安徽省名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考文科数学试题 扫描版含答案解析

２ ０ ２ ０ — ２ ０ ２ １ 学 年 第 二 学 期 期 末 考 试
高 二 文 科 数 学 参 考 答 案
１ ． 【 答 案 】 　 Ｄ
【 解 析 】 　 由 题 意 可 知 ， 瓓 Ｕ Ａ ＝ {ｙ ｙ ≥ － ２ ， ｙ ∈ Ｚ }， 所 以 选 Ｄ ．
２ ． 【 答 案 】 　 Ａ
－ ３ ＋ ２ ｉ ｉ (２ ＋ ３ ｉ )
【 解 析 】 　 因 为 (２ ＋ ３ ｉ )ｚ ＝ － ３ ＋ ２ ｉ ， 所 以 ｚ ＝ ＝ ＝ ｉ ．
２ ＋ ３ ｉ ２ ＋ ３ ｉ
３ ． 【 答 案 】 　 Ａ
２
ｘ
【 解 析 】 　 ｆ (ｘ ) ＝ ｘ 为 偶 函 数 ， 图 像 关 于 ｙ 轴 对 称 ， 所 以 排 除 Ｄ ， 又 ｆ (２ ) ＝ １ ， 排 除 Ｂ ， Ｃ ， 所 以 选 Ａ ．
２
４ ． 【 答 案 】 　 Ｂ
【 解 析 】 　 补 成 如 下 的 ２ × ２ 列 联 表 ：
中 小 虾 大 虾 合 计
白 色 ４ ０ １ ５ ５ ５
灰 色 ２ ０ ２ ５ ４ ５
合 计 ６ ０ ４ ０ １ ０ ０
２
２ １ ０ ０ × （ ４ ０ × ２ ５ － ２ ０ × １ ５ ）
所 以 Ｋ ＝ ≈ ８ ． ２ ４ ９ ≥ ７ ． ８ ７ ９ ， 所 以 我 们 认 为 大 虾 与 其 颜 色 有 关 的 概 率 至 少 为
６ ０ × ４ ０ × ４ ５ × ５ ５
９ ９ ． ５ ％ 。
５ ． 【 答 案 】 　 Ｂ
２
【 解 析 】 　 最 后 输 出 的 结 果 为 １ × １ × ２ × ２ ＝ ８ ．
６ ． 【 答 案 】 　 Ｃ
２ ２
ｘ ２ ｘ ｘ ２
【 解 析 】 　 双 曲 线 ２ － ｙ ＝ １ 的 渐 近 线 方 程 为 ｙ ＝ ± ， 因 为 点 Ｐ （ １ ， ２ ） 在 双 曲 线 ２ － ｙ ＝ １ 的 一 条 渐 近
ａ ａ ａ
２
１ ＋ １
１ １ ｃ ( ２ )
线 上 ， 所 以 ２ ＝ ， 所 以 ａ ＝ ， 所 以 它 的 离 心 率 为 ＝ 槡 ＝ ５ ．
ａ ２ ａ １ 槡
２
７ ． 【 答 案 】 　 Ａ
【 解 析 】 　 如 图 ， 在 Ａ Ｄ 上 取 Ｇ 点 ， 使 得 Ａ Ｇ ＝ Ｇ Ｅ ＝ Ｅ Ｄ ， 在 Ｂ Ｃ 上 由 左 到 右 取 Ｋ ， Ｈ ， 使 得 Ｂ Ｋ ＝ Ｋ Ｈ ＝ Ｈ Ｃ ， 连
１ １ Ｄ Ｂ
接 Ａ Ｋ ， Ｇ Ｈ ， 则 Ａ Ｋ ∥ Ｇ Ｈ ∥ Ｅ Ｃ ， 因 为 Ｄ Ｅ ∥ Ｂ Ｃ 且 Ｄ Ｅ ＝ Ｂ Ｃ ， 所 以 Ｄ Ｆ ＝ Ｄ Ｂ （ 相 似 比 ） ， 所 以 Ｄ Ｆ ＝ ， 所
３ ４ ４
??→ ??→ ?? → １ ３ １
以 Ａ Ｆ ＝ Ａ Ｄ ＋ Ｄ Ｆ ＝ － ａ ＋ (ａ － ｂ ) ＝ － ａ － ｂ ．
４ ４ ４
２ ０ ２ ０ — ２ ０ ２ １ 学 年 第 二 学 期 期 末 考 试 · 高 二 文 科 数 学 参 考 答 案 　 第 　　　　１ 页 （ 共 ６ 页 ）
书书书
