广东省茂名市五校联盟2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案解析

茂名市2020-2021学年度第二学期五校联盟高一期末考试
数学试卷
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|2-5x+4≤0}，B={x|x<2，x∈Z}，则A∩B=( )
A.[1，2] B.[1，4] C.{1，2} D.{1，4}
2.已知复数false为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数x的值为( )
A.false B.false C.－3 D.false
3.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为( )
A.false B.false C.false D.false
4.设α，β是两平面，a，b是两直线.下列说法正确的个数是( )
①若a∥b，a∥c，则b∥c ②若a⊥α，b⊥α，则a∥b
③若a⊥α，a⊥β，则α∥β ④若α⊥β，α∩β=b，afalseα，a⊥b，则a⊥β
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知false=2，false=1，且false，则false与false的夹角为( )
A.false B.false C.false D.false
6.若false，则sin2α+2cos2α=( )
A.false B.false C.false D.false
7.函数false的图象大致为( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，SA=4，BC=false，∠BAC=60°，则三棱锥S-ABC外接球的表面积为( )
A.32false B.64false C.80false D.128false
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)
10312409588509.某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优，据当地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图(一)与人均月收入绘制成如图(二)所示的不完整的条形统计图，现给出如下信息，其中正确的信息为( )
A.10月份人均月收入增长率为2%
B.11月份人均月收入约为1570元
C.12月份人均月收入有所下降
D.从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高
10.设正实数a，b满足a+b=1，则( )
A.false B.false C.false有最大值false D.false有最小值false
11.关于函数false有如下四个命题中真命题的序号是( )
A.false的最小正周期为2；
B.false的图象关于点false对称；
C.若false，则false的最小值为false
D.false的图象与曲线false共有4个交点.
201993554229012.如图，在楼长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1上一点，且DE=2，F为棱C1D1的中点，点G是线段BC1上的动点，则( )
A.无论点G在线段BC1上如何移动，都有异面直线A1G，B1D的夹角为false
B.三棱锥A-GAE的体积为108
C.直线AE与BF所成角的余弦值false
D.直线A1G与平面BDC1所成最大角的余弦值为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.甲射击命中目标的概率是false，乙射击命中目标的概率是false，甲与乙射击相互独立，则甲乙两人中恰有一人命中目标的概率是___________.
14.函数false的单调递增区间是__________，值域是__________.(第一空3分，第二空2分)
15.在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=false，CD=5，BD=2AD，则AD的长为_________.
23876002286016.定义在(-1，l)上的函数false满足false，对任意的x1，x2∈(-1，1)，x1≠x2，恒有false，则关于x的不等式false的解集为__________.
四、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本题10分)已知函数false.
(1)求false的周期和单调区间；
(2)若false，false，求cos2α的值.
18.(12分)某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](单位：克)中，经统计的顿率分布直方图如图所示.
195961067310(1)估计这组数据的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)；
(2)现按分层抽样从质量为[200，250)，[250，300)的芒果中随机抽取5个，再从这5个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；
(3)某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出以下两种收购方案：
方案①：所有芒果以9元/千克收购；
方案②：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，对质量高于或等于250克的芒果以3元/个收购.
请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多?
参考数据：5×125+17×175+20×225+30×275+25×325+3×375=25600.
19.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为梯形，ABCD，PA=PD=false，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，AB=AD=2DC=2.
(1)E为PD的中点，F在AB上，AF=3FB，
求证：EF∥平面PBC
4357370316865(2)求AC与平面PDC所成角的余弦值.
20.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量false，向量false=(cosB，cosC)，且false.
(1)求B的大小；
(2)设点D在边AC上，且BD=2，BD是ΔABC的角平分线，求a+c的最小值。
42614852667021.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1，中，AD=2AB=2AA1=2，P为棱C1D1中点，E为棱BC中点.
(1)求二面角P-BE-D平面角的大小；
(2)线段AD上是否存在点Q，使得Q到平面PED的距离为false？
若存在，求出false值：若不存在，请说明理由.
413067514224022.已知二次函数false的图象与直线y=-6只有一个交点，满足f(0)=-2，且函数f(x-2)是偶函数，false.
