第二章 有 理数 第1讲 有理数与数轴 （ 讲义 课后练习 答案） 2021年暑假小升初衔接 北师大版数学七年级上册

第一讲：有理数与数轴
知识导读：
、相关知识链接
我们在小学学习的数：
、自然数： 0，1, 2, 3，…；
、分数： 12，13，34，112，…；
、小数：0.5， 1.2， 0.25， 0.139， …；
、百分数：37%， 58%，…。
这种分类的标准是什么？
、生活中正负数及其运用。
、观察温度计，海拔高度的标尺，我们发现：正负数可以用直线上的点来表示。
、教材知识详解
负数的产生：具有相反意义的两个量，我们把其中的一个量用正数表示，与它意义相反的量就用负数表示，
减法运算：53-79＝？
数学历史上的正负数：古代中国，印度，欧洲。
三国时代魏刘徽：“两算得失相反，要令正负以名之”，7-2＝5，2-7＝-5。
正数与负数的意义
有理数的意义
整数包括正整数、零、负整数：…，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4，…
分数包括正分数和负分数：…2.129，0.8，34，-0.5，?23，?213，…
整数和分数统称为有理数。
注意：①有限小数是分数，无限循环小数是分数；
②任意一个有理数可以表示为最简分数 mn 的形式，
（m、n为互质数，n≠0）。
44850051841501732280107950 3、有理数的分类：
3637280139065 正整数 正整数
114173045085 整数 零 正有理数
负整数 正分数
1732280115570有理数 有理数 零
448500522225 分数 正分数 负整数
负分数 负有理数
负分数
备注：①正数和零又称为非负数，负数和零又称为非正数。
②圆周率π是无限不循环小数，不能用分数 mn表示，所以π不是有理数。
4、数轴的意义：
规定了原点，正方向，单位长度用来表示数的直线叫数轴。
546735121920● ● ● ● ● ● ●
-1 O 1

原点，正方向和单位长度叫数轴的三要素。
习惯上，数轴上向右的方向为正方向。
数轴上的点与有理数的关系：
任意一个有理数可以用数轴上的一点表示，数轴上的一部分点表示有理数；像圆周率π等，能用数轴上的点表示，所以数轴上的另一部分点表示有理数以外的数。
数轴是建立有理数与直线上点的联系的桥梁，有理数的有些问题可以在 直线上从几何方面来思考，如相反数、绝对值等。
二、知识运用
例1、下列关于“0”的说法中：①是整数:②是整数，但不是自然数；
③既不是正数又不是负数；④比正数小的数。其中正确的有 。
变式练习：
1、下列语句中正确的有（ ）个。
①所有整数都是正数； ② +0是正数；③ - 227是有理数；④在有理数中除了正数就是负数。
A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
例2、把下列各数填入表示相应集合的大括号里:
-7.2， 34， -9, 1.4, 0，3.14，π， 1245， -2.5， 63， 0.708 。
整数集合：{ …}
正数集合：{ …}
分数集合：{ …}
有理数集合：{ …}
非正数集合：{ …}
负分数集合：{ …} 。
变式练习：
把下列各数分别填在相应的集合中:
- 52 , 0， -1, 0.73， 2， -5， 78， -29.52， +28, 2-π， π3， 0.7+3
（1）正数集合：{ …}
（2）负数集合：{ …}
（3）整数集合：{ …}
（4）分数集合：{ …}
（5）有理数集合：{ …} 。
例3、如图，两个圈分别表示负数集合和分数集合，将数：
15，-1，-0.143, 3.14，-5.4, 713，- 53, 0 中符合条件的数填入相应的圈中。
104203554610

负数集合 分数集合
变式练习：
请说出下列两个数集重叠部分表示什么数集，并把下列个数：
1165860427990-5 ，- 12， -3.14， 0， 14， -7， +3， -123 填在相应的数集里，如图：
2623185109220
负数集 整数集
集
把下列各数用数轴上的点表示：-4.5， -3， 0， 52 ， 4， - 12 。
变式练习：
把下列各数用数轴上的点表示： -212， 1, 0， 312， +2， -4 。
在数轴上，点A从表示-5的点开始，移动2个单位长度后到达终点，这个终点表示的数是 。
变式练习：
点A在数轴上距离原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A向右移动4个单位，再向左移动1个单位，这时A点表示的数是 。
观察下面一列数，按规律在横线上填写适当的数：

