存在性问题
【专题精讲】
存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。
【典例精析】
例1、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC = 4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
⑴若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
例2、△ABC中，∠A＝∠B＝30°，AB＝．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；
（2）如果抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：
①当a＝，b＝－，c＝－时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
②设b＝－2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
例3、在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．
（1）求线段AD的长；
（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，
①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）
②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；
（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．
例4、如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2c与x轴正半轴交于点F（16，0）、与y轴正半轴交于点E（0，16），边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；
（1） 求拋物线的函数表达式；
（2） 如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q（运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合）。设点A的坐标为（m，n） （m>0）。
① 当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；
②在的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；
③ 当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
【巩固演练】
1、如图1，在正方形ABCD中，AB=1，是以点B为圆心．AB长为半径的圆的一段弧点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F石为切点．
⑴ 当 ∠DEF＝45○时，求证点G为线段EF的中点；
⑵ 设AE=x， FC=y，求y关于x的函数解析式；并写出自变量的取值范围；
⑶ 如图2，将△DEF沿直线EF翻折后得△ D1EF，当EF=时，讨论△AD1D与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。
2、已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；
(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；
(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；
(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由.
3、如图，已知直线l的解析式为y＝－x＋6，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l，直线n与y轴、x轴分别相交于C、D两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）直线n在运动过程中，
①当t为何值时，半圆与直线l相切？
②是否存在这样的t值，使得半圆面积S＝S梯形ABCD？若存在，求出t值，若不存在，说明理由．
4、如图①，在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝x 2＋c与x轴交于B、C两点，与y轴交于点A，且△ABC是等腰直角三角形．
（1）求c的值；
（2）如图②，将△ABC绕点B逆时针方向旋转90°，得△A′BC′，然后将抛物线L1平移，使它的顶点落在点C′ 处，得抛物线L2，它与y轴相交于点D，连接DC′，试判断四边形BA′DC′ 的形状，并说明理由；
（3）将抛物线L2沿直线BC′ 向上或向下平移，记此时抛物线的顶点为C″，它与y轴的交点为D′，过点C″ 作C″A″∥C′A′，交直线A′B于点A″ ．是否存在这样的点C″，使得△A″C″D′ 是一个含有30°内角的三角形？若存在，求出点C″ 的坐标；若不存在，请说明理由．
A
B
C
D
P
Q
E
A
B
C
D
（备用图2）
A
B
C
D
（备用图1）
B
-1
A
O
x
C
-1
1
1
y
B
A
D
C
（备用图）
B
A
D
C
x
A
C
D
E
F
B
O
Q
P
y
B
O(D)
y
x
F(C)
E(A)
O
y
x
F
E
图1
图2
备用图
y
x
O
B
C
A
T
y
x
O
B
C
A
T
O
x
y
A
D
C
n
l
B
P
O
x
y
A
D
C
n
l
B
P
E
F
备用图
O
A
B
y
x
C
图①
O
A
B
y
D
x
C
A′
C′
图②
O
A
B
y
x
C
A′
C′
备用图动点问题
【专题精讲】
动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，首先根据题意理清题目中两个变量X、Y的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识解出。第三，确定自变量的取值范围，画出相应的图象。
动态几何问题是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题型出现。这类问题主要是集中代数、几何、三角、函数知识于一体，综合性较强。常用到的解题工具有方程的有关理论，三角函数的知识和几何的有关定理。
【典例精析】图形引入动点后形成的函数和方程问题
例1、如图2-4-49，在梯形ABCD中，AB=BC=10㎝，CD=6㎝，∠C=∠D=900．
（1）如图2-4-50，动点P、Q同时以每秒1㎝的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止．设P、Q同时从点B出发秒时，△PBQ的面积为（㎝2），求（㎝2）关于（秒）的函数关系式．
（2）如图2-4-51，动点P以每秒1㎝的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发秒时，四边形PADE的面积为（㎝2）．求（㎝2）关于（秒）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（一）图形引入动点形成的函数问题
例2、如图（1），已知直角梯形中，动点P沿A—D—C的路线以秒的速度向C运动，动点Q沿A—B—C的路线以秒的速度向C运动，P，Q两点分别从A，B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止。设运动时间为秒，的面积为。
（1）求AD的长及的取值范围；
（2）求关于的函数关系式，并具体描述在P，Q运动过程中，的面积随变化而增大或减小的情况。
（二）图形引入动点形成的方程问题
图形动点 几何计算 方程
例3、如图，在中，，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动。P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。在运动过程中，关于直线PQ对称的图形是。设运动时间为（秒）。
（1）为何值时，四边形是梯形？
（2）是否存在时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。
（三）图形引入动点形成的函数和方程问题
例4、已知，如图（1），正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边AB，CD，DA上，连结CF。
（1）当时，求的面积；
（2）设，用含的代数式表示的面积；
（3）判断的面积能否等于1，并说明理由。
例5、如图，在等腰梯形中，。点P从点B出发沿折线段以每秒5个单位长的速度向点C匀速度运动；动点Q从点C出发沿线段
