新课标教材 人教A版《数学2-3》(选修) 第三章 统计案例
《独立性检验》教学设计
一、教学目标
1.使学生理解分类变量(也称属性变量或定性变量)的含义，体会两个分类变量之间可能具有相关性；
2.通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗 ）的探究，使学生了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法、步骤及应用；
3.鼓励学生体验用多种方法(等高条形图和独立性检验)解决同一问题，并对各种方法的优缺点进行比较；
4.让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性（如统计可能犯错误，原因可能是收集的数据样本容量小或样本采集不合理，也可能是理论上的漏洞，如在一次实验中，我们假设小概率事件不发生，这一点本身就值得质疑）.
二、重点
本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤.
三、难点
在授课过程中，学生学习过程中遇到的困难主要有以下几个方面：
1.的结构的比较奇特，也来的有点突然，学生可能会提出疑问。
2.如何理解独立性检验的基本思想？
3.独立性检验的一般步骤及背后的理论依据是什么？
4.为什么在最后表达结论的时候要说明“在犯错误的概率不超过XX的前提下”。
四、教学模式
“问题串”模式为主，理清教学思路，鼓励学生思考；“讲授式”为辅，解释学生难以自主探究的知识内容.
五、教学过程设计
教学环节 师 生 活 动 设 计 意 图
引子 [有奖竞猜]师：播放一段视频(《铁齿铜牙纪晓岚》)，让学生猜出电视剧的名称生：观看视频，抢答 通过游戏激发学生的学习兴趣，为本节课的主要问题——吸烟与健康是否有关做好铺垫.
问题导入 师：问题1：吸烟会影响到烟民的寿命吗？“吸烟有害健康”，这是我们很熟悉的常识，因此我们很自然地认为，吸烟会减损人的寿命，然而也有很多例外。一个吸烟而且长寿的人的例子能说明吸烟对人的健康没有影响吗？为什么？生：思考，回答 通过这个问题，希望学生能回忆起统计的基本原则，即样本容量不能太小，样本的抽取方式应尽量保证随机性。另外，通过学生比较熟悉的人物，使学生感到亲切感，调动学生的学习热情。
师：问题2：假如我们想通过调查，考察吸烟是否与患肺癌有关，那我们需要用到什么样的数据？是否可以将这些数据列成一张表格便于分类加和？生：思考，回答 让学生自行设计出列联表。分类变量与列联表是本节新概念，但比较简单，学生不难想到，因此鼓励学生独立思考，自主设计.
师：问题3：分类变量是本节给出的新概念，你能指出分类变量和我们数学中提到的普通的变量在本质上有什么差别吗？你能否再举出几个分类变量的例子？你能否举出一对分类变量，使它们之间有某种相互关联？生：思考，回答 通过这个简单的问题，希望使能学生们打开思路，同时领略到数学是有用的，数学与生活息息相关。
介绍等高条形图法 师：问题4：为了判别吸烟与患肺癌两件事是否相关，课本上采用了两种方法，等高条形图法和独立性检验法，你能说出等高条形图法的优缺点吗？运用Excel软件现场制作等高条形图生：思考，观察，回答 这个问题一来指明本节范围内只涉及两种解决方法，二来通过学生对等高条形图方法优劣的认识，体现出引入独立性检验方法的必要性。
介绍独立性检验法 师：问题5：课本在91页帮我们收集了考察吸烟是否与患肺癌有关的相关数据，课本上是如何处理这些数字的？除了表格中的数据外，是否还引进了其他的数字？请通过一张图表把教材上处理数据并得出结论的过程整理出来.生：阅读课本，提炼信息，绘制操作流程图 教材中一边给出数据处理的过程，一边讲解每一步的道理，这样容易使学生感到不知所云.于是我设计了这个问题，希望学生们专注于提炼解题步骤，至于其理论依据，则放在下一个环节集中处理.属“各个击破”方略
师：整理学生作出的流程图，在黑板上画出规范的流程图，讲解每一步流程背后的理论依据，并鼓励学生参与到对解题思路的探究中来生：理解教师的讲解，参与到关于解题思路的探究中 新课标的理念下，学生在学习新知识的时候，不仅关心知识内容，更关注其来龙去脉，因此在适当的程度下，应给学生讲清楚知识的由来、背景和依据.而独立性检验中遇到了之前学生没有遇到的知识和思想，学生难以自主探究，于是就采取传统的“讲授式”教学，不过最大程度上吸引学生参与到对解题思路的探究中来
师：问题6：在数据处理过程中，我们用到的统计量.假定我们想证明吸烟与患肺癌无关，那么越大越好还是越小越好？为什么？生：思考，齐答 这个问题目标是想让学生头脑里面保持一种很清晰的意识：越小，越有利于说明两件事约“独立(无关)”，反之说明越“相关”.