(1)求二次函数false的解析式；
(2若对任意xfalse[1，2]，tfalse[-4，4]，false恒成立，求实数m的范围；
(3)若函数false恰好三个零点，求k的值及该函数的零点。
茂名市2020-2021学年度第二学期五校联盟高一期末试卷
高一数学参考答案
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
C
B
D
A
AC
ACD
AD
ACD
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13.false；14.[-1，1)((-1，1)亦可)，[-2，+∞)；15.5；16.false
1.答案C解析：∵A＝[1，4]，∴A∩B＝{x|1≤x≤2，x∈Z}＝{1，2}.故选：C.
2.答案B解析：false，因为复数false为纯虚数，所以false，∴false故选B.
3.答案A解析：设依次编号为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为false.
4.【答案】D【解析】由平行公理知①对，垂直于同一平面的两条直线平行，故②对；垂直于同一直线的两个平面平行，故③对，由面面垂直性质定理知④对.故选：D.
5.答案C解析：因为false，所以false
false，而向量的夹角在[0，false]上，所以false.故选：C.
6.答案B，解析：由false，求得false，
而false，所以false.故选：B.
7.答案D解析false，且f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，false，排除B.
8.A详解】AB2+BC2=AC2依题意，故AB⊥BC；
∵SA⊥平面ABC，∴可将三棱锥S-ABC可补成三棱柱ABC-A1B1C1，∴ABC外接圆直径false，三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心在两底面三角形外心O1、O2连线中点O处；RtΔAO1O中，R=AO=false，三棱锥S-ABC外接球的表面积为false.
23660106359.【答案】AC【解析】【分析】由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图直接判断求解.【详解】由8月份至12月份当地的人均月收入增长率折线图与人均月收入条形统计图，知：
对于A，根据图(一)，10月份人均月收入增长率为2%，故A正确；
对于B，11月份人均月收入约为1428×(1+1％)≈1442元，故B错误；
对于C，由图(一)、图(二)均可得出收入下降，故C正确；
对于D，从图中易知该地人均收入8、9月一样，故D错误；故选：AC.
10.【答案】ACD因为false(当且仅当false时等号成立)，
所以false，故A正确.false(当且仅当false时取等号)，∵false，故B错误；false，C正确；
false，D正确
11.【答案】AD【解析】由图可得：false，false的最小正周期为2，A正确；
false，false的图象关于点false对称，B错误；离y轴最近的对称轴为false，所以若false，则false的最小值为false，C错误；在y轴右边离y最近的对称为false，false，而false，false在(0，+false)上是减函数，因此false的图象在第一象限每个周期内与false的图象都有两个交点，在区间false上有两个交点，在区间false上有两个交点，从而false上有4个交点，D正确；故答案为：AD.
1317625350012012.ACD【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，易证DB1⊥面A1BC1，又A1Gfalse平面A1BC1，所以A1G⊥B1D，所以异面直线A1G，B1D的夹角为false，则A正确；V三棱锥A1-GAE=V三棱锥G-A1AE=false，则B错误；在棱CC1上取点N，使CN=2，连结BN，NE，FN(如图)，则易知∠FBN为直线AE与BF所成角或其补角，可得BN=false，FN=5，FB=9，则cos∠FBN=false，则直线AE与BF所成角的余弦值为false，则C正确；由题意知三棱锥A1-BDC1为棱长为false的正四面体，作A1O⊥平面BDC1，O为垂足，则O为正ΔBDC1的中心，且?A1GO为直线A1G与平面BDC1所成角，所以∠cosA1GO=false，当点G移动到BC1的中点时，A1G最短，如图，此时cos∠A1GO最小，∠A1GO最大，此时cos∠A1GOfalse则D正确.故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案false
解析：记A=“甲射击命中目标”，B=“乙射击命中目标”，甲乙两人中恰有一人命中目标的概率是
false14.【解析】令false，则由false，可得-3【答案】(-1，1)[-2，+∞)
15.答案：5
解析：如图，在△ABC中，BD＝2AD，设AD＝x(x＞0)，则BD＝2x.在△BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝false.在△ACD中，AD＝x，CD＝5，AC＝false，则cos∠ADC＝false.因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，即false，解得x＝5，所以AD的长为5.
