海口市2012年高中数学青年教师课堂教学评比材料：必修4. 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
湖南师大附中海口中学 瞿朝辉
【教学目标】
知识与技能：（1）以物理中的“功”为背景，认识并理解平面向量数量积的含义及其物理背景、体会平面向量数量积与向量的投影的关系；
（2）通过平面向量数量积的性质、运算律的探究，体会类比与归纳、对比与辨析；正确熟练的应用平面向量数量积的定义、运算律进行运算。
过程与方法：培养学生的探索精神、研究数学知识的流程及实际动手能力
情感态度与价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程；性质运算律的发现到论证过程，进一步感悟数学的本质，培养学生的探索研究能力。
【重难点】
重点：平面向量数量积的概念、性质、运算律的发现与论证
难点：定义及运算律的理解及应用
【教学过程】
概念的引入：
物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功为，（为与的夹角）；
“功”是一个标量，大小由向量F和向量S确定，那么能否把“功”看成是两个向量的一种运算的结果呢？向量的加法和减法肯定是不行的为此我们引入“数量积”的概念，把两个非零的向量、的数量积表示为（为与的夹角）
【说明】 ①“”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替；
②数量积是一个实数；
③公式可变形为----用此求两个向量的夹角
④规定：零向量与任意向量的数量积都为0
由此可知“功”的数学实质就是力和位移两个向量的数量积
探究数量积的几何意义
投影的概念（几何画板演示）：如图，我们把（或）
叫做向量在方向上（或在方向上）的投影
2、显然投影也是标量，正负是由两个向量的夹角决定；
3、数量积的几何意义：等于与与在的方向上的投影 的乘积；
4、数量积的正负性等同于投影的正负性由夹角大小决定：（学生完成）
的范围 0°≤<90° =90° 90°<≤180°
的符号 + 0 -
的符号 + 0 -
【例1】已知，，
当与的夹角是120°时，求 ；
当时，求与的夹角。
【变式】已知，，当①∥，②，③与的夹角是60°时，分别求。
探究向量的数量积的性质
由向量数量积的定义可知：（学生完成，教师完善）
【例2】判断下列结论是否正确
（1）=，则对任意的都有 （ ）
（2）若、都为非零向量，则 （ ）
（3）若，且，则 （ ）
（4）恒成立 （ ）
四、 探究数量积的运算律
数量积是两个向量的一种乘法运算，有运算肯定会涉及到运算律，下面请同学们类比实数的运算律和向量的数乘的运算律大胆猜想数量积有哪些运算律
猜想结果 论证后结果
交换律
分配律
数乘结合律
结合律 不成立
【例3】对比实数计算中三个经常用到的公式猜想数量积的计算（学生完成）
实数 向量 说明
可作为公式使用
【例4】已知，，当与的夹角是60°时，
求 ① ；
② 。
【变式】已知，与的夹角为60°且，求
五、 数量积的综合应用
【例5】已知，，且与不共线，为何值时，与 互相垂直？
【变式】已知，，且与的夹角为60°，
①是否存在实数使得与共线？
②是否存在实数使得与共线？
六、 小结
1、知识点小结：
①这节课我们利用物理中的“功”的概念得出向量的数量积的定义，进一步探究了数量积的性质及运算律；
②利用向量的数量积可以解决求向量的模的问题和求向量的夹角的问题，也可以解决平行、垂直问题。
七、作业 P108. T1、2、6、7
设和都是非零向量，则
1、
2、当与同向时，
当与反向时，，
特别地，或------用此求向量的模
3、