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第02讲_全等三角形辅助线的作法
全等三角形辅助线的作法
一．中点类辅助线作法
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（
是底边的中线)．
二．角平分线类辅助线作法
有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；
3．，这种对称的图形应用得也较为普遍．
三．截长补短类辅助线作法
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．
一．考点：全等三角形辅助线的作法
二．重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法
三．易错点：
1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；
2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．
题模一：角平分线类
例1.1.1已知，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）关系是：．
证明：∵AC平分∠MAN，
∴
又，
∴
则（直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半）
∴；
（2）仍成立．
证明：过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F
∵AC平分∠MAN
∴（角平分线上点到角两边距离相等）
∵，
∴
又，∴△CED≌△CFB（AAS）
∵，∴
由（1）知，
∴．
例1.1.2如图，已知，，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，求证：．
【答案】见解析
【解析】延长CE，交BA的延长线于点F．
∵BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，
∴△BEF≌△BEC，∴，．
∵，CE⊥BE，∴，
又∵，∴△ABD≌△ACF，∴．∴．
例1.1.3如图，，平分，平分，点在上．
①探讨线段、和之间的等量关系．
②探讨线段与之间的位置关系．
【答案】见解析
【解析】①；②．证明如下：
在线段上取点，使，连结．
在和中
∴
∴，
∵
而
∴
在和中
∴
∴，
∴，
题模二：中点类
例1.2.1如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？
【答案】见解析
【解析】延长到，使，连结
∵，，
∴．
∴．
又∵，∴
∴，而
∴，故．
例1.2.2（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．
【答案】（1）见解析（2）当线段时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形
【解析】该题考查的是三角形综合．
（1）证明：延长FD到G使，连接BG，EG，
∵D为BC中点，
∴，
∵在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴线段BE、BG、EG总能构成一个直角三角形，
∵，
∴线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；
（2）当线段时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，
证明：延长FD到W使，连接BW，EW，
∵D为BC中点，
∴，
在△BDW和△CDF中
，
∴△BDW≌△CDF（SAS）
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴当线段（或，）时，BE、BW、EW能构成一个等边三角形；
∵，
∴当线段（或，）时，线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形．
题模三：截长补短类
例1.3.1如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
【答案】见解析
【解析】如图所示，延长到使．
在与中，因为，，，
所以，故．
因为，，所以．
又因为，所以．
在与中，，，，
所以，则，所以的周长为．
例1.3.2阅读下列材料：
如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°.求证：CD=AB.
小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB=AE，∠E=∠D.
在△ADC与△CEA中，
∵
∴△ADC≌△CEA，
得CD=AE=AB.
请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由.
【答案】见解析
【解析】该题考查的是全等三角形的判定与性质．
CD与AB相等．
证明如下：
作交BC的延长线于点E，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∵在△DAC和△ECA中
∴△DAC≌△ECA
∴
∴.
随练1.1已知：如图，在△ABC中，，，BE⊥AE．求证：．
【答案】见解析
【解析】延长BE交AC于M，
∵BE⊥AE，∴
在△ABE中，∵，
∴
同理，
∵，∴，∴
∵BE⊥AE，∴，
∴，
∵∠4是△BCM的外角，∴
∵，∴
∴，∴
∴，∴
随练1.2如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：．
【答案】见解析
【解析】在BC上截取，连接EF
∵BE平分∠ABC，∴
又∵，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴．
∵AB//CD，∴
∵，∴
又∵，CE平分∠BCD，
∴△DCE≌△FCE（AAS），∴
∴．
随练1.3已知：如图，是正方形，，求证：．
【答案】见解析
【解析】延长至，使得，连接.
∵，，，
∴
∴，
∵
∴
∴
随练1.4如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：
（1）；
（2）．
【答案】见解析
【解析】该题考察的是全等三角形．
（1）∵BQ是的角平分线，
∴．
∵，且，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）延长AB至M，使得，连结MP．
∴，
∵△ABC中，，
∴，
∵BQ平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵AP平分，
∴，
在△AMP和△ACP中，
∵
∴△AMP≌△ACP，
∴，
∵，，
∴
随练1.5五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．
【答案】见解析
【解析】延长DE至F，使得，连接AC.
