4.4 数学归纳法教案-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.4
数学归纳法教学设计
一、教学目标
1.
了解数学归纳法原理；
2.
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；
3.
明确数列问题解决的重要方法——“归纳——猜想——证明”.
二、教学重难点
1.
教学重点
数学归纳法的基本原理、数学归纳法的步骤、用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
2.
教学难点
数学归纳法的原理以及用数学归纳法证明命题时时的证明.
三、教学过程
（一）新课导入
问题：已知数列满足，计算，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
计算可得.再结合，由此猜想：.
如何证明这个猜想？一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.那么，如何通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立？
（二）探索新知
首先回顾一下猜想的获得过程：
由，利用递推关系，推出；
由，利用递推关系，推出；
由，利用递推关系，推出；
……
以成立为条件，推出也成立.它相当于命题：当时猜想成立，则时猜想也成立.
只要能够证明这个命题，我们就可以在的条件下，由这个命题得到：对任意正整数n，成立.
事实上，如果时猜想成立，即，那么，即当时，猜想也成立.
这样，对于猜想“”，由成立，就有成立；由成立，就有成立；…….所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列的通项公式是.
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
问题：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？
记是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1）为真；（2）若为真，则也为真.
结论：为真.
在数学归纳法的两步中，第一步证明了当时结论成立，即命题为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若为真，则也为真.完成这两步，就有真，真……真，真…….从而完成证明.
例1
用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么①对任何都成立.
证明：（1）当时，左边，右边，①式成立.
（2）假设当时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是，
即当时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
例2
用数学归纳法证明：.②
证明：（1）当时，②式的左边，右边，所以②式成立.
（2）假设当时，②式成立，即，两边同时加上，有
即当时，②式也成立.
由（1）（2）可知，②式对任何都成立.
例3
已知数列满足，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
解：由，可得.
由，可得.
同理可得.
归纳上述结果，猜想.③
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立.
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，
即当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.
（三）课堂练习
1.用数学归纳法证明“”时，从“到”时，左边应添加的式子是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：时等式为，
时等式为，
等式左端由变为，
增加，减少即添乘.故选C.
2.用数学归纳法证明“”，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由所证明的等式可知，当时，
右边.故选D.
3.用数学归纳法证明当为正奇数时，能被整除.
答案：①当时，显然能被整除.
②假设当(且为正奇数)时，命题成立，即能被整除.
当时，.
又根据假设能被整除，
能被整除.
又能被整除，
能被整除，
当时命题也成立.
由①②知，当为正奇数时，能被整除.
4.已知数列满足，前项和.
（1）求的值；
（2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明.
答案：（1），前项和，
令，得.
令，得.
令，得.
（2）猜想，下面用数学归纳法给出证明.
①当时，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，
则当时，，
即，
，
，
，
当时结论成立.
由①②可知，对一切都有成立.
（四）小结作业
小结：数学归纳法的基本原理以及用数学归纳法证明命题的步骤.
作业：
四、板书设计
4.4
数学归纳法
1.
数学归纳法的基本原理；
2.
用数学归纳法证明命题的具体步骤.