12， - 36， 512，- 720， ， ，…。
变式练习：
观察下面一组数据，探求其中规律：

- 12， 23，- 34， 45，- 56， 67，…

、填出第7、8、9项的三个数；
、第2021个数是什么？
、如果这组数据无限排列下去，与哪两个数越来越近？
课后练习：
知识与技能
选择：
下列说法中正确的有（ ）个。
① 0是整数；② -113是负分数；③ 3.2不是正数；
④ 自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数。
A、 1 B、 2 C、 3 D、 4
2、下列说法中正确的是（ ）。
A、正整数和负整数统称为整数， B、正有理数和负有理数统称为有理数，
C、整数和分数统称为有理数， D、非负有理数就是正有理数。
二、填空:
3、非负整数与正整数的区别是非负整数包括 ，而正整数不包括 。
4、在有理数-4.2, 6, 0，-11，- 227，- 124，0.79中，分数有 。
5、数轴上A，B两点，如果点A对应的数是-2，且A，B两点的距离为3，那么点B对应的数是 。
6、数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的整数的个数为y，等于3的整数的个数为z，则x + y + z ＝ 。
核心能力
7、小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，请根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数有 个。
高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌，并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪，司机小王刚好在19千米的A处第一次同时经过这两种设施，那么，司机小王第二次同时经过这两种设施需要从A处继续行驶（ ）千米。
A、36 B、37 C、55 D、91
点A，B分别是数 -3，- 12在数轴上对应的点，将线段AB沿数轴向右移动到A’B’，且线段A’B’的中点对应的数是3，则A’对应的数是 ，点A移动的距离是 。
一列数： 11，- 12，22，- 12，13，- 23，33，- 23，13，- 14，24，- 34，…
711 是第几个数？
第400个数是什么？
11、请把大括号内表示的A、B、C三个数集中的数填在如图所示圈内的位置。
A={ -8，-6, -5, 1, 2 }；
B={ -5，- 23，- 13，2，3 }；
C={ -15, -5，1，3, 8 }。

12、已知数轴上A、B两点对应数分别为-2和4，P为数轴上一点，对应数为x。
(1)、若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数，
、在数轴上是否存在一点P，使P到A、B的距离和等于10 ? 若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。
答案：
①③④ 变式练习： 1、 A
例2、解：整数集合：{ -9, 0， 63 }
正数集合：{ 34 , 1.4， 3.14， π， 1245，63，0.708 }
分数集合：{ -7.2， 34 , 1.4， 3.14， 1245，-2.5，0.708 }
有理数集合：{-7.2，34 , -9，1.4，0，3.14，1245，-2.5，63，0.708 }
非正数集合：{ -7.2， -9， 0， -2.5 }
负分数集合：{ -7.2， -2.5 }
变式练习：
解：正数集合：{ 0.73， 2，78 ，+28，π3，0.7+3 }
负数集合：{ - 52，-1， -5， -29.53， 2-π}
整数集合：{ 0， -1, 2， -5， +28 }
分数集合：{ - 52， 0.73，78 ，-29.53，0.7+3 }
有理数集：{- 52，0，-1， 0.73，2， -5， 78 ，-29.53，+28， 0.7+3 }
851535115570例3、
-1
-0.143 -5.4 3.14
- 53 713

负数集合 分数集合

946785233680变式练习：
- 12，-3.14 -5 0, 14
2394585331470 - 123 -7 +3
负数集 整数集
负整数集
略 变式练习： 略
-7，-3 变式练习： 0
解：930 ， - 1142

变式练习：（1） - 78 89 - 910 （2）- 20212022 （3）、-1，+1
课后练习：
C 2、 C 3、 0 ，0
4、-4.2，- 227， 0.79 5、-5或1 6、 14
7、 9 8、 A 9、 74 ，194
10、解：（1）、分母小于11的合计1+3+5+…+19＝100，所以711 排第107或者第100+21-6＝115.
（2）、分母小于21的合计1+3+5+…+39＝400，所以排第400个数为- 120.
11、解：
103822543815
-8，-6 2 - 13，- 23

1 -5 3
-15， 8
12、解：（1）、 0或2
（2）、 x＝-4或6时，PA+PB＝10.