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北师版数学七年级下册1.6.1认识完全平方公式导学案
课题
1.6.1认识完全平方公式
单元
第一单元
学科
数学
年级
七
学习目标
1.经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的计算，进一步发展符号感和推理能力。2.通过创设问题情境，在数学活动中建立平方差公式模型，感受数学公式的意义和作用.在平方差公式的推导过程中，培养观察、发现、归纳、概括、猜想能力和有条理的表达能力。3.在探究学习中体会数学的现实意义，培养学习数学的信心。
重点
平方差公式的推导和应用。
难点
灵活运用平方差公式解决实际问题。
教学过程
课前预学
平方差公式：___________________________________________________________应用平方差公式的注意事项：对于一般两个二项式的积，看准有无相_______________和_______________；把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式.在解题过程中要准确确定___和___，对照公式原型的两边，做到不弄错符号.利用多项式乘多项式计算下面两个式子.(m+3)2
（2）（2+3x）2你有什么发现？
新知讲解
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加
b
米。形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图)。你能用式子表示出实验田的总面积吗？__________________________________________________你能写出每一块土地的面积吗？__________________________________________________这块土地的总面积：___________________________________________________________________________两种方法所求得的总面积是相等的，于是我们得到了：________________________________________________________________观察算式及其运算结果，你有什么发现？算式左边是___________________________；右边是___________________________.【归纳】(a+b)2
=_______________.__________的平方等于这两数的__________加上这__________的2倍。再举两例验证你的发现.【思考】两数差的完全平方公式是什么？_______________________________________（1）你能用多项式的乘法法则来说明这个公式成立吗？（2）小米写出了如下的算式：(a-b)2=[a+(-b)]2，她是怎么想的？你能继续做下去吗？总结：两数差的平方等于_____________________________________________。(a-b)2
=________________________【思考】你能设计一个图形解释这个公式吗?【总结归纳】(a+b)2=a2+2ab+b2(a
-b)2=a2－2ab+b21.结构特征：______________________________________________________________________________________________________________________________2.语言表述：________________________________________________________________________________________________________________________【例】计算：(1)
(2x－3)2
；
(2)
(4x+5y)2；
(3)
(mn－a)2
课堂练习
1.下列变形中，错误的是( ).①(b－4c)2＝b2－16c2；②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④2.化简(x－3)2－x(x－6)的结果为( ).A.
6x－9
B.
－12x＋9
C.
9
D.
3x＋93.若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为( )A．2ab
B．－2ab
C．4ab
D．－4ab4.计算5.
若x＋y＝10，xy＝1，求x3y＋xy3的值．6.【2020·连云港】下列计算正确的是( )A．2x＋3y＝5xy
B．(x＋1)(x－2)＝x2－x－2C．a2·a3＝a6
D．(a－2)2＝a2－47.【2020·常州】化简求值（1）(x＋1)2－x(x＋1)，其中x＝2.（2）(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0.答案：1.A
2.C
3.C4.（1）
（2）
（3）5.解：原式＝xy(x2＋y2)
＝xy[(x＋y)2－2xy]
＝1×(100－2)
＝98.6.B
7.（1）解：原式＝x2＋2x＋1－x2－x＝x＋1.当x＝2时，原式＝2＋1＝3.（2）解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x.因为x2－3x－1＝0，所以x2－3x＝1.所以原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2.
课堂小结
本节课你学到了什么?完全平方公式：(a±b)2=
a2
±2ab+b2两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍。注意：在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
板书
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北师版
初中数学
1.6
完全平方公式
第1课时
认识完全平方公式
新知导入
平方差公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2
应用平方差公式的注意事项：
对于一般两个二项式的积，看准有无相等的“项”和符号相反的“项”；把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式.在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原型的两边，做到不弄错符号.
新知导入
利用多项式乘多项式计算下面两个式子。
=(m+3)(m+3)
=m2+3m+3m+9
=m2+2×3m+9
=m2+6m+9
=(2+3x)(2+3x)
=4+2×3x+2×3x+9x2
=4+2×2×3x+9x2
=4+12x+9x2
（1）(m+3)2
（2）（2+3x）2
你有什么发现？
新知讲解
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加
b
米。形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图)。
a
a
b
b
你能用式子表示出实验田的总面积吗？
（a+b)2
新知讲解
a
a
b
b
你能写出每一块土地的面积吗？
a2
ab
ab
b2
这块土地的总面积：
a2+b2+ab+ab
两种方法所求得的总面积是相等的，于是我们得到了：
(a+b)2
=a2+2ab+b2.
