海口市2012年高中数学青年教师课堂教学评比材料：必修4. 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

平面向量数量积的物理背景及其含义(教学设计)
海口一职中 林召高
一、学情分析：
本教学设计设计对象为普通中学学生，学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念、夹角及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而数量积的概念与运算律的理解就成为了本节课教学的难点。
二、教学目标（三维目标）：
1、知识与技能：
（1）理解平面向量数量积的几何意义及其物理意义；
（2）掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
（3）理解平面向量的数量积与向量投影的关系；
（4）了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法：
这节课主要采用类比法，数形结合法和探究式教学法。通过按照 “物理模型→概念→性质→运算律→应用”这种研究思路来研究了向量的数量积运算。先有物理模型引入数量积的概念，接着了解了数量积的几何意义，进一步总结出数量积的性质，再通过类比实数乘法运算律，用数形结合的思想证明验证，得到了数量积的三条运算律。最后我们将数量积的性质和运算律来解决了一些问题，
3、情感态度与价值：
（1）通过用向量数量积解决问题的思想的学习，使学生加深认识数学知识之间的联系，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，培养起学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识；
（2）通过对向量数量积及所产生的思想方法的学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神。
三、教学重难点：
重点：平面向量数量积的概念，用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。
难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。
四、课时安排： 1课时
五、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
创设情景，引出新课 用问题方式引导学生用类比的方法学习新的向量运算。向量有加法、减法和数乘运算，类比实数运算，既然有数乘向量，我们会想：存不存在两个向量相乘的运算呢？如果存在，类比前面的线性运算，两个向量乘积的结果会是什么？它可能会具有什么样的性质，拥有哪些运算律？带着这些问题，这节课我们就来探究学习向量的另一种运算，向量的数量积。导入课题：平面向量数量积的物理背景及其含义。若一个物体在力的作用下产生的位移为，那么力所做的功，其中是和的夹角。功是力在位移方向上的分量与位移大小的乘积，F和S在物理中叫矢量，W叫标量，在数学中，我们把F和S叫做向量，W其实就是一个数量。从中我们得到一个启发：能否将功看成是两个“向量相乘”的一种运算的结果？从而得出平面向量的“数量积”的概念。 前面我们学习了向量的线性运算，那么向量的线性运算包含了那些运算？这些运算的结果是什么？生：向量的加法、减法及数乘运算。这些运算的结果都是向量。 明白新旧知识的联系性。以疑惑的方式提出问题，一下子引入课题，给学生一种冲击，激起学生的求知欲和学习兴趣。以物理问题为背景，初步认识向量的数量积，为引入向量的数量积的概念做铺垫。
师生探究,构建新知 定义向量数量积。弄清定义中涉及哪些量？它们有怎样的关系？运算结果是向量还是数量？已知两个非零向量与，把数量叫做与的数量积（或内积），记作：，即（其中是与的夹角）。定义说明：①规定：零向量与任何向量的数量积为零。②记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“ ”代替。如何确定两个非零向量的数量积的符号，什么情况下值为零？数量积运算结果的符号取决于与的夹角（）的大小 仿照物理问题建构“数学模型”。引入“向量数量积”的概念 线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 学生讨论，并完成下表：θ的范围·的符号00≤θ<900 θ=900 900<θ≤1800 认识向量的数量积的实际背景。使学生在形式上认识数量积的定义。　　 引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义。　
向量投影的概念：我们把叫做向量在方向上（在方向上）的投影。数量积的几何意义：数量积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积。①、 ②、③、 ④、 数量积的几何意义是什么？数量积·等于的长度与在的方向上的投影的乘积。 学生自主完成，师根据学生解答情况点评：①20； ②0；③－20； ④－10。 这里将数量积的几何意义提前，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有了更加充分的认识。 通过学生自主完成，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；同时也为数量积的性质埋下伏笔。
数量积的性质：设和都是非零向量，则1、⊥·=0 2、当与同向时，；当与反向时， 特别地，或 3、练习：判断下列说法是否正确 尝试将例1中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ 得到数量积的性质1、2 比较与的大小，你有什么结论？得到数量积的性质3 学生尝试练习，师根据学生解答情况点评：1、正确； 2、错误；3、错误； 4、错误。第4题的解答（反例：当时，有。但不能得到）。结合实数，有进行类比、辩析。 将例1的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。通过尝试练习，巩固对数量积的性质的理解。
回顾实数运算中有关乘法的运算律。类比数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，需要研究。已知向量、、和实数，则 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量的数量积运算是否也适用？答:①交换律：ab=ba ②结合律：(ab)c=a(bc)③分配律：(a+b)c=ac+bc猜想：①·= ·②（·）= (·)③④分析猜想： ①的正确性是显而易见的。②的正确性与否？请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量共线的向量，而右边则是与向量共线的向量，显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。学生活动：证明运算律2（猜想③）在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当λ<0时，向量与λ，与λ的方向的关系如何？此时，向量λ与及与λ的夹角与向量与的夹角相等吗？师生活动：证明运算律（3）（猜想④） 要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律。通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同，看到数学的法则与法则间的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性。 学会利用定义证明运算律（1）(2)，运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成。
例题剖析，巩固新知 课本第105页例2　对任意向量，是否有以下结论：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+)·(-)= 2—2课本第105页例3　已知=6，=4, 与的夹角为600，求（+2）·（-3）。课本第105页例4　已知=3，=4, 且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直？ 　　例2学生独立完成。 例3师生共同完成，并思考此运算过程类似于哪种实数运算？ 例4师生共同完成，并讨论：通过本题，你有什么体会？ 通过计算巩固对定义的理解。让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与数运算的异同。学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题代数化的解题思想，体现向量的工具性。
尝试练习，体验成功 1、课本第106页练习2、32、思考题：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角 加强学生的练习。通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握。
归纳总结，升华提高 小结： 1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量的数量积有哪些应用？3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？ 　　4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？ 让学生回顾总结本节课的学习内容及探究、解决问题的方法。师生共同归纳总结。 通过师生共同总结，加强了学生对概念法则的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白了为什么要学这些内容，学了这些内容可以做什么，这对以后的学习有什么指导意义。
作业布置，任务后延 布置作业： 1、课本P108习题2.4A组1、2、3。2、拓展与提高：已知与都是非零向量，且+3 与7 -5垂直，-4与 7-2垂直，求与的夹角。（本题供学有余力的同学选做） 通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的。