β为任意角时的情况，教材运用向量的知识进行了探究，使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程，学生易于理解和掌握。学生从直观角度加强对差角公式结构形式的认识，学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量方法的作用，提高了学生运用向量解决相关问题的意识和能力。我利用学案教学模式，引导学生首先独学发现问题，然后通过学习小组合作交流探究，提出问题、解决问题，并让学习小组代表讲解，学习小组间质疑对抗，采用了新教材的思路，这样使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣。培养勇于探索的精神和解决问题的优化意识；激发提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。
当然，学生运用所学解决实际问题的能力；利用变式突破学生在运用公式过程中的易错点；对逆用公式解题加深认识，以及活用公式；加深学生对公式中两角形式变化的认识，强化整体思想等等，都是我们在今后的教学中要注意加强的。
如何求？(共25张PPT)
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
主讲：张超宇老师
1、在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？
知识链接
____；
________；
？
思考1：
问题导学
如何求
问题导学
3.1.1 两角差的余弦公式
高一数学 张超宇老师
225班学案完成情况
◆基本情况：
一组：+2.1分 二组：+2.4分 ★ 三组：+2.2分
四组：+1.5分 五组：+2.4分 ★ 六组：+2分
七组：+1.6分 八组: +2.2分
◆学案完成最好的同学：
胡坤萌★ 黄晓娟 ★ 陈翼双 ★ 郑焱 ★
学习目标
1.会用向量的方法进行两角差的余弦公式的推导；掌握该公式的简单应用。
2.通过公式推导与运用，体会利用联系的观点来分析解决问题，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，提高恒等变形能力和逻辑推理能力.
3.通过公式的推导，经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识。通过教师启发引导、小组合作探究，培养勇于探索的精神和解决问题的优化意识；提高逻辑推理能力、化归能力和合作学习能力.
学习目标
新课导学
2、请给出证明
推导公式
探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示 ？
（1）结合黑板上的图形，明确要选择哪几个向量，它们怎么表示？
（2）怎样利用向量数量积的概念和坐标计算公式得到探索结果
-1
1
1
-1
α -β
B
A
y
x
o
β
α
新课导学
∴
证明：∵
-1
1
1
-1
α -β
B
A
y
x
o
β
α
∴ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
新课导学
又∵
新课导学
学
习
探
究
注意：
1.公式的结构特点；
2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦，就可以求出cos(α-β）.
α、β是任意角
分析:
新课导学
小组合作探究要求：
各组就整份学案有疑难的题目展开充分有效讨论，如：该题当中用到一些什么知识点，运用时应注意一些什么都要进行重点讨论，确定一套最优的展示方案及讲解思路。
新课导学
1、不查表计算下列各式的值：
（提示：把特殊值变成特殊角的正弦和余弦）.
自
主
合
作
展
示
新课导学
自
主
合
作
展
示
3、已知
求 的值.
自
主
合
作
展
示
新课导学
新课导学
自
主
合
作
展
示
思考题：已知 都是锐角,
分析：变角
三角函数中一定要注意观察角度之间的关系，例如
抽签决定任务分配：
1号：第一题； 2号：第二题；
3号：第三题； 4号：思考题
注意：抽到任务的每个小组的3号板书展示、1号讲解。
板书、讲解、对抗、质疑
课堂回顾小结
公式探究的一般步骤：特殊→猜想→证明。
2、在运用两角差的余弦公式时应注意：根据角的范围，确定两角正、余弦值的正、负；适当逆用公式，可达到化简计算的目的；灵活选取两角的形式，活用公式．公式中角α、β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，
如:2β＝(α＋β)－(α－β) 等.
课堂回顾小结
3、在两角差的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.
课堂回顾小结
【当堂检测】
1.填空:只将最后的结果填在横线上
3.
2.已知 是第二象限角，求 的值。
1、教材P137 3.1 A组 第2、3、4题.
课外作业