师：问题7：统计学家们经过研究，得到了各种可信程度下的临界值如下表(更多数据可以参看课本94页下边的表格)：可信程度0.950.990.999犯错误概率上界0.050.010.001临界值3.8416.63510.828 假设有一道题目，我们计算得到的值是9.264，那么我们是否有足够的条件来下结论说两件事相关还是无关呢？如果条件不足，那么我们还需要什么样的条件？ 生：观察，思考，齐答 这个问题的设计意图有两点：一是使学生意识到，犯错误概率是进行独立性检验中不可缺少的数据，缺了它将来就没有了参照的标准；二是独立性检验中因为有“认为小概率事件不可能发生”的观点而存在漏洞，从而存在着犯错误的风险。我们认为犯错误的概率不会超过小概率事件的发生概率，因此在结论中会这样描述“在犯错误的概率不超过XX的前提下，我们认为XXX”。
师：问题8：我们进行独立性检验时，表格中的无疑是最重要的数据，课本在一个不太起眼的角落提到了我们进行独立性检验的时候对这四个基本数据的基本要求，你找到了吗？生：阅读课本，齐答 这是一个简单的问题，答案也十分简单，设计意图更简单，为的是使学生养成细心的好习惯，顺带强调一下独立性检验中，对数据的基本要求。
师：问题9：从整体思路上看，独立性检验的思想与反证法的思想有些类似之处，请将下列表格补充完整，并体会它们各自的本质及二者之间的区别和联系，并尝试归纳独立性检验的一般步骤。反证法思想用于独立性检验的假设检验思想目标证明结论成立结果只有一种：结论成立判断分类变量X与Y之间是否有关结果有两种可能：有关或无关构造两种情况：结论成立：结论的反面成立：X与Y之间____关：X与Y之间____关理论依据矛盾双方不可能同时成立但是有且只有一个成立在一次试验中，小概率事件(观测值____临界值)几乎是不可能发生的(填入适当的不等号)操作步骤1) 假设反面成立2) 推导矛盾从而推翻3) 不成立说明成立 此问题的设计旨在使学生初步体会独立性检验的整体思想，并与所学的反证法思想相对比，顺便归纳整理独立性检验的一般步骤.此问题难度较大，需要学生建立在对反证法与独立性检验的理论、思想及操作全过程都比较熟悉的基础上才能完成。如果时间允许的话，可在讲解完例1之后，再安排一道例题使学生对独立性检验有了更进一步的认识，然后再提出问题9。
例题讲解 师：讲解课本上第95页例题1生：阅读题目，自主思考 通过例题解析，使学生进一步熟悉独立性检验能解决什么问题，解决步骤如何，还有解题过程的书写格式
作业练习 练习：网络对现代人的生活影响较大，尤其对青少年.为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生随机抽取了1000人调查，发现其中经常上网的有200人，其中有80人期末考试不及格，而另外800人中，有120人不及格.问：中学生经常往往是否影响学习？为什么？(你的结论正确率要达到99%) 巩固提高所学知识
作业： 1. 仔细阅读课本，并体会独立性检验的基本思想2. 课本97页 习题3.2 1、2题新课标教材 人教A版《数学2-3》(选修) 第三章 统计案例
《独立性检验》教学设计说明
一、内容与内容解析
《独立性检验》为新课标教材中新增加的内容.