８ ． 【 答 案 】 　 Ｄ
【 解 析 】 　 设 圆 弧 所 在 圆 的 圆 心 为 Ｅ ， 因 为 矩 形 的 长 和 宽 分 别 为 ２
槡 ３ 和 １ ， 所 以 Ｏ Ｃ ＝ ２
槡 ３ ， 拱 高 为 １ ，
２
２ π π · ２ ４ π
所 以 ∠ Ｏ Ｅ Ｃ ＝ ， Ｅ Ｏ ＝ ２ ， 所 以 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 Ｓ
阴 影 ＝ － ３ ＝ － ３ ，
３ ３ 槡 ３ 槡
４ π
３ ３ ２ ３ π １
又 矩 形 Ｏ Ａ Ｂ Ｃ 的 面 积 为 ２ 槡 槡
槡 ３ ， 所 以 质 点 落 在 图 中 阴 影 部 分 的 概 率 为 － ＝ － ．
２
槡 ３ ２
槡 ３ ９ ２
９ ． 【 答 案 】 　 Ｂ
２４
ａ （ １ － １ ． １ ） １ ０ × ０ ． １ １
【 解 析 】 　 设 小 张 第 一 次 应 该 还 贷 ａ 万 元 ， 则 ＝ １ ０ ， 所 以 ａ ＝ ＝ ≈
１ － １ ． １ ２４
１ ． １ － １ ９ ． ８ ４ ９ ７ － １
０ ． １ １ ３ ０ ．
１ ０ ． 【 答 案 】 　 Ｂ
ｆ (ｘ )≤ ｍ ，
【 解 析 】 　 若 ? ｍ ∈ Ｒ ， 满 足 ： ， 则 ? ｍ ∈ Ｒ ， ｆ (ｘ )≤ ｍ ≤ ｇ (ｘ )， 所 以 ｆ (ｘ )≤ ｇ (ｘ )，
{ｇ (ｘ )≥ ｍ
所 以 是 充 分 的 ；
若 ｘ ∈ [１ ， ｅ ]， 则 ｆ (ｘ ) ＝ ｌｎ ｘ ， ｇ (ｘ ) ＝ ｌｎ ｘ ＋ １ ， 显 然 ｆ (ｘ )≤ ｇ (ｘ )，
ｆ (ｘ )≤ ｍ ，
但 不 存 在 ｍ ， 满 足 ： ， 所 以 不 是 必 要 的 ．
{ｇ (ｘ )≥ ｍ
１ １ ． 【 答 案 】 　 Ｃ
ｘ ｘ
【 解 析 】 　 ｆ (ｘ ) ＝ ｅ ＋ ｘ ， ∴ ｆ ′ (ｘ ) ＝ ｅ ＋ １ ，
设 动 点 Ｐ (ｘ ０ ， ｙ ０ )， 当 ｙ ＝ ｆ (ｘ )在 Ｐ 点 处 切 线 与 ｇ (ｘ ) ＝ ２ ｘ － ２ 平 行 ，
过 点 Ｐ 作 直 线 垂 线 ， 垂 足 为 点 Ｑ 时 ， Ｐ Ｑ 取 得 最 小 值 ， 即 为 两 平 行 直 线 间 的 距 离 ，
亦 即 点 Ｐ 到 直 线 ２ ｘ － ｙ － ２ ＝ ０ 的 距 离 是 Ｐ Ｑ 的 最 小 值 ．
ｘ － １ － ２ ３ ５
令 ｆ ′ (ｘ ０ ) ＝ ｅ ０ ＋ １ ＝ ２ ， 解 得 ｘ ０ ＝ ０ ， 故 Ｐ （ ０ ， １ ） ， 所 以 Ｐ Ｑ ｍ ｉｎ ＝ ｄ ＝ ＝ 槡 ．
槡 ５ ５
１ ２ ． 【 答 案 】 　 Ｃ
【 解 析 】 　 因 为 ｎ － ｍ 为 整 数 ，
所 以 当 ｎ 为 整 数 时 ， ｍ 也 为 整 数 ， 所 以 此 时 ［ ｍ ， ｎ ］ 覆 盖 数 轴 上 ｎ － ｍ ＋ １ 个 整 数 ，
当 ｎ 不 是 整 数 时 ， ｍ 也 不 是 整 数 ， 所 以 此 时 ［ ｍ ， ｎ ］ 数 轴 上 覆 盖
ｎ － ｍ 个 整 数 ，
可 以 验 证 ： 区 间 [ｍ ， ｎ ]覆 盖 数 轴 上 整 数 的 个 数 为 (ｎ － ｍ ＋ １ )
