5.1.2 导数的概念及其几何意义 教案-2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.1.2
导数的概念及其几何意义
教案
一、教学目标
1.
理解导数的概念及其几何意义；
2.
掌握用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线问题.
二、教学重难点
1.
教学重点
导数的概念及利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用.
2.
教学难点
导数的概念及其几何意义的理解.
三、教学过程
（一）新课导入
上节课研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率.这两类问题都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也有一样的表示形式.下面我们用上述思想方法研究更一般的问题.
（二）探索新知
1.
导数的概念
对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，的变化量为，的变化量为.我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率.
如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即.
例1
设，求.
解：.
例2
一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度（单位：）为，求汽车在第2
s与第6
s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.
解：在第2
s和第6
s时，汽车的瞬时加速度就是和.
根据导数的定义，
，
所以.
同理可得.
在第2
s与第6
s时，汽车的瞬时加速度分别是与.说明在第2
s附近，汽车的速度每秒大约增加；在第6
s附近，汽车的速度每秒大约减少.
2.
导数的几何意义
思考：如图，观察函数的图象，平均变化率表示什么？瞬时变化率表示什么？
容易发现，平均变化率表示割线的斜率.
如下图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
割线的斜率.记，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，无限趋近于函数在处的导数.因此，函数在处的导数就是切线的斜率，即.这就是导数的几何意义.
例3
如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图象.根据图象，请描述、比较曲线在附近的变化情况.
解：我们用曲线在处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况.
（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，.这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当时，曲线在处的切线的斜率.这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减.
（3）当时，曲线在处的切线的斜率.这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减.
从图中可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢.
从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数.这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）.的导函数有时也记作，即.
（三）课堂练习
1.在处的导数为(
)
A.
B.2
C.
D.1
答案：B
解析：.故选B.
2.曲线在点处的切线的斜率是(
)
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：D
解析：曲线在点处的切线的斜率
.故选D.
3.已知曲线的一条切线的斜率是3，则切点的横坐标为(
)
A.
B.
C.1
D.2
答案：D
解析：，
，.设切点坐标为，
则.故选D.
4.一质点按运动方程做直线运动(表示位移大小，单位：；表示时间，单位：).若质点在时的瞬时速度大小为，则常数为_____________.
答案：2
解析：因为，所以，当时，瞬时速度大小为，可得，所以.
5.若一物体的运动方程如下：(位移的单位：，时间的单位：)
求：（1）物体在内的平均速度；
（2）物体的初速度；
（3）物体在时的瞬时速度.
答案：（1）因为物体在内的时间变化量，
物体在内的位移变化量，
所以物体在内的平均速度为.
（2）求物体的初速度，即求物体在时的瞬时速度.
因为，
所以物体在处的瞬时速度为.
即物体的初速度为.
（3）物体在时的瞬时速度，即为函数在处的瞬时变化率.
因为，
所以函数在时的瞬时变化率为.
即物体在时的瞬时速度为.
小结作业
小结：
1.
导数的概念；
2.
导数的几何意义.
作业：
四、板书设计
5.1.2
导数的概念及其几何意义
1.
导数的概念；
2.
导数的几何意义.