∵，，∴
∵，，∴△ABC≌△AEF．
∴，
∵，∴
∴△ADC≌△ADF，∴
即AD平分∠CDE．
随练1.6如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：
（1）若，，则△ABC____
“高和三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论
【答案】（1）是（2）；见解析
【解析】该题考察的是全等三角形．
（1）如图，Rt△ABC中，，，
在BC上截取，则△ABE为等边三角形
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，且△ABE为等边三角形
∴
∴
∴是高和三角形．
（2）如上图，在△ABC中，在DC上截取．
∵
∴
∴
∴
∵AD是BC边上的高且
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴
∴
随练1.7如图所示，，是的中点，，，求证．
【答案】见解析
【解析】如图所示，设交于，要证明，实际上就是证明，而条件不好运用，我们可以倍长中线到，连接交于点，交于点．
容易证明
则，，从而，
而，，故
从而，故
而
故，亦即．
作业1已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC；
②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）证明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠CAB=∠CAD=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠ACB=∠ACD=30°，
∴AB=AD=AC，
∴AB+AD=AC．
（2）解：成立．
证法一：如图，过点C分别作AM，AN的垂线，垂足分别为E，F，
∵AC平分∠MAN，
∴CE=CF，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°，
∴∠CDE=∠ABC，
∵∠CED=∠CFB=90°，
∴△CED≌△CFB，
∴ED=FB，
∴AB+AD=AF+BF+AE﹣ED=AF+AE，由（1）知AF+AE=AC，
∴AB+AD=AC，
证法二：如图，在AN上截取AG=AC，连接CG，
∵∠CAB=60°，AG=AC，∴∠AGC=60°，CG=AC=AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠CBG=180°，
∴∠CBG=∠ADC，
∴△CBG≌△CDA，
∴BG=AD，
∴AB+AD=AB+BG=AG=AC；
（3）证明：由（2）知，ED=BF，AE=AF，
在Rt△AFC中，cos∠CAF=，
即cos，
∴AF=ACcos，
∴AB+AD=AF+BF+AE﹣ED=AF+AE=2AF=2cosAC．
把α=60°，代入得AB+AD=AC．
作业2如图，已知：，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC，求证：CP平分∠DCB．
【答案】见解析
【解析】作PE⊥CD，垂足为E，∴，
∵PD平分∠ADC，∴，
又∵，∴，
∴点P在∠DCB的平分线上，∴CP平分∠DCB．
作业3如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的长．
【答案】
【解析】解：延长DF交BA延长线与点G，延长FD到H使得，连接BH．
平分，，
，，
又，，易得，
，，
则，设，则，，
解得，，．
作业4如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
（1）如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°．求证：DB=DC．
（2）如图3，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=2，则AB﹣AC=？
【答案】（1）见解析
（2）2
【解析】（1）证明：如图②中，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，，
∴△DFC≌△DEB，
∴DC=DB．
（2）解：如图③连接AD、DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，
∴∠B=∠FCD，
在△DFC和△DEB中，，
∴△DFC≌△DEB，
∴DF=DE，CF=BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，，
∴△ADF≌△ADE，
∴AF=AE，
∴AB﹣AC=（AE+BE）﹣（AF﹣CF）=2BE，
在Rt△DEB中，∵∠DEB=90°，∠B=∠EDB=60°，BD=2，
∴BE=1，
∴AB﹣AC=2．
作业5已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．
（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；
（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）证明：在BP上截取，连接DM，
∵DP⊥BC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，
理由是：在BD上截取，连接PM，
∵DP平分∠BDC，
∴，
在△MDP和△CDP中
∴△MDP≌△CDP（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
作业6如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．
求证：BD平分∠ABC．
【答案】见解析
【解析】
如图所示：在AB上截取ME=BN，
∵∠BMD+∠DME=180°，∠BMD+∠BND=180°，
∴∠DME=∠BND，
在△BND与△EMD中，
，
∴△BND≌△EMD（SAS），
∴∠DBN=∠MED，BD=DE，
∴∠MBD=∠MED，
∴∠MBD=∠DBN，
∴BD平分∠ABC．
作业7如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：
【答案】见解析
【解析】延长BD至E，使，连接AE，AD，
∵，，∴，
∵，∴△ABE是等边三角形，
∴，，
在△ACD和△ADE中，，
∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴．
作业8如图1，在△ABC中，，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
【答案】（1）见解析（2）（3）当点M在线段BC上时，；当点M在BC的延长线上时，；当点M在CB的延长线上时，
【解析】该题考查的是等腰三角形的三线合一，全等三角形的判定和性质．
（1）证明：连接ND．
∵AO平分∠BAC，
∴，
∵直线l⊥AO于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴，
∴．