－ ｓ ｇ ｎ (ｎ － ｉｎ ｔ (ｎ ))， 所 以 选 Ｃ ．
１ ３ ． 【 答 案 】 　 ０
【 解 析 】 　 ｓ ｉｎ １ １ ７ ° ＋ ｓ ｉｎ ２ ４ ３ ° ＝ ｃ ｏ ｓ ２ ７ ° ＋ ( － ｃ ｏ ｓ ２ ７ ° ) ＝ ０ ．
１ １
１ ４ ． 【 答 案 】 　 ３
ｙ ≤ ｘ ＋ １ ， １ １
【 解 析 】 　 作 出 不 等 式 组 ｙ ≥ － ｘ － １ ， ｚ ＝ ｘ ＋ ｙ ? ｙ ＝ － ｘ ＋ ｚ
３ ３
{
ｙ ≥ ２ ｘ － １ ，
所 对 应 的 可 行 域 如 图 ， 其 中 Ｃ （ ２ ， ３ ） ， 当 且 仅 当 动 直 线 过 点 Ｃ （ ２ ，
１ １
３ ） 时 ， 则 ｚ 的 最 大 值 为 ．
３
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１ ５ ． 【 答 案 】 　 ２
【 解 析 】 　 因 为 点 （ ２ ， １ ） 在 渐 近 线 上 ， 所 以 这 样 的 不 同 直 线 ｌ 的 条 数 为 ２ ， 一 条 与 渐 近 线 平 行 ， 另 外 一
条 （ 此 时 斜 率 不 存 在 ） 与 双 曲 线 相 切 ．
１ ６ ． 【 答 案 】 　 ３ π
π ２ π
【 解 析 】 　 因 为 ∠ Ｂ Ａ Ｄ ＝ ， ∠ Ｂ Ｃ Ｄ ＝ ， 所 以 Ａ ＋ Ｃ ＝ π ，
３ ３
即 四 边 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 四 点 共 圆 ，
四 棱 锥 Ｐ － Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的 外 接 球 与 三 棱 锥 Ｐ － Ａ Ｂ Ｄ 的 外 接 球 为 同 一 个 ，
π
又 Ｐ Ａ ＝ Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｄ ＝
槡 ２ ， ∠ Ｐ Ａ Ｂ ＝ ∠ Ｐ Ａ Ｄ ＝ ∠ Ｂ Ａ Ｄ ＝ ，
３
所 以 三 棱 锥 Ｐ － Ａ Ｂ Ｄ 为 正 四 面 体 ，
如 图 ， 构 造 棱 长 为 １ 的 正 方 体 ， 正 四 面 体 的 外 接 球 即 为 正 方 体 的 外 接 球 ，
３
易 求 得 外 接 球 半 径 Ｒ ＝ 槡 ， 所 以 外 接 球 表 面 积 Ｓ ＝ ３ π ．
２
１ ７ ． 【 解 析 】 　 （ １ ） 设 公 差 为 ｄ ，
因 为 ａ １ ， ａ ３ 分 别 为 复 数 ｚ ＝ ２ ＋ ８ ｉ 的 实 部 与 虚 部 ，
所 以 ａ １ ＝ ２ ， ａ ３ ＝ ８ ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ２ 分 ） ，
所 以 ２ ｄ ＝ ８ － ２ ， 所 以 ｄ ＝ ３ ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ３ 分 ）
所 以 ａ ｎ ＝ ａ １ ＋ (ｎ － １ )ｄ ＝ ２ ＋ ３ (ｎ － １ ) ＝ ３ ｎ － １ ，