CB方向以每秒3个单位长度匀速运动，过点Q向上作射线，交折线线段CD—DA —AB于点E，点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q随之停止。设点P，Q运动的时间是秒（。
（1）当点P到达终点C时，求的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，为何值能使？
（3）设射线QK扫过梯形的面积为S，分别求出点E运动到CD，DA上时，S与的函数关系式；（不必写出的取值范围）。
（4）能否成为直角三角形？若能，写出的取值范围，若不能，请说明理由。
【巩固演练】
1、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x 2＋x＋m 2－3m＋2与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上．
（1）求点B的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED＝PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
②若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，BC＝8，AB＝，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．
设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；
（2）当BP＝1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
图形动点问题
通过几何计算（主要是解直角形和三角形的相似关系
函数（变化规律）
方程（特定形状的图形、特定位置的图形、特定关系的图形）
A
D
B
C
Q
P
特定形状图形
特定位置图形
特定数量图形
A
B CC
C CC
Q CC
P CC
D CC
A
B
C
D
E
F
H
G
A
B
C
D
E
P
K
Q
y
x
O
1
1
P
D
C
M
A
Q
E
B
D
C
M
A
B
（备用图）图形折叠型题
【专题精讲】
折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等。折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理。折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题。
【典例精析】
一．折叠后求度数
例1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．600 B．750 C．900 D．950
例2、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
例3、用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝ 度.
二、折叠后求面积
例4、如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
例5、如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．4 C．8 D．10
例6、如图a，ABCD是一矩形纸片，AB＝6cm，AD＝8cm，E是AD上一点，且AE＝6cm。操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕AF，如图b；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图c。则△GFC的面积是（ ）
A.1cm2 B.2 cm2 C.3 cm2 D.4 cm2
三、折叠后求长度
例7、如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
四．折叠后得图形
例8、将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）
A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形
例9、如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN（图甲），再把B点叠在折痕MN上的处。得到（图乙），再延长交AD于F，所得到的是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
例10、如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）
例11、 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，AD⊥BC，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
五、折叠后得结论
例12、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A. B.
C. D.
例13、、从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ）
A.a2–b2 =(a+b)(a-b)Ｂ.(a–b)2 = a2–2ab+ b2Ｃ.(a+b)2 = a2 +2ab+ b2 Ｄ.a2 +ab = a(a+b)
例14、如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于（ ）
A． B． C． D．
六、折叠和剪切的应用
例15、在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？
【巩固训练】
1、如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB = a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为 ．
2、已知矩形纸片，。将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。
（1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1），）求DE的长。
（2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2），），的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。
3、如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．
（1）求∠DCB的度数；
（2）当点F的坐标为（－4，0）时，求点G的坐标；
（3）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF′ ，记直线EF′ 与射线DC的交点为H．
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE；
②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标．
4、已知：矩形纸片中，AB=26厘米，厘米，点E在AD上，且厘米，点P是AB边上一动点，按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕（如图（1）所示）；
步骤二，过点P作交所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“＞”、“=”、“＜”号 ）
（2）如图（3）所示，将矩形纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，与交于点点的坐标是（ ， ）；
②当厘米时，与交于点，点的坐标是（ ， ）；
③当厘米时，在图（3）中画出，（不要求写画法）并求出与的交点的坐标；
（3）点P在在运动过程中，与形成一系列的交点，…观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式。
C
D
E
B
A
图 （2）
图 （1）
E
A
A
A
B
B
B
C
C
C
G
D
D
D
F
F
F
图a
图b
图c
A
B
C
D
E
F
（1）
（2）
A
D
E
H
F
B
C
G
（方案一）
A
D
E
F
B
C
（方案二）
45
60
A′
B
M
A
O
D
C
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
（图1）
D
B
O
A
G
F
C
x
l
E
y
（图2）
D
B
O
A
G
F
C
x
l
E
y
H
F′
（备用图）
D
B
O
A
C
x
E
y
A
B
C
D
P
E
M
N
B
C
（P）
A
B
C
D
P
E
M
N
T
Q
（A）
B
C
D
E
N
O
6
12
18
24
6
12
18