21513803111516.【答案】false【详解】设false，因为对任意的x1，x2false(-1，1)，x1falsex2，恒有false，所以函数false在(-1，1)上为增函数，则h(x)在(-1，1)上为增函数，又false，而false，所以false，所以h(x)为奇函数，综上，h(x)为奇函数，且在(-1，1)上为增函数，所以不等式false等价于false，即false，亦即false，可得false，解得false.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(1)解：∵false………1分
false?……………2分
false?…………3分
所以，函数false的周期为false，……………4分
令false，解得false；
令false，解得false?.
因此，函数false的增区间为false，……………5分
减区间为false；……………6分
(2)∵false，4sin265???????????，
∴false，
∴false，……………7分
∴false……………8分
∴false……………9分
false….……………10分
18.(12分)解：(1)由频率分布直方图知，各区间频率为0.05，0.17，0.20，0.30，0.25，0.03……2分
这组数据的平均数
false.......……4分
(2)利用分层抽样从这两个范围内抽取5个芒果，则质量在[200，250)内的芒果有2个，记为a1，a2，质量在[250，300)内的芒果有3个，记为b1，b2，b3；………………5分
从抽取的5个芒果中抽取2个共有10种不同情况：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3).……………………7分
记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A有4种不同组合：
(a1，a2)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3).………………………………………8分
从而false，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为false。………9分
法二：从抽取的5个芒果中抽取2个共有false种……………………6分
记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则A的不同组合有false种…………8分
从而false，故这2个芒果都来自同一个质量区间的概率为false。………9分
(3)方案①收入：false23040(元)；……10分
方案②：低于250克的芒果收入为(0.05+0.17+0.2)×10000×2=8400(元)；
不低于250克的芒果收入为(0.25+0.3+0.03)×10000×3=17400(元)；
故方案②的收入为y2=8400+17400=25800(元).……………………11分
由于23040<25800，所以选择方案②获利多.…………………………12分
19.(1)证法一：作PC的中点M，连结ME、MB………………1分
109093071120∵E为PD的中点
∴EMfalseCD，…………………2分
又AB∥CD，AF=3FB，AB=2CD，
∴FBfalseCD，…………………3分
∴EMfalseFB
∴四边形EFBM为平行四边形，…………4分
∴EF∥MB…………5分
∵EFfalse平面PBC，MBfalse平面PBC
∴EF∥平面PBC…………6分
859790279400证法二：作CD的中点Q，连结QE、QF…………1分
∵E为PD的中点，Q为CD的中点
∴EQ∥PC
∵EQfalse平面PBC，PCfalse平面PBC
∴EQ∥平面PBC…………2分
∵Q为CD的中点，
∴QC=falseCD=false
∵AF=3FB
∴FB=falseAB=false
∴QCfalseFB…………3分
∴四边形QFBC为平行四边形，
∴FQ∥BC
∵FQfalse平面PBC，BCfalse平面PBC
∴FQ∥平面PBC…………4分
又FQfalseEQ＝Q，且FQ，EQfalse平面QEF
∴平面QEF∥平面PBC…………5分
∵EFfalse平面QEF，
∴EF∥平面PBC…………6分
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PADfalse平面ABCD=AD，CD⊥AD，CDfalse平面ABCD，
1393825142240∴CD⊥平面PAD，…………7分
∴CD⊥PA…………8分
∵PA2+PD2=AD2
∴PD⊥A…………9分
又PDfalseCD=D
∴PA⊥平面PCD于P…………10分
∠ACP为AC与平面PCD所成的角，…………11分
RtΔPDC中，PC=false，
RtΔADC中，AC=false，
RtΔAPC中，cos∠ACP=false???…………12分
法三：作PO⊥AD于O
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PADfalse平面ABCD=AD，
PO⊥AD，POfalse平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，……1分
∵PA2+PD2=AD2
1524000412750∴PD⊥PA PO=falseAD=1，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A(1，0，0)，C(-1，1，0)，P(0，0，1)，D(-1，0，0)，B(1，2，0)，F(1，false，0)
E(false，0，false)，false，false(1，-1，0)，false=(1，2，1)................…2分
设平面PBC法向量为false=(x，y，z)?，
则有false.......................3分
令x=1，平面PBC法向量为false=(1，1，3)?………….…4分