即 {ａ ｎ }的 通 项 公 式 为 ａ ｎ ＝ ３ ｎ － １ ；
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ５ 分 ）
３ １ １
（ ２ ） ｂ ｎ ＝ ＝ － ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ７ 分 ）
ａ ｎ ａ ｎ ＋ １ ａ ｎ ａ ｎ ＋ １
所 以 Ｓ ｎ ＝ ｂ １ ＋ ｂ ２ ＋ … ＋ ｂ ｎ
１ １ １ １ １ １
＝ － ＋ － ＋ … ＋ －
(ａ １ ａ ２ ) (ａ ２ ａ ３ ) (ａ ｎ ａ ｎ ＋ １ )
１ １ １ １ ３ ｎ
＝ － ＝ － ＝ ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ １ ０ 分 ）
ａ １ ａ ｎ ＋ １ ２ ３ ｎ ＋ ２ ６ ｎ ＋ ４
Ａ π π
１ ８ ． 【 解 析 】 　 （ １ ） 因 为 ｓ ｉｎ ∠ Ｂ Ｄ Ａ ＝ ｓ ｉｎ π － － Ｂ ＝ ｓ ｉｎ ＋
( ２ ) ( ３ ４ )
π π π π ６ ＋ ２
＝ ｓ ｉｎ ｃ ｏ ｓ ＋ ｃ ｏ ｓ ｓ ｉｎ ＝ 槡 槡 ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ２ 分 ）
３ ４ ３ ４ ４
Ａ Ｄ ｃ
在 三 角 形 Ａ Ｂ Ｄ 中 ， 由 正 弦 定 理 得 ， ＝ ，
!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ４ 分 ）
ｓ ｉｎ Ｂ ｓ ｉｎ ∠ Ｂ Ｄ Ａ
π
因 为 ｃ ＝ ２ ， Ｂ ＝ ，
４
２
２ · 槡
ｃ · ｓ ｉｎ Ｂ ２
所 以 Ａ Ｄ ＝ ＝ ＝ ２ ( ３ － １ )；
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ６ 分 ）
ｓ ｉｎ ∠ Ｂ Ｄ Ａ 槡
槡 ６ ＋
槡 ２
４
２
（ ２ ） 因 为 ｂ ， ｃ 为 函 数 ｙ ＝ ｘ －
槡 １ ０ ｘ ＋ １ 的 两 个 不 同 的 零 点 ，
所 以 ｂ ＋ ｃ ＝
槡 １ ０ ， ｂ ｃ ＝ １ ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ８ 分 ）
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在 三 角 形 Ａ Ｂ Ｃ 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ，
２ ２ ２
ａ ＝ 槡 ｂ ＋ ｃ － ２ ｂ ｃ ｃ ｏ ｓ Ａ ＝ 槡 (ｂ ＋ ｃ ) － ２ ｂ ｃ (１ ＋ ｃ ｏ ｓ Ａ ) ＝ ３ ，
!!!!!!!!!!!!!!! （ １ ０ 分 ）
设 Ｂ Ｃ 边 上 的 高 为 ｈ ，
１ １ １ １
因 为 Ｓ △ Ａ Ｂ Ｃ ＝ ａ ｈ ， Ｓ △ Ａ Ｂ Ｃ ＝ ｂ ｃ ｓ ｉｎ Ａ ， 所 以 ａ ｈ ＝ ｂ ｃ ｓ ｉｎ Ａ ，
２ ２ ２ ２
槡 ３
ｂ ｃ ｓ ｉｎ Ａ ２ ３
