5.2.3 简单复合函数的导数 教案-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
5.2.3
简单复合函数的导数
教案
一、教学目标
1.
理解复合函数的概念；
2.
能求简单复合函数的导数.
二、教学重难点
1.
教学重点
复合函数导数的求法.
2.
教学难点
求复合函数的导数.
三、教学过程
（一）新课导入
问题：求函数的导数.
我们发现，函数不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，所以无法用之前学的方法求它的导数.先来分析这个函数的结构特点.
（二）探索新知
若设，则.从而可以看成是由和
经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数.
如果把与的关系记作，与的关系记作，那么这个“复合”过程可表示为.
一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作.
那么如何求复合函数的导数呢？以为例来研究.
以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数.
可以发现，.
结论：一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数，的导数间的关系为.即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.
例1
求下列函数的导数：
（1）；（2）；（3）.
解：（1）函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有.
（2）函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有.
（3）函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有.
例2
某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的关系为.求函数在时的导数，并解释它的实际意义.
解：函数可以看作函数和的复合函数，根据复合函数的求导法则，有
.
当时，.
它表示当时，弹簧振子振动的瞬时速度为.
（三）课堂练习
1.函数的导数为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由题意结合导数的运算法则可得.故选B.
2.曲线在点处的切线的斜率等于(
)
A.
B.
C.2
D.1
答案：C
解析：，故曲线在点处的切线斜率为.故选C.
3.若函数，则等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：由题意得，.故选B.
4.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是_____________.
答案：
解析：设..
曲线在点处的切线的斜率，
，
点的坐标为.
5.已知函数，且，求实数的值.
解析：，
由，
解得.
小结作业
小结：求简单复合函数的导数.
作业：
四、板书设计
5.2.3
简单复合函数的导数
1.
复合函数的定义；
2.
求简单复合函数的导数.