虽然本节是新增内容，理论比较复杂，教学时间也不长(1-2课时)，但由于它贴近实际生活，在整个高中数学中，地位不可小视.在近几年各省新课标高考试题中，本节内容屡屡出现，而且多以解答题的形式呈现，其重要性可见一斑.
该内容是前面学生在《数学3》(必修)中的统计知识的进一步应用，并与本册课本前面提到的事件的独立性一节关系紧密，此外还涉及到与《数学2-2》(选修)中讲到的“反证法”类似的思想.
本小节的知识内容如右图。“独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否具有相关性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种简单的思路，即借助等高条形图的方法，随后引出相对更精确地解决办法——独立性检验。独立性检验的思想，建立在统计思想、假设检验思想(小概率事件在一次试验中几乎不可能发生)等基础之上，通常按照如下步骤对数据进行处理：明确问题→确定犯错误概率的上界及的临界值→收集数据→整理数据→制列联表→计算统计量的观测值→比较观测值与临界值并给出结论.
本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤.
二、目标与目标解析
本节课的教学目标是主要有：
1.理解分类变量(也称属性变量或定性变量)的含义，体会两个分类变量之间可能具有相关性；
2.通过对典型案例（吸烟和患肺癌有关吗 ）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法、步骤及应用。
3.鼓励学生体验用多种方法(等高条形图法与独立性检验法)解决同一问题，并对各种方法进行比较。
4.让学生对统计方法有更深刻的认识，体会统计方法应用的广泛性，进一步体会科学的严谨性（如统计可能犯错误，原因可能是收集的数据样本容量小或样本采集不合理，也可能是理论上的漏洞，如在一次实验中，我们假设小概率事件不发生，这一点本身就值得质疑）.
其中第2条是重点目标，也是《课程标准》中明确指出的教学要求之一.
三、教学问题诊断分析
基于对学生已有数学水平的分析，在本节新学内容时，有以下几点是初学者不易理解或掌握的：
1.的结构比较奇怪，来的也比较突然，学生可能会提出疑问.
关于这个问题的处理，要首先利用好前面对“比例”或者两个分类变量“独立”的分析。借助两件事独立的定义以及样本容量较大时可以用频率近似表示概率，可以得到，考虑到近似造成的误差，未必恰好为0，但不会太大，于是这个值的平方占概率乘积的比例应该较小。由于四对事件的独立具有等价性，故加和之后应该很小，而将此式化简之后 即得的表达式(这个推导过程是我借鉴人教B版教材相应章节知识内容获悉的).另，由此可知越小说明两件事越“独立”，因此当它小于临界值时有利于说明二者独立，大于或等于临界值时，有利于说明二者相关.
2.如何理解独立性检验的基本思想？
这个问题需要和反证法做一个对比，学生可以通过完成表格(印在学案上)以对二者的基本思想作比较并加以区别。表格内容如下：
反证法思想 用于独立性检验的假设检验思想
目标 证明结论成立结果只有一种情况：结论成立 判断分类变量X与Y之间是否有关结果有两种可能：有关或无关
构造两种情况 ：结论成立 ：结论的反面成立 ：X与Y之间无关(独立)：X与Y之间有关
理论依据 矛盾双方不可能同时成立但是有且只有一个成立 在一次试验中，小概率事件(观测值大于等于临界值)几乎是不可能发生的
操作步骤 1) 假设的反面成立2) 推导矛盾，从而不成立3) 由不成立说明成立 1)确定置信水平，找到临界值2)提出原假设，并假设成立， 3)计算统计量的观测值4)通过比较与的大小给出结论：小则有利于成立，大有利于成立
3.独立性检验的一般步骤是什么？
由于教材一边解决问题，一边做讲解，因此结题思路显得有点散。然而细心提炼则不难总结出步骤，具体可大致分为4个阶段：①提出原假设:两个分类变量独立(无关)，备择假设:两个分类变量有关，并假设成立；②确定允许犯错误的概率的上界，找到临界值；③在下，计算的观测值；④若,此时小概率事件发生，我们认为在一次试验中，小概率事件是不可能发生，所以假设出错，从而接受；若时，我们没有充分理由拒绝，也就没办法接受了.其中②③两个步骤属平级关系，可以调换次序.
