人教A版选修2-3 高二数学：1.1.2 两个基本原理的应用 同步练习

选修2-3 1.1.2 两个基本原理的应用
一、选择题
1．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，则不同的分法共有(　　)
A．4种　　　 B．5种　　　
C．6种　　　 D．7种
[答案]　A
[解析]　分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，故共有分法1＋2＋1＝4种．
2．四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种类是(　　)
A．4 B．24
C．43 D．34
[答案]　C
[解析]　依分步乘法计数原理，冠军获得者可能有的种数是4×4×4＝43.故选C.
3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c∈{0,1,2, 3,4}，则不同的二次函数的个数共有(　　)
A．125个 B．15个
C．100个 D．10个
[答案]　C
[解析]　由题意可得a≠0，可分以下几类，
第一类：b＝0，c≠0，此时a有4种选择，c也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；
第二类：c＝0，b≠0，此时a有4种选择，b也有4种选择，共有4×4＝16个不同的函数；
第三类：b≠0，c≠0，此时a，b，c都各有4种选择，共有4×4×4＝64个不同的函数；
第四类：b＝0，c＝0，此时a有4种选择，共有4个不同的函数．
由分类加法计数原理，可确定不同的二次函数共有N＝16＋16＋64＋4＝100(个)．故选C.
4．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲 、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　　)
A．6种 B．12种
C．24种 D．30种
[答案]　C
[解析]　分步完成．首先甲 、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次由甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24种，故选C.
5．将5名世博会志愿者全部分配给4个不同的地方服务，不同的分配方案有(　　)
A．8 B．15
C．512 D．1024
[答案]　D
[解析]　由分步计数原理得4×4×4×4×4＝1024，故选D.
6．如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有(　　)
A．6种 B．36种
C．63种 D．64种
[答案]　C
[解析]　每个焊接点都有正常与脱落两种情况，只要有一个脱落电路即不通，∴共有26－1＝63种．故选C.
7．如图，某段电路由五个电阻组成，其中共有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，该段电路就会不通，现在电路MN间没有电流通过，那么焊接点脱落的可能性共有(　　)
A．14种 B．49种
C．16种 D．64种
[答案]　B
[解析]　支路A、B、C有23－1＝7种．支路D、E、F有23－1＝7种．∴共有7×7＝49种，故选B.
8．210所有正约数的个数共有(　　)
A．12个 B．14个
C．16个 D．20个
[答案]　C
[解析]　由210＝2·3·5·7知正约数的个数为2·2·2·2＝16.∴选C.
9．某班2011年元旦联欢会原定的9个歌唱节目已排成节目单，但在开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为(　　)
A．110 B．120
C．20 D．12
[答案]　A
[解析]　先将其中一个节目插入原节目单的9个节目形成的10个空中有10种方法，再把另一个节目插入前10个节目形成的11个空中有11种插法．由乘法原理知有10×11＝110种．
10．同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有(　　)
A．6种 B．9种
C．11种 D．23种
[答案]　B
[解析]　解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同的分配方式．同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式．由分类加法计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3＝9 (种)分配方式．
解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡，如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分类乘法计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有3×3×1×1＝9(种)．
二、填空题
11．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________．
[答案]　 8
[解析]　建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，有2种方法，故由分步乘法计数原理，共有映射23＝8(个)．
12．设椭圆＋＝1的焦点在y轴上，m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，则这样的椭圆个数为________________．
[答案]　20
[解析]　曲线是焦点在y轴上的椭圆，∴n>m.当m＝1时，n有6种取法，当m＝2时，n有5种取法……当m＝5时n有2种取法，∴这样的椭圆共有6＋5＋4＋3＋2＝20个．
13．已知m∈{3,4,5}，n∈{0,2,7,8}，r∈{1,8,9}，则方程(x－m)2＋(y－n)2＝r2可以表示不同圆________个．
[答案]　36
[解析]　只有m、n、r都确定后，圆的方程才能确定，由分步乘法计数原理知共表示不同圆3×4×3＝36个．
14．某工程由下表所示工序组成，则工程所需总工时数为________天.
工序 a b c d e f
紧急工序 — — a，b c c d，e
工时数(天) 2 3 2 5 4 1
[答案]　11
[解析]　在完成某项工序时，必须先完成它的紧急工序且在紧急工序完成的条件下，若干件工序可同时进行，因而工程所需总工时数为3＋2＋5＋1＝11(天 )．
三、解答题
15．有不同的数学书11本，不同的物理书8本，不同的化学书5本，从中取出不同学科的书2本，有多少种不同的取法？
[解析]　从这些书中取出不同学科的书2本，有三类办法：第一类办法是数学书、物理书各取1本；第二类办法是数学书、化学书各取1本；第三类办法是物理书、化学书各取1本，每类办法又可分成两步完成，即依次取出不是同一学科的书各1本，根据加法原理和乘法原理，得到不同的取法种数是11×8＋11×5＋8×5＝183(种)．
16．若直线方程Ax＋By＝0中的A、B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？
[解析]　分两类完成：
第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条；
第2类，当A，B不为0时，直线Ax＋By＝0被确定需分两步完成．
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法．
由分步乘法计数原理，共可确定4×3＝12条直线．
∴由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条．
17．有三项体育运动项目，每个项目均设冠军和亚军各一名奖项．
(1)学生甲参加了这三个运动项目，但只获得一个奖项，学生甲获奖的不同情况有多少种？
(2)有4名学生参加了这三个运动项目，若一个学生可以获得多项冠军，那么各项冠军获得者的不同情况有多少种？
[解析]　(1)三个运动项目，共有六个奖项，由于甲获得一个奖项且甲可获得六个奖项中的任何一个．
∴甲有6种不同的获奖情况．
(2)每一项体育运动项目中冠军的归属都有4种不同的情况，故各项冠军获得者的不同情况有4×4×4＝64(种)．
18．用1、2、3、4四个数字排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列{an}．
(1)写出这个数列的第11项；
(2)这个数列共有多少项？
(3)若an＝341，求n.
[解析]　(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133；
(2)这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数，每个位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64项；
(3)比an＝341小的数有两类：①
1 × ×
2 × ×
②
3 1 ×
3 2 ×
3 3 ×
.共有2×4×4＋1×3×4＝44项．
∴n＝44＋1＝45.