2012年中考复习：函数的综合应用

函数的综合应用
第一部分 讲解部分
(一)课标要求
1. 正确理解一次函数的概念, 能够应用一次函数的概念、图象和性质解决一些实际问题.
2. 能建立反比例函数模型, 会用反比例函数的概念和性质分析解决简单的实际问题.
3. 能适当地建立平面直角坐标系, 会建立二次函数模型, 根据二次函数的图象和性质解决有关的实际问题.
(二)知识要点
1.一次函数的应用
一次函数的应用,一般考查生产、运输、销售、调配等方面的方案设计, 以及决策、经济最优化等问题.解题过程中要求体现函数思想、数形结合思想和分类讨论思想.常见的题是表格和图象, 知识方面常与方程(组)和不等式(组)紧密联系在一起. 一次函数的增减性和分段函数是中考考查的重点内容, 实际问题中自变量的取值范围的确定是难点.
2. 反比例函数的应用
一般考查与几何图形相关联的面积、行程、工程等问题, 力学中的压强、密度等问题, 电学中的电流、电功率等.主要是根据变量间的关系建立反比例函数模型, 在解题过程中常用到待定系数法和数形结合与转化思想.
3.二次函数的应用
二次函数的应用问题, 考查较多的是与图形面积、商品销售利润等有关的最大(小)值的实际问题, 在解题方法上常用到待定系数法、配方法、公式法等.在数学思想方面同样要体现函数思想、数形结合思想、转化思想和分类讲座思想等.求二次函数的解析式和函数的最大(小)值是考查重点.
(三)考点精讲
考点1. 应用一次函数的图象寻求实际问题中的变化规律
例1. (2009陕西) 在一次运输任务中, 一辆汽车将一批货物从甲地支往乙地, 到达乙地卸货后返回. 设汽车从甲地出发()时, 汽车与甲地的距离(), 与的函数关系如图所示. 根据图象信息,解答下列问题:
⑴这辆汽车的往返、速度是否相同?请说明理由;
⑵求返程中与之间的函数表达式;
⑶求这辆汽车从甲地出发时与甲地的距离.
【分析】通过看图象可以获取下列信息:甲、乙两地的距离为,汽车从甲地到乙地用了,卸货用了, 从乙地返回甲地用了.
⑴根据路程一时间的关系求出速度,然后比较即可; ⑵由点和用待定系数法求出函数表达式; ⑶将代入所求的函数表达式中求出的值即可.
【解】⑴这辆汽车的往、返速度不相同. 事实上:
∵往、返的路程相同, 去时用了,返回时用了, ∴往、返速度不相同.
⑵设返程中与之间的函数表达式为,
∵点和在此函数的图象上, ∴, 解得.
∴返程中与之间的函数表达式为.
⑶当时, 汽车在返程途中, 此时.
∴这辆汽车从甲地出发时与甲地的距离为.
【答案】⑴不相同; ⑵;⑶.
【点拔】从图象中正确获取有关信息,然后利用一次函数的有关知识解决问题.
2.利用一次函数解决方案选择问题
例2.(2011黄冈) 今年我省干旱灾情严重, 甲地急需要抗旱用水万吨, 乙地万吨. 现有A、B两水库各调出万吨水支援甲、乙两地抗旱. 从A地到甲地千米, 到乙地千米; 从B地到甲地千米,到乙地千米.
⑴设从A水库调往甲地的水量为x万吨, 完成下表:
⑵请设计一个调运方案，使水的调运量尽可能小.(调运量=调运水的重量×调运的距离, 单位: 万吨?千米)
【分析】⑴根据由A到甲和乙总和是万吨,可以表示出由A到乙是万吨,再根据到甲的总和是万吨,即可表示表格中的各个数据;
⑵先用含的式子表示出调运量的和,根据一次函数的性质可确定的值,进而确定调运方案.
【解】⑴完成表格如下：
⑵设水的调运量为万吨?千米，根据题上表，得
，
整理，得.
∵，∴。
对于，∵＞，∴随的增大而增大，
∴当，.
∴从A水库调往甲地的水量为万吨、调往乙地的水量万吨，从B水库调往甲地的水量为万吨、调往乙地的水量万吨，这样的调运方案可使使水的调运量最小.
【答案】⑴见表格; ⑵使水的调运量最小的方案为: 从A水库调往甲地的水量为万吨、调往乙地的水量万吨，从B水库调往甲地的水量为万吨、调往乙地的水量万吨.
【点拔】正确将调运量表示成的一次函数,综合应用一元一次不等式组和一次函数的性质解决问题.