4.为什么在最后表达结论的时候要出现“在犯错误的概率不超过XX的前提下”这样的词.
这也是初学者较难理解的问题，原因就在于独立性检验的过程中存在一个小小的漏洞，就是假设“在一次实验中，小概率事件不发生”，而事实上，小概率事件是可能发生的(用反证法，如果始终不发生，就是不可能事件了)，而正是因为这一点点漏洞，导致独立性检验的结果可能是错误的，但是犯错误的概率不会太大，我们就把犯错误的最大概率等同于小概率事件发生的概率了。至于小概率事件所对应的临界值，则属于大学的研究范畴，在此不必做过多解释.
四、教学特点与预期效果分析
1. 教学特点
① 用学案辅助教学
由于本节内容较散，理论部分较难，故需教师精心设计学案，提前发放给学生，以提高学生的预习效率.
② “问题串”为主，“讲授式”为辅的教学模式
在最初定夺本节课教学模式时比较为难，一方面，按照新课标的理念，注重学生自主探究为主，教师仅仅是引导者(实践证明这有利于学生学会“学习”，尤其是提高自学能力和合作学习能力)，然而另一方面，本节内容理论难度较大，而且涉及到很多大学数学的内容，凭高中学生的数学水平难以完成自主探究.因此，在理论部分，还得需要教师讲，教师的“讲授”成为了无奈的选择.不过好在《课程标准》中，不要求学生掌握这部分深奥的理论，只要体会独立性检验的思想，掌握独立性检验的操作步骤.因此，最终定下来的教学模式是“‘问题串’为主，‘讲授式’为辅”的模式.
在“问题串”的指引下，学生研究出解决问题所需要收集的数据，并自行研究课本上给出的解题过程，提炼出解决问题的操作步骤，然后再由教师讲解操作规程背后的理论依据.
③ 游戏式导入
本节课采用“有奖竞猜”的游戏方式作为课堂导入，提高了学生的学习热情.奖品为本节课的录像光盘，也有一定的纪念意义.
④ 充满生活气息的数学课堂
在《课程标准》理念下，“数学在生活中的应用”地位空前提高，教材中引入、例题甚至是课后习题的编写，都有大量生活的影子.而本节课《独立性检验》正是一个贴近生活的数学范畴，它可以解决两件扑朔迷离事情之间到底有关还是无关的问题.因此本课从引入(吸烟与患肺癌)到例题(秃顶与心脏病)到练习(经常上网与考试及格)再到课后作业题，全部都有着实际生活的影子.
2.预期效果分析
通过本节课的教学，学生应能掌握独立性检验的操作步骤，并能够解决相关的实际问题，同时也可以初步体会到独立性检验的大致思想.而对独立性检验思想的更进一步认识和一些细节性的说法，则应该放在下一个课时，通过更多正面和反面的例子予以进行.
独立性检验的基本思想及其初步应用
2×2列联表
临界值
问题背景分析
统计量
允许犯错
误的概率
的上界
分类变量
在“犯错误概率不超过”前提下，两分类变量有/无关
观测值
等高条形
图
分类
变量
间的
关系
独立性检验