新知讲解
观察算式及其运算结果，你有什么发现？
（1）（m+3）2
（2）（2+3x）2
=m2+6m+9
=4+12x+9x2
一个二项式（两数和）的平方
两数的平方和加上这两数乘积的2倍
（3）（a+b）2
=a2+2ab+b2.
新知讲解
两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数积的2倍。
【总结】
你能再举两个例子吗？
(a+b)2
=
a2+2ab+b2.
新知讲解
【思考】两数差的完全平方公式是什么？
(a-b)2
=
a2-2ab+b2.
（1）你能用多项式的乘法法则来说明这个公式成立吗？
(a－b)
2
=（a-b）（a-b）
=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2
新知讲解
【思考】两数差的完全平方公式是什么？
(a-b)2
=
a2-2ab+b2.
（2）小米写出了如下的算式：(a-b)2=[a+(-b)]2，她是怎么想的？你能继续做下去吗？
(a?b)2
=[a+(?b)]2
=a2+2a(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
新知讲解
两数差的平方等于这两数的平方和减去这两数积的2倍。
【总结】
你能再举两个例子吗？
(a-b)2
=
a2-2ab+b2.
新知讲解
【思考】你能设计一个图形解释这个公式吗?
(a-b)2
=
a2-2ab+b2.
a-b
b
a
b
a
a-b
(a-b)2
b2
b(a-b)
b(a-b)
你能解释这个图形吗？
新知讲解
【总结归纳】
完全平方公式：
(a+b)
2=a2+2ab+b2
(a
-b)
2=a2－2ab+b2
1.结构特征：左边是二项式（两数和或差）的平方；
右边是两数的平方和加（或减）这两数乘积的2倍.
2.语言表述：两数和（或差）的平方等于这两数的平方和加（或减）这两数乘积的2倍.
新知讲解
【例】计算：
(1)
(2x－3)2
(2)
(4x+5y)2
(3)
(mn－a)2
=
(2x)2－2·2x·3+32
=
4x2－12x
+
9；
=
(4x)2
+2·4x·5y+
(5y)2
=
16x2
+40xy+
25y2
；
=
(mn)2－2·mn·a+a2
=
m2n2－2amn+a2.
课堂练习
1.下列变形中，错误的是( ).
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
A
课堂练习
2.化简(x－3)2－x(x－6)的结果为( ).
A.
6x－9
B.
－12x＋9
C.
9
D.
3x＋9
C
课堂练习
3.若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为( )
A．2ab
B．－2ab
C．4ab
D．－4ab
C
课堂练习
4.计算
拓展提高
5.
若x＋y＝10，xy＝1，求x3y＋xy3的值．
解：原式＝xy(x2＋y2)
＝xy[(x＋y)2－2xy]
＝1×(100－2)
＝98.
中考链接
6.【2020·连云港】下列计算正确的是( )
A．2x＋3y＝5xy
B．(x＋1)(x－2)＝x2－x－2
C．a2·a3＝a6
D．(a－2)2＝a2－4
B
中考链接
7.【2020·常州】化简求值
（1）(x＋1)2－x(x＋1)，其中x＝2.
解：原式＝x2＋2x＋1－x2－x＝x＋1.
当x＝2时，原式＝2＋1＝3.
（2）(x－1)(3x＋1)－(x＋2)2＋5，其中x2－3x－1＝0.
解：原式＝3x2＋x－3x－1－x2－4x－4＋5＝2x2－6x.
因为x2－3x－1＝0，所以x2－3x＝1.
所以原式＝2(x2－3x)＝2×1＝2.
课堂总结
本节课你学到了什么？
完全平方公式：(a±b)2=
a2
±2ab+b2
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。
注意：在解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边,
做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
板书设计
课题：1.6.1
认识完全平方公式
?
?
教师板演区
?
学生展示区
一、(a±b)2＝a2±2ab＋b2
二、几何意义
三、利用完全平方公式
计算
作业布置
课本
P24
练习题
P26
习题1.11
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