考点3.应用反比例函数解决实际问题
例3.(2009舟山) 某水产公司有一种海产品共2104千克, 为寻求合适的销售价格, 进行了8天试销, 试销情况如下:
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价x(元/千克）
400
250
240
200
150
125
120
销售量y(千克)
30
40
48
60
80
96
100
观察表中数据, 发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间的关系. 现假定在这批海产品的销售中, 每天销售量(千克)与销售价格(元/千克)之间都这一关系.
⑴写出这个反比例函数的解析式, 并补全表格;
⑵在试销8天后, 公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克, 并且每天都按这个价格销售, 那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出?
⑶在按⑵中定价继续销售15天后, 公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出, 此时需要重新再确定一个销售价格, 使后面两天都按新的价格销售, 那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务?
【分析】⑴据表中的数据信息求出反比例函数再分别代入和,求出相应的和的值;⑵先求出8天的销售总量和剩下的数量, 将代入反比例函数中得到每一天的销售量, 即为所需要的天数; ⑶求出销售15天后剩余的数量除以2得到后两天的销售量, 再将代入反比例函数中即可求出.
【解】⑴∵, ∴反比例函数的解析式为.
将代入此式中, 得; 将代入此式中, 得, 故补全表格如下:
第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价x(元/千克）
400
300
250
240
200
150
125
120
销售量y(千克)
30
40
48
50
60
80
96
100
⑵设销售8天后剩余数量为千克, 则
(千克).
在⑴中的解析式中, 令,得,
∴,即余下的这些海产品预计再用天可以全部售出.
⑶∵,,
∴后两天必须每天销售千克.
在在⑴中的解析式中, 令,得,即.
∴新确定的价格最高不超过每千克元才能完成销售任务.
【答案】⑴,补全的表格如上; ⑵; ⑶.
【点拔】准确找出两个变量建立反比反比例函数模型,用待定系数法求出反比例函数的解析式,综合应用反比例函数的知识解决实际问题.
考点4.一次函数和反比例函数的综合应用
例4.(2011临沂) 如图,一次函数与反比例函数的图象交于A,B两点．
⑴求一次函数与反比例函数的解析式；
⑵根据所给条件，请直接写出不等式＞的解集 ;
⑶过点B作BC⊥轴,垂足为C，求．
【分析】⑴由点A的坐标先求出反比例函数的解析式, 再由点B在反比例函数的图象上求出的值, 由A、B两点的坐标用待定系数法求出一次函数的解析式; ⑵观察图象即可写出答案; ⑶以BC为底边长, 则BC边上的高长为A、C两点的横坐标之和, 进而用三角形的面积公式求出.
【解】⑴∵点A在反比例函数的图象上,∴,即.
∴反比例函数的解析式为.
∵点B在反比例函数的图象上, ∴.
∵一次函数的图象经过A,B两点,
∴,解得. ∴一次函数的解析式为.
⑵观察图象可知, 不等式＞的解集为＜＜或＞;
⑶在△ABC中, ∵A,B, C, ∴BC=,BC边上的高为.
∴.
【答案】⑴一次函数与反比例函数的解析式分别为和;
⑵＜＜或＞;
⑶.
【点拔】
考点5.应用二次函数表示实际问题中变量之间的关系
例5.(2011徐州) 某网店以每件60元的价格购进一批商品, 若以单价80元销售．每月可售出300件调查表明: 单价每上涨l元, 该商品每月的销量就减少l0件.
⑴请写出每月销售该商品的利润(元)与单价上涨(元)间的函数关系式;
⑵单价定为多少元时, 每月销售该商品的利润最大?最大利润为多少?
【分析】⑴用含代数式表示出涨价后每件商品的利润和售出的件数, 再根据总利润=每件利润×售出件数列出函数关系式; ⑵根据列出的函数关系式, 利用二次函数的性质求出最大利润及获得最大利润时售出的件数.
【解】⑴涨价元后, 每件商品的利润是元, 售出的件数为件,
∴每月销售该商品的利润(元)与单价上涨(元)间的函数关系式为: .
整理, 得.
⑵.
∵＜,∴抛物线的开口方向向下,故函数有最大值.
∵此抛物线的对称轴为直线,∴当＜时,随的增大而增大.
又∵＞,且＞,∴＜＜.
∴当时,有最大值,最大值为.
∴单价定为元时, 每月销售该商品的利润最大, 最大利润为元.
【答案】⑴;
⑵单价定为元时, 每月销售该商品的利润最大, 最大利润为元.
【点拔】正确列出二次函数的解析式,综合利用二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴方程及其增减性解决实际问题.