所 以 ｈ ＝ ＝ ＝ 槡 ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ １ ２ 分 ）
ａ ３ ６
１ ９ ． 【 解 析 】 　 （ １ ） 投 资 项 目 Ａ 的 平 均 利 润 率 为 １ ０ ％ × ５ ０ ％ ＋ ５ ％ × ４ ０ ％ － ５ ％ × １ ０ ％ ＝ ０ ． ０ ６ ５ ，
投 资 项 目 Ｂ 的 平 均 利 润 率 为 １ ０ ％ × ４ ０ ％ ＋ ５ ％ ｘ － ５ ％ ｙ ＝ １ ０ ％ × ４ ０ ％ ＋ ５ ％ ［ ｘ － （ ６ ０ ％ － ｘ ） ］
＝ １ ０ ％ × ４ ０ ％ ＋ ５ ％ （ ２ ｘ － ６ ０ ％ ） ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ２ 分 ）
因 为 投 资 Ａ ， Ｂ 这 两 个 项 目 的 平 均 利 润 率 相 同 ，
所 以 １ ０ ％ × ４ ０ ％ ＋ ５ ％ （ ２ ｘ － ６ ０ ％ ） ＝ ０ ． ０ ６ ５ ，
解 得 ｘ ＝ ０ ． ５ ５ ， ｙ ＝ ０ ． ０ ５ ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ４ 分 ）
所 以 投 资 Ａ 项 目 不 亏 损 的 概 率 为 ５ ０ ％ ＋ ４ ０ ％ ＝ ９ ０ ％ ，
投 资 Ｂ 项 目 不 亏 损 的 概 率 为 ４ ０ ％ ＋ ５ ５ ％ ＝ ９ ５ ％ ；
!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ６ 分 ）
（ ２ ） 考 察 角 度 一 ：
由 （ １ ） 得 ， 投 资 Ｂ 项 目 不 亏 损 的 概 率 比 较 大 ， 故 建 议 投 资 Ｂ 项 目 ．
!!!!!!!!!!! （ ８ 分 ）
考 察 角 度 二 ：
２ ２ ２
投 资 Ａ 项 目 利 润 率 的 方 差 为 （ １ ０ ％ － ６ ． ５ ％ ） × ５ ０ ％ ＋ （ ５ ％ － ６ ． ５ ％ ） × ４ ０ ％ ＋ （ － ５ ％ － ６ ． ５ ％ ） ×
－ ３
１ ０ ％ ＝ ２ ． ０ ２ ５ × １ ０ ，
２ ２ ２
投 资 Ｂ 项 目 利 润 率 的 方 差 为 （ １ ０ ％ － ６ ． ５ ％ ） × ４ ０ ％ ＋ （ ５ ％ － ６ ． ５ ％ ） × ５ ５ ％ ＋ （ － ５ ％ － ６ ． ５ ％ ） ×
－ ３
５ ％ ＝ １ ． ２ ７ ５ × １ ０ ，
所 以 投 资 Ａ 项 目 利 润 率 的 方 差 大 于 投 资 Ｂ 项 目 利 润 率 的 方 差 ，
即 投 资 Ｂ 项 目 的 利 润 比 较 稳 定 ， 为 此 建 议 投 资 Ｂ 项 目 ．
!!!!!!!!!!!!!!! （ １ ２ 分 ）
２ ０ ． 【 解 析 】 　 （ １ ） 延 长 Ｂ Ａ 、 Ｃ Ｄ 交 于 一 点 Ｒ ，
因 为 Ａ Ｄ ∥ Ｂ Ｃ ， Ｂ Ｃ ＝ ２ Ａ Ｄ ＝ ２ Ａ Ｂ ＝ ２ Ｄ Ｃ ＝ ２ ａ ，
所 以 △ Ｒ Ｂ Ｃ 为 正 三 角 形 ， 且 Ａ Ｄ 为 三 角 形 Ｒ Ｂ Ｃ 的 中 位 线 ， 即 Ａ 为 Ｂ Ｒ 边 的 中 点 ，