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴；
（2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为
证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'．
由（1）可得，，．
∴，．
过点C作CG∥AB交直线l于G．
∴，．
∴．
∴．
∵M是BC中点，
∴
在△BNM和△CGM中，
∴△BNM≌△CGM．（ASA）
∴．
∴．
（3）BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，；
当点M在BC的延长线上时，；
当点M在CB的延长线上时，．
0教师辅导讲义
学员姓名：年
级：辅导科目：
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授课主题
第02讲_全等三角形辅助线的作法
全等三角形辅助线的作法
一．中点类辅助线作法
见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如下图（
是底边的中线)．
二．角平分线类辅助线作法
有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；
3．，这种对称的图形应用得也较为普遍．
三．截长补短类辅助线作法
截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与已知的另一条线段相等；所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解．
一．考点：全等三角形辅助线的作法
二．重难点：中点类、角平分线类、截长补短类辅助线作法
三．易错点：
1．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；
2．辅助线不是随便都可以作的，比如“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度”这种辅助线就不一定能作出来．
题模一：角平分线类
例1.1.1已知，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
（1）如图1，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
（2）如图2，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
例1.1.2如图，已知，，BD为∠ABC的平分线，CE⊥BE，求证：．
例1.1.3如图，，平分，平分，点在上．
①探讨线段、和之间的等量关系．
②探讨线段与之间的位置关系．
题模二：中点类
例1.2.1如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，与相等吗？为什么？
例1.2.2（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，求证：线段BE、FC、EF总能构成一个直角三角形；
（2）已知：如图2，∠A=120°，D为BC中点，E为AB上一点，F为AC上一点，ED⊥DF，连接EF，请你找出一个条件，使线段BE、FC、EF能构成一个等边三角形，给出证明．
题模三：截长补短类
例1.3.1如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
例1.3.2阅读下列材料：
如图1，在四边形ABCD中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°.求证：CD=AB.
小刚是这样思考的：由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊角度数可联想到构造特殊三角形.即过点A作AE⊥AB交BC的延长线于点E，则AB=AE，∠E=∠D.
在△ADC与△CEA中，
∵
∴△ADC≌△CEA，
得CD=AE=AB.
请你参考小刚同学思考问题的方法，解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD与AB是否相等？若相等，请你给出证明；若不相等，请说明理由.
随练1.1已知：如图，在△ABC中，，，BE⊥AE．求证：．
随练1.2如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：．
随练1.3已知：如图，是正方形，，求证：．
随练1.4如图，在△ABC中，，，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：
（1）；
（2）．
随练1.5五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．
随练1.6如图，△ABC中，，AD是BC边上的高，如果，我们就称△ABC为“高和三角形”．请你依据这一定义回答问题：
（1）若，，则△ABC____
“高和三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）一般地，如果△ABC是“高和三角形”，则与之间的关系是____，并证明你的结论
随练1.7如图所示，，是的中点，，，求证．
作业1已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC；
②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．
作业2如图，已知：，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC，求证：CP平分∠DCB．
作业3如图，在中，D为BC边上的中点，AE平分交BC于E，交AC于F，，，求CF的长．
作业4如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB=DC．
（1）如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD＜90°．求证：DB=DC．
（2）如图3，四边形ABCD中，∠B=60°，∠C=120°，DB=DC=2，则AB﹣AC=？
作业5已知：如图，△ABC中，，BD平分∠ABC，BC上有动点P．
（1）DP⊥BC时（如图1），求证：；
（2）DP平分∠BDC时（如图2），BD、CD、CP三者有何数量关系？
作业6如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．
求证：BD平分∠ABC．
作业7如图，在△ABC中，，D是三角形外一点，且，．求证：
作业8如图1，在△ABC中，，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），证明：；
（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；
（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．
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