海口市2012年高中数学青年教师课堂教学评比材料：必修4. 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

(共28张PPT)
林召高
前面我们已经研究了向量的线性运算，向量的线性运算包含哪些运算？这些运算的结果是什么量？
向量的线性运算包含向量的加法、减法和数乘向量运算，这些运算的结果都还是向量。
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
θ
F
S
力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
向量数量积的定义
规定： ．
（2）两向量的数量积是一个数量
（1） a · b不能写成a×b ，‘·’不能省
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
θ的范围 的结果
（正数，负数或者零）
00≤θ<900
θ=900
900<θ≤1800
根据向量数量积的定义，完成下列表格：
正数
零
负数
向量投影的定义：
如图：
B1

O
A
B
b
a
投影是一个数量，有正，负和0之分，投影的符号取决于cosθ的符号
数量积的几何意义：
向量投影的定义：
数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的
投影 的乘积，或等于 的长度与 在 方向上的投影︱a︱cosθ的乘积。
④、
②、
①、
③、
①、
②、
解：
④、
②、
①、
③、
③、
④、
解：
（1）将例1中问题①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
（2）比较 的大小，你有什么结论？
④、
②、
①、
③、
数量积的性质：
设a，b都是非零向量，则：
特别地
√
×
×
×
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0
4．若b≠0，a · b= b · c，则a=c
练习：判断下列说法是否正确
在实数中
交换律: ab=ba
结合律： (ab)c=a(bc)
分配律： (a+b)c=ab+bc
回顾实数乘法运算中有关的运算律
（ ）
（ ）
（ ）
√
交换律:
结合律：
分配律：
（ ）
√
×
数量积的运算律
回顾实数乘法运算中的运算律，类比猜想数量积得运算律:
分析：
即证明：和的投影等于投影的和
证明：
数量积的运算律
回顾实数乘法运算中的运算律，类比猜想数量积得运算律:
（ ）
（ ）
（ ）
√
交换律:
结合律：
分配律：
（ ）
√
×
√
数量积的运算规律：
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b
＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b
证明：（2）(a＋b)·(a－b)
＝(a＋b)·a－(a＋b)·b
＝a·a＋b·a－a·b－b·b
解:
1、课本第106页练习2、3
一、数量积的定义
二、数量积的几何意义
三、数量积的性质
特别地
四、数量积的运算规律
五、数量积的性质及
运算规律的应用
思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。
A
B
C
O
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C
为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
量 ，即 。
解：设
则 ，
由此可得：
即 ，∠ACB=90°
1、课本P108习题2.4A组1、2、3。
课后作业：