4.2.2 等差数列的前n项和公式 教案-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.2.2 等差数列的前n项和公式 教案-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 215.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-09 10:28:18 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.2
等差数列的前n项和公式
教案
一、教学目标
1.
理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系以及等差数列的前n项和公式与二次函数的关系；
2.
会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题；
3.
掌握等差数列前n项和的性质并能正确应用.
二、教学重难点
1.
教学重点
等差数列前n项和公式及应用.
2.
教学难点
等差数列前n项和的性质及应用.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：等差数列的通项公式.
首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.
探究：200多年前，高斯的算术老师提出问题：
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：.
高斯的算法实际上解决了求等差数列前100项的和的问题.
类比高斯求和的方法，探究求数列的前n项和的方法.
（二）探索新知
对于数列，设，
那么高斯的计算方法可以表示为.可以发现，高斯在计算中利用了这一关系，使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化运算.
将上述方法推广到一般，可以得到：
当n是偶数时，有，
于是有
当n是奇数时，有
所以，对任意正整数n，都有.
上述在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，如何避免分类讨论？
对公式作变形，可得，它相当于两个相加，而结果变成n个相加.
可以得到
，
，
将两式相加，可得
所以.
可以发现，上述方法将“倒序”为，再将两式相加，得到n个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和.
对于等差数列，因为，由上述方法，用两种方式表示：
，①
.②
①+②，得
由此得到等差数列的前n项和公式.
对于等差数列，利用公式，只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前n项和.另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以也可以用和来表示.
把等差数列的通项公式代入公式，可得.
例1
已知数列是等差数列.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求.
解：（1）因为，根据公式，可得.
（2）因为，所以.根据公式，可得.
（3）把代入，得.
整理，得.解得或（舍去）.所以.
例2
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
解：由题意，知.
把它们代入公式，得，解得.
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
例3
已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
解法1：由，得，所以是递减数列.
又由，可知：
当时，；
当时，；
当时，.
所以.
也就是说，当或6时，最大.
因为，所以的最大值为30.
解法2：因为，
所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30.
（三）课堂练习
1.已知等差数列的前项和为，则(
)
A.3
B.6
C.9
D.12
答案：B
解析：设等差数列的公差为.，，.故选B.
2.在等差数列中，已知，则(
)
A.288
B.144
C.572
D.72
答案：B
解析：，，故选B.
3.设等差数列的前项和为.若，则取最大值时的值为(
)
A.6
B.7
C.8
D.13
答案：B
解析：根据，可以确定，可以得到，，所以取最大值时的值为7.故选B.
4.记为等差数列的前项和.若，则_____________.
答案：25
解析：设等差数列的公差为，则，解得，所以.
5.记为等差数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
答案：（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以.
（2）由（1）得，整理得，由，解得.
（四）小结作业
小结：等差数列前n项和公式及其推导过程.
作业：
四、板书设计
4.2.2
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式：
（1）；
（2）.
等差数列的前n项和公式
教案
一、教学目标
1.
理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系以及等差数列的前n项和公式与二次函数的关系；
2.
会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的计算问题；
3.
掌握等差数列前n项和的性质并能正确应用.
二、教学重难点
1.
教学重点
等差数列前n项和公式及应用.
2.
教学难点
等差数列前n项和的性质及应用.
三、教学过程
（一）新课导入
复习：等差数列的通项公式.
首项为，公差为d的等差数列的通项公式为.
探究：200多年前，高斯的算术老师提出问题：
当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：.
高斯的算法实际上解决了求等差数列前100项的和的问题.
类比高斯求和的方法，探究求数列的前n项和的方法.
（二）探索新知
对于数列，设，
那么高斯的计算方法可以表示为.可以发现，高斯在计算中利用了这一关系，使不同数的求和问题转化成了相同数（即101）的求和，从而简化运算.
将上述方法推广到一般，可以得到：
当n是偶数时，有，
于是有
当n是奇数时，有
所以，对任意正整数n，都有.
上述在求前n个正整数的和时，要对n分奇数、偶数进行讨论，如何避免分类讨论？
对公式作变形，可得，它相当于两个相加，而结果变成n个相加.
可以得到
，
，
将两式相加，可得
所以.
可以发现，上述方法将“倒序”为，再将两式相加，得到n个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为n个相同的数求和.
对于等差数列，因为，由上述方法，用两种方式表示：
，①
.②
①+②，得
由此得到等差数列的前n项和公式.
对于等差数列，利用公式，只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前n项和.另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以也可以用和来表示.
把等差数列的通项公式代入公式，可得.
例1
已知数列是等差数列.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求.
解：（1）因为，根据公式，可得.
（2）因为，所以.根据公式，可得.
（3）把代入，得.
整理，得.解得或（舍去）.所以.
例2
已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？
解：由题意，知.
把它们代入公式，得，解得.
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
例3
已知等差数列的前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.
解法1：由，得，所以是递减数列.
又由，可知：
当时，；
当时，；
当时，.
所以.
也就是说，当或6时，最大.
因为，所以的最大值为30.
解法2：因为，
所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30.
（三）课堂练习
1.已知等差数列的前项和为，则(
)
A.3
B.6
C.9
D.12
答案：B
解析：设等差数列的公差为.，，.故选B.
2.在等差数列中，已知，则(
)
A.288
B.144
C.572
D.72
答案：B
解析：，，故选B.
3.设等差数列的前项和为.若，则取最大值时的值为(
)
A.6
B.7
C.8
D.13
答案：B
解析：根据，可以确定，可以得到，，所以取最大值时的值为7.故选B.
4.记为等差数列的前项和.若，则_____________.
答案：25
解析：设等差数列的公差为，则，解得，所以.
5.记为等差数列的前项和，已知.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
答案：（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以.
（2）由（1）得，整理得，由，解得.
（四）小结作业
小结：等差数列前n项和公式及其推导过程.
作业：
四、板书设计
4.2.2
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式：
（1）；
（2）.