河南省许昌市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案

许昌市2020—2021学年第二学期高中期末考试
高二文科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码粘贴在“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．
4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合false，false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．已知复数false满足false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．已知false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．下表是某产品1~4月份销量（单位：百件）的一组数据，分析后可知，销量false与月份false（false）之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是false，则预测5月份的销量是（ ）
月份false
1
2
3
4
销量false
4.5
4
3
2.5
A．false B．false C．false D．false
5．函数false在false处的切线方程为false，则false（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．函数false的最小正周期和最小值分别是
A．false和false B．false和－2 C．false和false D．false和－2
7．若false，false，false，false，则false，false，false大小关系正确的是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．执行如图所示的程序框图，则输出false的值为（ ）

A．4 B．2 C．1 D．false
9．已知双曲线false的实轴长为false，直线false与双曲线交于false、false两点，false、false两点的横坐标之积为false，则离心率false=（ ）
A．false B．false C．false D．false
10．若false，则“false”的一个充分不必要条件是（ ）
A．false B．false C．false且false D．false或false
11．在区间false上任取两个数，则这两个数之和小于false的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
12．数列false的首项false，且false，令false，则false（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题“若false，使得false”为假命题，则实数false的取值范围为______．
14．已知两条不重合的直线false，false和两个不重合的平面false，false，有下列命题：
①若false，false则false；
②若false，false，false则false；
③若false，false是两条异面直线，false，false，false，false，则false；
④若false，false，false，false则false
其中正确的命题序号是______．
15．已知向量false，false，其中false，记false，false图像关于直线false对称，则函数false的解析式为______．
16．已知抛物线false：false的焦点为false，点false、false为抛物线上的两个动点，且false，过弦false的中点false作抛物线准线的垂线false，垂足为false，则false的最小值为______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分．
17．（12分）
在false中，角false，false，false的对边分别为false，false，false，已知false．
（1）若false求false的值；
（2）若false的平分线交false于false，且false，求false的最小值．
18．（12分）
我市的教育改革轰轰烈烈，走在了全省前列.我市全面推进基础教育三年攻坚，一手抓“项目建设强基础”，一手抓“改革创新破难题”，基础建设、教育质量、师资力量、改革创新、教师待遇等方面取得了长足进步．教育是市民密切关注的热点问题，并且人们对教育都有较高的期望度．某调查机构通过不同途径进行调查，按照随机抽样的方法抽取了210名许昌市民，其中45岁以下的占抽查总人数的false.所抽取的210名市民中对教育满意的共130人，其中45岁以上对许昌教育的满意的有50人．
（1）请结合独立性检验的思想，完成下列列联表，并分析是否有99.9%的把握认为市民的满意度与年龄分布有关?

45岁以下
45岁以上
合计
满意



不满意



合计


210
（2）若按照分层抽样的方法从“感觉不满意”的随机抽取4人，再从这4人中随机抽取2人，求恰有1人是“45岁以上”的概率．
附：false，其中false.
false
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
false
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.（12分）
在四棱锥false中，false平面false，false是正三角形，false与false的交点为false，又false，false，false，点false是false的中点.
（1）求证：false平面false；
（2）求点false到平面false的距离.

20．（12分）
在false中，已知false，false，false交false于点false，false为false中点，满足false，点false的轨迹为曲线false．
（1）求曲线false的方程：
（2）过点false作直线false交曲线false于false，false两点，试问以false为直径的圆是否恒过定点？若过定点求出定点，若不过定点说明理由.
21．（12分）
已知函数false，false．
若false，求false的单调区间；
若false在false上恒成立，求false的取值范围.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系false中，以原点false为极点，false轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为false的曲线false与曲线false：false（θ为参数）相交于false，false两点，曲线false是以false为直径的圆．
（1）求曲线false的极坐标方程.
（2）若过点false斜率为false的直线false与曲线false相交于false、false两点，求线段false中点false的坐标和线段false的长度.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知关于实数false的不等式false无解，
（1）求实数false的取值组成的集合false．
（2）已知false，false，false，false，且false，false，求false的最小值．