所 以 Ｃ Ａ ⊥ Ｂ Ａ ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ １ 分 ）
因 为 Ｐ Ａ ⊥ 底 面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ， Ａ Ｃ ? 平 面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ， 所 以 Ｐ Ａ ⊥ Ａ Ｃ ，
!!!!!!!!!!!!!!!! （ ３ 分 ）
因 为 Ａ Ｂ ∩ Ｐ Ａ ＝ Ａ ， 所 以 Ａ Ｃ ⊥ 平 面 Ｐ Ａ Ｂ ， Ｐ Ｂ ? 平 面 Ｐ Ａ Ｂ ，
所 以 Ａ Ｃ ⊥ Ｐ Ｂ ；
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ５ 分 ）
（ ２ ） 三 棱 锥 Ｃ － Ｐ Ｏ Ｂ 即 三 棱 锥 Ｐ － Ｏ Ｂ Ｃ ．
Ｄ Ｏ Ａ Ｄ １
因 为 Ａ Ｄ ∥ Ｂ Ｃ ， 所 以 ＝ ＝ ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ７ 分 ）
Ｏ Ｂ Ｂ Ｃ ２
１ ２ ３ ３
由 （ １ ） 得 ， Ｓ △ Ｂ Ｏ Ｃ ＝ × ２ × × 槡 ＝ 槡 ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ９ 分 ）
２ ３ ２ ３
因 为 Ｐ Ａ ⊥ 底 面 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ， Ｐ Ａ ＝ １ ， １ ３ ３
所 以 三 棱 锥 Ｃ － Ｐ Ｏ Ｂ 的 体 积 即 三 棱 锥 Ｐ － Ｏ Ｂ Ｃ 的 体 积 Ｖ Ｐ － Ｏ Ｂ Ｃ ＝ × 槡 × １ ＝ 槡 ．
!!!! （ １ ２ 分 ）
３ ３ ９
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ｘ
ｅ
２ １ ． 【 解 析 】 　 函 数 ｆ (ｘ ) ＝ ａ － ｌｎ ｘ － １ (ａ ∈ Ｒ )的 定 义 域 为 (０ ， ＋
!)，
ｅ
ｘ
ｅ １ ｘ － ａ １
ｆ ′ (ｘ ) ＝ ａ － ＝ ｅ － 为 (０ ， ＋
!)上 的 增 函 数 ．
!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ２ 分 ）
ｅ ｘ ｘ
ｘ
ｅ １ ｘ － １ １
（ １ ） 当 ａ ＝ １ 时 ， ｆ ′ (ｘ ) ＝ － ＝ ｅ － ，
ｅ ｘ ｘ
１ － １ １
ｆ ′ (１ ) ＝ ｅ － ＝ ０ ，
１
ｘ － １ １
因 为 ｆ ′ (ｘ ) ＝ ｅ － 为 (０ ， ＋
!)上 的 增 函 数 ，
ｘ
所 以 ｆ ′ (ｘ )在 (０ ， ＋
!)上 有 唯 一 的 零 点 １ ；
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ４ 分 ）
１ １ － ａ １ ０
