5.3.2函数的极值与最大（小）值 教案-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 5.3.2函数的极值与最大（小）值 教案-2020-2021学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 14.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-09 21:34:31 | ||
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文档简介
高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册5.3.2函数的极值与最大（小）值
教案
一、教学目标
1.
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2.
能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值；
3.
体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.
二、教学重难点
1.
教学重点
利用导数求函数的极值、最值.
2.
教学难点
含参问题、恒成立问题、用导数解决函数与方程问题.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
（二）探索新知
1.
函数的极值
问题2
观察图（1），当时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？
图（1）
图（2）
放大附近函数的图象，如图（2）.可以看出，；在的附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）.这样，当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.
对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？
问题3
如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？
以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.
我们把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
例1
求函数的极值.
解：因为，所以.
令，解得或.
当x变化时，，的变化情况如表所示.
x
2
＋
0
－
0
＋
单调递增
单调递减
单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.
问题4
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论，还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
一般地，可按如下方法求函数的极值：
解方程，当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.
2.
函数的最大（小）值
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值.
下图是函数，的图象.由图象可知，是函数的极小值，是函数的极大值.
问题5
找出函数在区间上的最小值和最大值.
由上图可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是.
问题6
在下图中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
结合上图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
例2
求函数在区间上的最大值与最小值.
解：由例1可知，在区间上，当时，函数有极小值，并且极小值为.
又由于，
所以函数在区间上的最大值是4，最小值是.
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
例3
给定函数.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程的解的个数.
解：（1）函数的定义域为.
.
令，解得.
，的变化情况如表所示.
x
－
0
＋
单调递减
单调递增
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，有极小值.
（2）令，解得.
当时，；当时，.
所以的图象经过特殊点.
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；
当时，，.
根据以上信息，画出的大致图象如图所示.
（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.
由（1）及上图可得，当时，有最小值.
所以关于方程的解的个数有如下结论：
当时，解为0个；
当或时，解为1个；
当时，解为2个.
由例3可见，函数的图象直观地反映了函数的性质.通常，可以按如下步骤画出函数的大致图象：
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数及函数的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；
（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出的大致图象.
（三）课堂练习
1.设函数，则(
)
A.的极大值点在内
B.的极大值点在内
C.的极小值点在内
D.的极小值点在内
答案：A
解析：依题意，令，解得.当或时，，当时，，故函数在时取得极大值，在时取得极小值.故选A.
2.函数在上的最小值为(
)
A.
B.
C.0
D.
答案：B
解析：由，
得.
解，得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
又，
所以在上的最小值为.故选B.
3.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：，
，
函数既存在极大值，又存在极小值，
导函数有两个不相等的变号零点，
，即，解得或.
实数的取值范围是.故选B.
4.已知(为常数)在上有最大值4，那么此函数在上的最小值为_________________.
答案：
解析：因为，所以，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值4，即，解得.
所以，
所以，
可得当时，函数取得最小值.
5.已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的最大值和最小值.
答案：（1）.
由，得或；
由，得.
因此，函数在上的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）在处取得极大值，极大值为；
在处取得极小值，极小值为.
又，且，
所以在上的最大值为，
最小值为.
（四）小结作业
小结：
函数的极值；
函数的最值
作业：
四、板书设计
5.3.2
函数的极值与最大（小）值
1.
极值的定义；
2.
求函数极值的方法；
3.
求函数在区间上的最大值与最小值的步骤；
4.
画函数大致图象的方法.
教案
一、教学目标
1.
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2.
能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值；
3.
体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.
二、教学重难点
1.
教学重点
利用导数求函数的极值、最值.
2.
教学难点
含参问题、恒成立问题、用导数解决函数与方程问题.
三、教学过程
（一）新课导入
问题1
在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
（二）探索新知
1.
函数的极值
问题2
观察图（1），当时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？
图（1）
图（2）
放大附近函数的图象，如图（2）.可以看出，；在的附近，当时，函数单调递增，；当时，函数单调递减，.这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）.这样，当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.
对于一般的函数，是否也有同样的性质呢？
问题3
如图，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？
以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.
我们把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
例1
求函数的极值.
解：因为，所以.
令，解得或.
当x变化时，，的变化情况如表所示.
x
2
＋
0
－
0
＋
单调递增
单调递减
单调递增
因此，当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为.
问题4
导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论，还是，恒有，即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.一般地，函数在一点的导数值为0是函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件.
一般地，可按如下方法求函数的极值：
解方程，当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.
2.
函数的最大（小）值
极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质.也就是说，如果是函数的极大（小）值点，那么在附近找不到比更大（小）的值.但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.如果是某个区间上函数的最大（小）值点，那么不小（大）于函数在此区间上的所有函数值.
下图是函数，的图象.由图象可知，是函数的极小值，是函数的极大值.
问题5
找出函数在区间上的最小值和最大值.
由上图可以看出，函数在区间上的最小值是，最大值是.
问题6
在下图中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
结合上图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
例2
求函数在区间上的最大值与最小值.
解：由例1可知，在区间上，当时，函数有极小值，并且极小值为.
又由于，
所以函数在区间上的最大值是4，最小值是.
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
例3
给定函数.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）画出函数的大致图象；
（3）求出方程的解的个数.
解：（1）函数的定义域为.
.
令，解得.
，的变化情况如表所示.
x
－
0
＋
单调递减
单调递增
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
当时，有极小值.
（2）令，解得.
当时，；当时，.
所以的图象经过特殊点.
当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而；
当时，，.
根据以上信息，画出的大致图象如图所示.
（3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.
由（1）及上图可得，当时，有最小值.
所以关于方程的解的个数有如下结论：
当时，解为0个；
当或时，解为1个；
当时，解为2个.
由例3可见，函数的图象直观地反映了函数的性质.通常，可以按如下步骤画出函数的大致图象：
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数及函数的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；
（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出的大致图象.
（三）课堂练习
1.设函数，则(
)
A.的极大值点在内
B.的极大值点在内
C.的极小值点在内
D.的极小值点在内
答案：A
解析：依题意，令，解得.当或时，，当时，，故函数在时取得极大值，在时取得极小值.故选A.
2.函数在上的最小值为(
)
A.
B.
C.0
D.
答案：B
解析：由，
得.
解，得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
又，
所以在上的最小值为.故选B.
3.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：，
，
函数既存在极大值，又存在极小值，
导函数有两个不相等的变号零点，
，即，解得或.
实数的取值范围是.故选B.
4.已知(为常数)在上有最大值4，那么此函数在上的最小值为_________________.
答案：
解析：因为，所以，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值4，即，解得.
所以，
所以，
可得当时，函数取得最小值.
5.已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的最大值和最小值.
答案：（1）.
由，得或；
由，得.
因此，函数在上的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）在处取得极大值，极大值为；
在处取得极小值，极小值为.
又，且，
所以在上的最大值为，
最小值为.
（四）小结作业
小结：
函数的极值；
函数的最值
作业：
四、板书设计
5.3.2
函数的极值与最大（小）值
1.
极值的定义；
2.
求函数极值的方法；
3.
求函数在区间上的最大值与最小值的步骤；
4.
画函数大致图象的方法.