《从位移、速度、力到向量》
本节课的内容是北师大版数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节《从位移、速度、力到向量》两部分，所需课时为1课时。
教材分析
向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。
学情分析
在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。
目标定位
根据以上的分析，本节课的教学目标定位：
1）、知识目标
⑴ 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；
⑵ 学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；
⑶ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
2）、能力目标
⑴培养用联系的观点 ，类比的方法研究向量；
⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；
3）、情感目标
⑴运用实例，激发爱国热情；
⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；
⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。
重难点：
重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；
难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；
四、 教学过程概述：
4.1 向量概念的形成
4.1.1 让学生感受引入概念的必要性
引子：在世博园内，有位同学在参观完了中国馆后将要去德国馆参观，由位置的变化引出位移。
意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会有亲切感，有助于激发学习兴趣。
问题1 你能否再举出一些既有大小又有方向的量？
意图：激活学生的已有相关经验。
进一步直观演示，加深印象。
追问：生活中有没有只有大小没有方向的量 请举例。
意图：形成区别不同量的必要性。概念抽象需要典型丰富的实例，让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备。
类比数的概念获得向量概念的定义（板书）。
4.1.2 向量的表示方法
问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它。怎样把你举例中的向量表示出来呢
意图：让学生先练习力的表示，让错误呈现，激发认知冲突，最后自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。（教师引导学生进一步完善）
几何表示法： 记作A B |A B|为AB的长度(又称模)。
字母表示法：a、b、c……或a、b、c ……
4.1.3 单位向量、零向量的概念：
问题3用有向线段表示向量，学生演板，提出问题，大家画得线段长度长短不一怎么回事？如何解决这问题？由单位长度引入单位向量
意图：这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降，而是进一步学习的需要
归纳小结：单位向量——长度等于1个单位长度并与a同向的向量叫做a方向上的单位向量．
让演板学生回到座位之后利用这个情境提出问题，他位移的大小是什么？
归纳小结：零向量——长度（模）为0的向量，记作0，它的方向是任意的。
提问：你们认为零向量和单位向量特殊吗？它们的特殊性体现在哪？类比实数集合中的0和1.
4.2 相等向量、平行(共线)向量概念的形成
设计活动：传花游戏
意图：通过游戏调动学生的兴趣和积极性，让学生通过亲身经历去体会相等向量与平行向量的本质特征。
归纳：
1、从“方向”角度看，有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。
记作：a ∥b ∥ c
任一组平行向量都可移到同一条直线上 ，所以平行向量也叫共线向量。
2、从“长度”角度看，有模相等的向量，︱a︱ =︱ b︱
3、既关注方向有又关注长度有相等向量：记作：a = b
规定： 0 与任一向量都平行或（共线）。
教师通过动画演示深化上述两个概念
问题4 由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小确定。由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么区别与联系？
意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程。
4.3 课堂练习：
概念辨析
两个长度相等的向量一定相等．
相等向量的起点必定相同．
平行向量就是共线向量．
若 AB 与 CD 共线，则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上．
向量 a 与 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反．
教材例题
如图 2 - 7，D，E，F 依次等边三角形 ABC 的边AB，BC，AC 的中点．在以 A，B，C，D，E，F 为起点或终点的向量中，
找出与向量 DE 相等的向量；
找出与向量 DF 共线的向量．
3、教材第79页，B组第一题(选择此题，可以进一步理解位移概念，又能为后一步的学习做好铺垫)
4.4 课堂小结 （引导学生小结）
问题5 欣赏一首关于向量的诗，布置任务能否用拟人的方式把你对向量的认识做个概述呢？
结束语：略
板书设计
五、 教学反思
5.1 起始课应有“统领全局”的作用和地位
本节是“平面向量”的第一堂课，具有“统领全局”的作用。因此，本课的目标应体现这一地位。具体有如下三个方面：
（1）形成平面向量的概念，特别是要让学生体会“向量集形与数于一身”的基本特征
（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量。
（3）通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路。
5.2概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动
让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，让学生融入其中；
另一方面让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与。
5.3概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”。
本课的教学，我们应力求使学生了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。
5.4“创造性的使用教材”的前提是深刻理解教材。
相等和平行（共线向量）概念的给出我是设置了一个游戏情境，游戏中将呈现通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让他们从大小和方向两个方面展开思考，教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生一起完成概念的定义。
5.5明确零向量的意义和作用，不过分纠缠于细节。
首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要。其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。
总之，作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来了无限生机。这节“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。概念的教学应在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目。要让学生参与概念本质特征的概括活动过程，这也是培养学生创新精神和实践能力的必由之路！
a
b
c
C O B A
B
A
D
F
C
E
1、向量的定义
2、表示方法
2、特殊的向量
3、向量间的关系
作业
从位移、速度、力到向量《从位移、速度、力到向量》教学设计说明
本节课的内容是北师大版数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节《从位移、速度、力到向量》两部分，所需课时为1课时。
教材内容分析
向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。
本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节内容，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能力。
教学目标分析
根据以上的分析，本节课的教学目标定位：
1）、知识目标
⑴ 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；
⑵学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；
⑶ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。
2）、能力目标
⑴培养用联系的观点 ，类比的方法研究向量；
⑵获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维；
3）、情感目标
⑴运用实例，激发爱国热情；
⑵使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；
⑶让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。
重难点：
重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；
难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；
三、教学诊断分析
本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。具体教学中，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。这也是本堂课的核心目标。
由于数学概念的高度抽象性，学生往往要费很多周折才能理解，教师应从学生的认知水平出发，针对学生的理解困难来展开教学，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是至关重要的。
本课的教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，应强调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰如其分地“以问题引导学习”，在质疑——反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为学生自己主动思维的结果。
本课中出现的特殊向量——零向量，很多教师都会在“零向量与任意向量平行上”花太多时间，原因是“这是考试中的一个陷阱”。这其实是对零向量的意义和作用理解不到位的表现：首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要；其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。
四、本课教学特点及预期效果分析
在学生建立向量的概念之初，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。因此在具体教学中，我设计了一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。
在向量的几何表示中，我让学生大胆探索，而不是“全包全揽”，教师引导，学生补充改进，最终明确向量几何表示的正确方法。整个过程全体同学热情参与，自我教育，互帮互学，课堂气氛生动活泼。
当同学们能将向量正确的几何表示时，我又适时地提出问题：大家画出的线段长短不一，怎么解决？由此自然过渡到单位长度上，使得单位向量的引入也就顺理成章了。
为了帮助学生学习相等向量、平行（共线）向量的概念，本课设计了“传花游戏”，通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让学生积极参与，仔细观察，自己概括出概念的本质特征，将课堂气氛推向一个新的高潮。
在结束本课之前，为了让同学对向量加深印象，我让学生先欣赏一首关于向量的诗歌，再让学生在课外动笔写出自己对向量的感受。
本节课是从现实世界的常见实例出发，以学生自主探究的教学方式为主。在课堂上，创建了一个以全班学生共同参与的向量游戏平台，让学生在轻松愉悦的课堂环境中，共同参与，共同讨论，共同分析，让学生自然地、水到渠成的完成本节内容的学习。整节课，我留给学生充足的时间，让学生参与概念本质特征的概括活动过程，从而达到培养学生创新精神和实践能力的最终目的！