（ ２ ） 当 ａ ＞ １ 时 ， ｆ ′ (ａ ) ＝ １ － ＞ ０ ， ｆ ′ (１ ) ＝ ｅ － ＜ ｅ － １ ＝ ０ ，
!!!!!!!!!!! （ ６ 分 ）
ａ １
ｘ － ａ １
因 为 ｆ ′ (ｘ ) ＝ ｅ － 为 (０ ， ＋
!)上 的 增 函 数 ，
ｘ
ｘ － ａ １
所 以 ｆ ′ (ｘ ) ＝ ｅ － 在 (１ ， ａ )上 有 唯 一 的 零 点 ｘ ０ ， 且 ｘ ０ 为 函 数 ｆ (ｘ )的 极 小 值 点 ，
!!!! （ ８ 分 ）
ｘ
ｘ － ａ １
所 以 ｈ (ａ ) ＝ ｆ (ｘ ０ ) ＝ ｅ ０ － ｌｎ ｘ ０ － １ ＝ － ｌｎ ｘ ０ － １ ，
!!!!!!!!!!!!!!!!! （ １ ０ 分 ）
ｘ ０
１
因 为 ｘ ０ ∈ (１ ， ａ )， ｔ (ｘ ０ ) ＝ － ｌｎ ｘ ０ － １ 为 (１ ， ａ )上 的 减 函 数 ，
ｘ ０
所 以 ｔ (ｘ ０ ) ＜ ｔ (１ ) ＝ ０ ， 即 ｈ (ａ ) ＜ ０ ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ １ ２ 分 ）
２ ２
ｘ ｙ ２
２ ２ ． 【 解 析 】 　 （ １ ） 因 为 椭 圆 Ｃ ： ２ ＋ ２ ＝ １ (ａ ＞ ｂ ＞ ０ )的 离 心 率 为 槡 ，
ａ ｂ ２
２ ２
所 以 ａ ＝
槡 ２ ｃ ， 其 中 ｃ ＝ 槡 ａ ＋ ｂ
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ １ 分 ）
２
ｘ ２ ｘ
双 曲 线 － ｙ ＝ １ 的 两 条 渐 近 线 的 方 程 为 ｙ ＝ ± ，
４ ２
设 Ｆ Ｇ ＝ ｔ ， 则 Ｏ Ｆ ＝ ２ ｔ ， １ ２
因 为 三 角 形 Ｏ Ｅ Ｇ 的 面 积 为 １ ， 所 以 · ２ ｔ · ２ ｔ ＝ １ ， 所 以 ｔ ＝ 槡 ，
２ ２
ｃ ＝ Ｏ Ｆ ＝ ２ ｔ ＝
槡 ２ ， ａ ＝
槡 ２ ｃ ＝ ２ ，
２ ２
ｘ ｙ
所 以 椭 圆 Ｃ 的 方 程 为 ＋ ＝ １ ；
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ４ 分 ）
４ ２
（ ２ ） ① 当 直 线 Ｍ Ｎ 的 斜 率 不 存 在 时 ，
?? → ?? →
因 为 Ｐ Ｏ ＝ ２ Ｏ Ｑ ，
所 以 Ｑ ( － １ ， ０ )， 此 时 Ｍ Ｎ 的 方 程 为 ｘ ＝ － １ ；
或 Ｑ (１ ， ０ )， 此 时 Ｍ Ｎ 的 方 程 为 ｘ ＝ １ ．
２ ２
ｘ ｙ
将 ｘ ＝ － １ ， 代 入 椭 圆 方 程 ＋ ＝ １ 得 ， Ｍ ６ ６
－ １ ， 槡 ， Ｎ － １ ， － 槡
４ ２ ( ２ ) ( ２ )
１ １ ３ ６
所 以 △ Ｐ Ｍ Ｎ 的 面 积 为 · Ｍ Ｎ · Ｐ Ｑ ＝ × ６ × ３ ＝ 槡 ，
２ ２ 槡 ２
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３ ６
由 椭 圆 轴 对 称 性 得 ： 当 Ｍ Ｎ 的 方 程 为 ｘ ＝ １ 时 ， △ Ｐ Ｍ Ｎ 的 面 积 也 为 槡 ；