考点6.应用二次函数解决实际问题中最优化问题
例6. (2011无锡) 张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价(元／吨)与采购量(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C).
⑴求与之间的函数关系式；
⑵已知老王种植水果的成本是元／吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润最大?最大利润是多少?
【分析】⑴由图象知, 当＜≤时,函数值为,即;当时,由B、C点的坐标用待定系数法求出函数关系式.
⑵根据利润、成本、收入之间的关系列出二次函数的关系式, 分析一次和二次函数的最大值可求出最大利润.
【解】⑴当＜≤时，，
当＜≤时，设，
因为点、在其图象上，
所以，解得.于是。
综上，与之间的函数关系式为；
⑵根据题意，有
，即，
因为＜，所以抛物线的开口向下，
又因为对称轴方程，所以，当＜＜时，随的增大面增大，
当时，==.
所以，张经理的采购量为吨时，老王在这次买卖中所获的利润最大，最大利润是元.
【答案】⑴；⑵张经理的采购量为吨时，老王在这次买卖中所获的利润最大，最大利润是元.
【点拔】解决最优化问题实际就是求函数的最大(小)值,注意正确列出函数关系式,明确自变量的了值范围,综合利用函数的性质求解.
(四)疑难点和易错点
1.注意准确把握数量关系, 正确列出函数关系,合理建立函数模型;
2.正确确定出自变量的实际取值范围.
3.正确运用所学过的函数的性质的增减性.
(五)真题演练
1.(2011泰州) 某公司计划新建一个容积()一定的长方体污水处理池,池的底面积()与其深度()之间的函数关系式为(）,这个函数的图像大致是( ).

A． B． C． D．
2.(2011盐城) 小亮从家步行到公交车站台,等公交车去学校. 图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系. 下列说法错误的是( ).
A．他离家8km共用了30min
B．他等公交车时间为6min
C．他步行的速度是100m/min
D．公交车的速度是350m/min
3.(2011泰州)“一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体,挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比, , 则弹簧的总长度()与所挂物体质量()之间的函数关系式是().”
王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： .
4. (2011河北) 一小球被抛出后, 距离地面的高度（米）和飞行时间（秒）满足下面函数关系式：,则小球距离地面的最大高度是( ).
A. 1米 B. 5米 C. 6米 D. 7米
5.(2011漳州) 如图, P (x，y)是反比例函数y＝  的图象在第一象限分支上的一个动点, PA⊥x轴于点A, PB⊥y轴于点B, 随着自变量x的增大,矩形OAPB的面积( ).
A．不变 B．增大
C．减小 D．无法确定
6.(2009黔东南州)凯里市某大型酒店有包房100间, 在每天晚餐营业时间, 每间包房收包房费100元时, 包房便可全部租出; 若每间包房收费提高20元, 则减少10间包房租出, 若每间包房收费再提高20元, 则再减少10间包房租出, 以每次提高20元的方式变化下去.
⑴设每间包房收费提高(元), 则每间包房收入为(元), 但会减少包房租出, 请分别写出、与之间的函数关系式;
⑵为了投资少而利润大, 每间包房收费提高(元)后, 设酒店老板晚上包房总收入为(元), 请写出与之间的函数关系式, 求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入, 并说明理由.
第二部分 练习部分
一. 选择题
1.(2011重庆) 为了建设社会主义新农村,我市积极推进“行政村通畅工程”,张村和王村之间的道路需要进行改造,施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,不过施工队随后加快了施工进度,按时完成了两村之间道路的改造．下面能反映该工程尚未改造道路里程(公里)与时间(天)的函数关系的大致图像是( ).
A． B． C． D．
2.(2011济宁) 如图，是张老师出门散步时离家的距离与时间之间的函数关系的图象，若用黑点表示张老师家的位置，则张老师散步行走的路线可能是( ).

3.(2009河北)某车的刹车距离() 与开始刹车时的速度()之间满足二次函数(＞), 若该车某次的刹车距离为,则开始刹车时的速度为( ).
A. B. C. D.
4.(2009青岛)一块蓄电池的电压为定值, 使用此蓄电池为电源时, 电流与电阻之间的函数关系如图所示, 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A, 那么此用电器的可变电阻应( ).
A.不小于 B.不大于
C.不小于 D.不大于
5.(2009莆田)出售某种文具盒, 若每个获利元, 一天可售出个, 则当= 元时, 一天出售该种文具盒的总利润最大.
二. 填空题
6. (2011滨州) 若点A在反比例函数的图象上,则当函数值时,自变量的取值范围是 .
7.(2009新疆)若梯形的下底长为, 上底长为下底长的, 高为, 面积为, 则与的函数关系是 (不考虑自变量的取值范围).