false false????………….…5分
∵EFfalse平面PBC，MBfalse平面PBC
∴EF∥平面PBC…………6分
(2)false=(-2，1，0)，false=(1，-1，0)，false(1，0，1)，.........................?.…7分
设平面PDC法向量为false=(x，y，z)?，则有false.......…8分
令x=1，平面PDE法向量为false(1，0，-1)?………….…9分
直线AC与平面PDC的角θ的正弦值为
false…….…11分
所以直线AC与平面PDC的角θ的余弦值为false………….…12分
20.解：(1)∵false，
∴false…………1分
∴由正弦定理得2sinA·cosB+sinC·cosB+sinB·cosC=0，…………2分
又∵A，B?(0，false)，
∴sinAfalse0，cosB=false，…………3分
∴false；…………4分
(2)∵BD为ΔABC的角平分线
∴∠ABD=∠CBD=false∠ABC=false....................…5分
又∵SΔBCD+SΔBAD=SΔABC…………6分
∴falseBD·BC·sin∠CBD+falseAB·BD·sin∠ABD=falseAB·BC·sin∠ABC
即false??…………7分
∴false即false…………8分
∴false.............11分
当且仅当a=c=4时，等号成立，故a+c的最小值为8…………12分
104838524574521.解：(1)法一：取AD中点O，连结PO、OC，
在ΔPAD中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.………….…1分
又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，平面A1ADD1false平面ABCD=AD，
POfalse平面A1ADD1，所以PO⊥平面ABCD.………….…2分
PO⊥BE………….…3分
因为BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BE=2，
所以ABCO为正方形，所以OE⊥BE………….…4分
POfalseOE=O，所以BEfalse平面POE.
∠PEO为二面角P-BE-D的平面角，………….…5分
RtΔPOC中，OC=PO=1，
∴∠PCO=450………….…6分
(2)解：假设线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PED的距离为false.
设QD=x，则SΔDQE=falsex??……….…7分
RtΔPOE中，PE=false，
RtΔDOE中，ED=false=PE=PD………….…8分
所以SΔPED?=false………….…9分
由VP-DQE=VQ-PED，即false?????………….…10分
解得false?………….…11分
所以存在点Q满足题意，此时false.………….…12分
法二：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
182245082550则A(0，0，0)，B(1，0，0)，E(1，1，0)，P(0，1，1)，D(0，2，0)，
false=(1，-1，-1)，false=(1，0，-1)，.…..............1分
平面ABCD法向量为false=(0，0，1)..............….…2分
设平面PBE法向量为false=(x，y，z)，则有false............…3分
令x=1，平面PDE法向量为false=(1，0，1)..........................…4分
二面角P-BE-D的平面角θ二面角的余弦值为false………….…5分
又θfalse[0°，180°]，所以θ=45°………….…6分
(2)设平面PDE法向量为false=(a，b，c)?，Q(0，m，0)，false=(0，1，-1)????
则false............................7分
令x=1，平面PDE法向量为false=(1，1，1)???………….…8分
点Q(0，m，0)到平面PED的距离为false.…..........10分
∴m=false………..........….…11分
∴QD=false，
∴false?………….…12分
法三：(1)二面角P-BE-D的平面角即二面角D1-BC-D的平面角，………….…2分
因为BC⊥平面C1CDD1，∠D1CD为二面角P-BE-D的平面角，………….…4分
RtΔD1DC中，∠D1DC=90°，D1D=DC
1624965299085∴D1CD=45°………….…6分
22.【详解】(1)因为false是偶函数，所以false
所以false的图象关于x=-2对称，----------------1分
又二次函数false的图象与直线y=-6只有一个交点，
设false---------------2分
又因false解得a=1，
所以false----------------3分
(2)由(1)得false
∵false在区间[1，2]单调递增
∴false----------------4分
∴false即false
∴false且false----------------5分?
∴false或false-----------------6分
(3)令false---------------7
由得false得false即false--------------8分
∵函数false有三个零点
∴false的一个零点为3?
∴k=7-------------9分
当k=7时，由false得n1=3，n2=4--------------10分
当n1=3时，x=0；当n2=4时，x=±1；
∴k=7，--------------11分
函数的零点为0，±1.------------------------------------12分