参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】A
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】C
【解析】设所取的两个数分别为false、false，则事件构成的全部区域为false，
区域false是边长为1的正方形区域，
事件“这两个数之和小于false”构成的区域为false，
如下图所示：

直线false交直线false于点false，区域false表示的是图中阴影部分区域．
则三角形区域是直角边长为false的等腰直角三角形，
区域false的面积为false，
因此，事件“这两个数之和小于false”的概率为false．故选：C．
12．【答案】2022
【解析】因为false，所以false
所以false且false，所以数列false是以4为首项，公比为4的等比数列，
所以false，即false
代入false得false
设数列false的前n项和为false
则falsefalse
则falsefalse
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【答案】[0，4）
14．【答案】②③④
15．【答案】false；
16．【答案】1
【解析】如图，过false，false作准线的垂直，垂足分别为false，false，
设false，false，则false，false，
false是false中点，且false，false，false都与准线false垂直，则它们平行，
因此false，
false，当且仅当false时等号成立，所以false，即false的最小值为1．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：60分．
17．【解析】（1）由正弦定理，得false，即false；
由余弦定理得false，又false，所以false；
所以false．
（2）由题意得false，即false，
所以false，即false；
则false，
当且仅当false，即false，false时取等号；
所以false的最小值为9．
18．【解析】（1）根据题意，完成列联表得：

45岁以下
45岁以上
合计
满意
80
50
130
不满意
60
20
80
合计
140
70
210
false
所以没有99.9%的把握认为市民的满意度与年龄分布有关．
（2）按照分层抽样可知，45岁以下取3人，记为false，false，false，45岁以上抽取1人，记为false，所有基本事件为false，false，false，false，false，false，共6种，
其中事件“恰有1人是45岁以上”包含的基本事件为：false，false，false，共3种，
故恰有1人是“恰有1人是45岁以上”的概率false．
19．【解析】

（1）证明：在正false中，false
在false中，false
又∵false∴false∴false为false的中点
∵点false是false的中点，∴false
∵false平面false，∴false
∵false，∴false
∵false，∴false
即false
∵false，∴false平面false，∴false平面false
（2）解：设false到平面false的距离为false
在false中，false，∴false
在false中，false，∴false
在false中，false，false，false
∴false，
又在false中，false，false，false，∴false
由false，且false，false
∴false，解得false
∴点false到平面false的距离为false
20．【解析】（1）设false，false，false，false
因为false，所以false，即false，
整理得：false，即false.在false中，三顶点不可能共线，所以false，
故曲线false的方程为false
（2）结论：以false为直径的圆经过定点（0，-1）
若直线false斜率不存在，可得圆：false，
若直线false斜率为0，可得圆：false，解得两个圆的公共点为false，
若直线false斜率存在且不为0时，设其方程为false，
false，可得false，false恒成立，
设点false，false，
可得韦达定理：false
false
falsefalse
false
即false，以false为直径的圆经过定点false．
综上所述，以false为直径的圆经过定点false
21．【解析】（1）若false，则false，
∴false
∴false
令false，则false，∴false
令false，则false，false
false的单调递增区间为false和false，单调递减区间为false
注意：单调区间两端处取开或者闭均正确.
（2）false
令false，false，
则false
令false，
则false.
∵false，∴false，∴false，∴false，
∴false在false上单调递减，
∴false
∴false，∴false在false上单调递减，
∴false，故false
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．【解析】
（1）false化为直角坐标方程为false①，
false化为普通方程为false②，
①②联立得false，false，所以曲线false的普通方程为false③.
故false的极坐标方程为false
依已知设直线false的参数方程为false（false为参数）
并代入③式整理得false
由于false，所以false，false
所以，false，false，false，
故false的坐标为false
由false的几何意义知false．
23．【解析】（1）设false，
由于false
（当且仅当false时等号成立），所以函数false的最小值为false，
故只需false，所以false，false
（2）由（1）知false，
所以false
false（当且仅当false时取等号）．