8.(2010兰州) 如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米. .
9.(2009庆阳)从地面竖起向上抛出一小球, 小球的高度(米)与小球运动时间(秒)的函数关系式是, 那么小球运动过程中的最大高度为 米.
10.(2009包头)将一条长为的铁丝剪成两段, 并以每一段铁丝为周长各做成一个正方形, 则这两个正方形面积之和的最小值是 .
三. 解答题
11.(2011扬州) 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,乙槽中有一圆柱形块放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上）现将甲槽中的水匀速注入乙槽,甲、乙两个水槽中水的深度(厘米）与注水时间(分钟）之间的关系如图2所示.根据图象提供的信息,解答下列问题：
⑴图2中折线ABC表示 槽中的深度与注水时间之间的关系,线段DE表示 槽中的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”、或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是 ;
⑵注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？
⑶若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；
⑷若乙槽中铁块的体积为112立方厘米（壁厚不计），求甲槽底面积（直接写结果）

图1 图2
12.(2011日照) 某商业集团新进了40台空调机,60台电冰箱,计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：
空调机
电冰箱
甲连锁店
200
170
乙连锁店
160
150
设集团调配给甲连锁店台空调机,集团卖出这100台电器的总利润为(元）．
⑴求关于的函数关系式,并求出的取值范围；
⑵为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润,问该集团应该如何设计调配方案,使总利润达到最大？
13.(2011连云港) 因长期干旱, 甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值. 因灌溉需要, 由乙水库向甲水库匀速供水, 后, 甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉, 又经过, 甲水库再打开另一个排灌闸同时灌溉, 再经过, 乙水库停止供水. 甲水库每个排泄闸的灌溉速度相同, 图中的折线表示甲水库蓄水量(万)与时间()之间的函数关系.
求: ⑴线段BC的函数表达式；
⑵乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的速度；
⑶乙水库停止供水后, 经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值?
14.(2011鄂州) 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）.
⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？
⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？
参考答案
真题演练
1.C;
2.D;
3.答案不唯一, 如悬挂1千克质量的物体时, 弹簧长;
4. C;
5.A;
6. 解: ⑴, ;
⑵每间包房每天晚餐应提高元可获得最大包房费收入元. 事实上,
由题设及⑴知,
, 整理,. 得.
由＞,得＜,且＞,∴＜＜.
∵＜,∴抛物线的开口向下,故此二次函数有最大值.
又∵此抛物线的对称轴为直线,
∴＜≤时,随的增大而增大; 当＜＜时, 随的增大而减小.
∴当时,有最大值.
即每间包房每天晚餐应提高元可获得最大包房费收入元.
第二部分 练习部分
一. 选择题
1. A; 2. D; 3. C; 4. A; 5. .
二. 填空题
6. 或＞0; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .
三. 解答题
11. 解: ⑴依次填写:乙, 甲, 铁块的高度为;
⑵设线段DE的函数关系式为, 则有, 解得.
∴线段DE的函数关系式为. 同理,线段AB的解析式为.
解方程组, 得. ∴注水2分钟时, 甲、乙两水槽中水的深度相同．
⑶∵水由甲槽匀速注入乙槽, ∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍．
设乙槽底面积与铁块底面积之差为S, 则,
解得, ∴铁块底面积为(),
∴铁块的体积为().
⑷甲槽底面积为.
12. 解: ⑴根据题意知, 调配给甲连锁店电冰箱台, 调配给乙连锁店空调机台, 电冰箱, 则有
,
整理, 得.
∵, ∴.
∴().
⑵由题意知, ,
即.
∵＞, ∴＜.
当0＜a＜20时，x=40，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；
当a=20时，x的取值在10≤x≤40内的所有方案利润相同；
当20＜a＜30时，x=10，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台.
13. 解: ⑴设线段BC的解析式为,
∵B,C两点的坐标分别为和,
∴, 解得. ∴设线段BC的解析式为.
⑵设乙水库供水速度为万, 甲水库的一个排灌的灌溉速度为万, 由题意,得
, 解得.
答: 乙水库供水速度为万, 甲水库的一个排灌的灌溉速度为万.
⑶∵正常水位最低值(万),
∴.
答: 乙水库停止供水后, 经过甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值.
14. 解: ⑴当x=60时, P最大且为41, 故五年获利最大值是41×5=205万元．
⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元.
后三年：设每年获利为y，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x，所以
y=P＋Q=
=,
这表明, 时, 有最大值,那么三年获利最大为1065×3=3495万元，
∴五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元．
⑶有极大的实施价值．