!!!!!!!!! （ ６ 分 ）
２
② 当 直 线 Ｍ Ｎ 的 斜 率 存 在 时 ，
设 直 线 Ｍ Ｎ 方 程 为 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｍ ，
设 Ｍ （ ｘ １ ， ｙ １ ） ， Ｎ （ ｘ ２ ， ｙ ２ ） ， Ｐ （ ｘ ３ ， ｙ ３ ） ，
?? → ?? →
因 为 Ｍ Ｎ 的 中 点 为 Ｑ ， 且 Ｐ Ｏ ＝ ２ Ｏ Ｑ ， 所 以 △ Ｐ Ｍ Ｎ 的 重 心 是 坐 标 原 点 Ｏ ，
ｘ １ ＋ ｘ ２ ＋ ｘ ３ ＝ ０ ，
所 以 {ｙ １ ＋ ｙ ２ ＋ ｙ ３ ＝ ０ ，
２ ２
ｘ ｙ
联 立 ｙ ＝ ｋ ｘ ＋ ｍ 和 ＋ ＝ １ ，
４ ２
２ ２ ２ ２ ２
得 （ ２ ｋ ＋ １ ） ｘ ＋ ４ ｋ ｍ ｘ ＋ ２ ｍ － ４ ＝ ０ ， Δ ＝ ８ （ ２ ＋ ４ ｋ － ｍ ） ，
２
－ ４ ｋ ｍ ２ ｍ － ４
当 Δ ＞ ０ 时 ， ｘ １ ＋ ｘ ２ ＝ ２ ， ｘ １ ｘ ２ ＝ ２ ，
２ ｋ ＋ １ ２ ｋ ＋ １
４ ｋ ｍ ２ ｍ
所 以 ｘ ３ ＝ ２ ， ｙ ３ ＝ － （ ｙ １ ＋ ｙ ２ ） ＝ － ｋ （ ｘ １ ＋ ｘ ２ ） － ２ ｍ ＝ － ２ ，
２ ｋ ＋ １ ２ ｋ ＋ １
４ ｋ ｍ ２ ｍ
故 Ｐ （ ２ ， － ２ ） ，
２ ｋ ＋ １ ２ ｋ ＋ １
２
２ ２ ｋ ＋ １
因 为 点 Ｐ 在 椭 圆 上 ， 所 以 代 入 椭 圆 整 理 得 ｍ ＝ ， 满 足 Δ ＞ ０ ，
２
２
２ ２ ｋ ＋ １
因 而 ｍ 与 ｋ 满 足 的 等 式 关 系 为 ｍ ＝ ① ，
!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ ９ 分 ）
２
２ ２
Δ ８ （ ２ ＋ ４ ｋ － ｍ ）
当 Δ ＞ ０ 时 ， ｘ １ － ｘ ２ ＝ 槡２ ＝ 槡 ２ ，
!!!!!!!!!!!!!!!! （ １ ０ 分 ）
２ ｋ ＋ １ ２ ｋ ＋ １
因 为 △ Ｐ Ｍ Ｎ 的 重 心 是 坐 标 原 点 Ｏ ， 所 以 △ Ｐ Ｍ Ｎ 的 面 积 为 △ Ｏ Ｍ Ｎ 的 面 积 的 ３ 倍 ，
设 直 线 ｌ 与 ｙ 轴 交 与 点 Ｄ ， 则 Ｄ （ ０ ， ｍ ） ．
２ ２ ２
１ ３ ８ ｍ （ ２ ＋ ４ ｋ － ｍ ）
那 么 △ Ｐ Ｍ Ｎ 的 面 积 为 ３ × Ｏ Ｄ × ｘ １ － ｘ ２ ＝ 槡 ，
２ ２
２ （ ２ ｋ ＋ １ ）
３ ６
关 系 式 ① 代 入 得 Ｓ ＝ 槡 ，
２
３ ６
综 合 ① ② 得 ， △ Ｐ Ｍ Ｎ 的 面 积 为 定 值 槡 ．
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （ １ ２ 分 ）
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２ ０ ２ ０ — ２ ０ ２ １ 学 年 第 二 学 期 期 末 考 试 · 高 二 文 科 数 学 参 考 答 案 　 第 　　　　６ 页 （ 共 ６ 页 ）