重庆市2020——2021学年度第二学期期末联考
高二数学试题
本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.考试结束后,将答题卡交回。
第I卷(选择题
共60分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,
共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.(原创)函数的定义域为(
)
A.
B.
C.
D.
2.(原创)的展开式中,含项的系数为(
)
A.40
B.
C.
D.
80
3.(原创)设随机变量服从正态分布,若,则(
)
A.0.1
B.0.9
C.0.8
D.0.5
4.(改编)甲、乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率为,乙解决这个问题的概率为,那么以为概率的事件是(
)
A.甲乙两人至少有一人解决了这个问题
B.甲乙两人都解决了这个问题
C.甲乙两人至多有一人解决了这个问题
D.甲乙两人都未能解决这个问题
5.(改编)函数的导函数的图象如图所示,则(
)
A.是函数的极大值点
B.在区间上单调递增
C.是函数的最小值点
D.在处切线的斜率小于零
6.
因防控新冠肺炎疫情的需要,某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作,则选派的3人中至少有1名女医生的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
7.
(原创)设函数是奇函数的导函数,且满足,当时,,则使得成立的的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
8.(原创)1999年12月1日,大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》,大足石刻创于晚唐,盛于两宋,是中国晚期石窟艺术的杰出代表作。考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律。已知样本中碳14的含量(单位:太贝克)随时间(单位:年)的衰变规律满足函数关系:,其中为时碳14的含量,已知时,碳14的含量的瞬时变化率是(太贝克/年),则=(
)太贝克。
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.)
9.(原创)已知函数,则下列说法不正确的是(
)
A.是非奇非偶函数
B.
是增函数
C.是周期函数
D.的值域是
10.(原创)下列说法正确的是(
)
A.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量,线性相关,由最小二乘法求得其回归方程为,若样本中心点为,则
B.已知随机变量的数学期望,若,则
C.用相关指数来刻画回归的效果,的值越接近0,说明模型的拟合效果越好
D.已知袋中装有大小完全相同的2个红球和2个黑球,若有放回地从中摸球,用事件表示“第一次摸到红球”,事件表示“第二次摸到黑球”,则事件与事件是相互独立事件
11.(原创)欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来:
(把称为复数的三角形式,其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角,把向量的长度叫做复数的模),之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:
若复数,,则我们可以简化复数乘法:.根据以上信息,下列说法正确的是(
)
A.若,则有
B.若,,则
C.若,则
D.设,则在复平面上对应的点在第一象限.
12.(改编)下列命题为真命题的是(
)
A.
B.
C.
D.
第II卷(非选择题
共90分)
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.(原创)已知随机变量~,则
.
14.(改编)函数在上单调递增,则实数的取值范围是
.
15.(原创)学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班,每天安排2人,每人值班1天;若6位老师中的甲不值12日,乙不值14日且甲乙不在同一天值班,则不同的安排方法共有
种.
16.(改编)设是的导函数.某同学经过探究发现,任意一个三次函数的图像都有对称中心,其中满足.(1)函数的对称中心为_________;(2)现已知当直线和的图像交于,,三点时,的图像在点,点
处的切线总平行,则过点可作的
条切线.
四、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(原创)(本小题满分10分)已知复数满足,的实部与虚部的积为.
(1)求;
(2)设,
,求的值.
从①;②为纯虚数;③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个,将问题(2)补充完整,并作答.
(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.)
18.(原创)(本小题满分12分)设,且已知展开式中所有二项式系数之和为1024.
(1)求的值以及二项式系数最大的项;
(2)求的值.
19.(改编)(本小题满分12分)为了丰富高2022届学生的课余活动,年级决定进行班级之间的乒乓球比赛。甲、乙两个班进行比赛,每场比赛采取“5局3胜制”(即有一个班先胜3局即获胜,比赛结束)。比赛排名采用积分制,规则如下:比赛中,以3:0或3:1获胜方记3分,失败方记0分;以3:2获胜方记2分,失败方记1分.已知甲、乙两个班比赛,假设每局比赛甲获胜的概率都是.
(1)求比赛结束时恰好打了5局的概率;
(2)甲、乙两个班比赛1场后,求乙班的积分的分布列及期望.
20.(改编)(本小题满分12分)某传染病感染人群大多数是50岁以上的人群,某传染病进入人体后有潜伏期,潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间。潜伏期越长,感染到他人的可能性越高。如果认为超过8天的潜伏期为“长潜伏期”,现对400个病例的潜伏期(单位:天)进行调查,其中50岁以上的人群共280人,潜伏期为“长潜伏期”有60人,50岁及50岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有80人。按照年龄统计样本,得到下面的2X2列联表。
长潜伏期
非长潜伏期
合计
50岁以上
50岁及50岁以下
合计
(1)完成上面的2X2列联表,并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关;
(2)以题目中的样本频率视为概率,设900个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是,当为何值时,取得最大值.
附:
0.1
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
21.(原创)(本小题满分12分)已知函数
(1)若,求函数的极值;
(2)若是函数的极小值点,求实数的取值范围.
22.(改编)(本小题满分12分)已知函数.
(1)设曲线在处的切线为,求证:;
(2)若关于的方程有两个实数根,,求证:.20
021学年度第二学期期末联考
高二数学参考答案
择题
CADCB
6-8
AD
如在(0,e)上单调递增,(e
单调递减
所
选项
e选项故
所以不成
成立
选项2
15lm2>ln15台
填空题
16题:(2)有题意f(x)=ax3+bx
对称中心为(1,1),f"(x)=6ax
f”(1)=6a+2b=0,f(1)
设切点(
(x)=x6-2x
简得到x3-30
(xn+1)2=0,可得
x0=2,显然这两处的
切线斜率不同,故有2条
解答题
解得m
所
分
解得a=4
题
解得a
0分
)由题意
2分
项式展开式
项,所以二项式系数最大的项为第6项
4分
分
得
分
所以3a
分
局甲获胜
乙获胜为
赛结束时恰好
(C)=P(A)
()3+C(3()号=3=分
4分
或者P(C)
(2)随机变
的取值
)()
=2)=C(3号)}=8
(5
的分布列为
分
岁
岁及50岁以
00
400(60×80
280×120
841,故有95%的把
有关
400个病例
长期潜伏,以样本频率估计概
个患者属于“长潜伏期
勺概率
于是P(A)=C()(子)
P(k)C(4)(
当0当
P(k
故
(k)取得最大值
分
f(x)>0,x∈(0,1)f"(x)
以f(x)在(0,1)上单调递增,在
)上单调递减
所以f(x)在x=1取到极大值为f(1
极小值
分
(a+2)
当a≤0时,x∈(0,1),f(x)>0,f(x)单调递增;x∈(
),f(x)<0,f
递减,此时=1是极大值点,不满足题
分
当
时
(x)=0,得
2
()当a>2时,x∈(0,2),(a)>0,f(x)单调递增
)f(x)<0,f(a)单调递减:x∈(1,+∞),f(x)>0,f(x)单调递增
1是极
f(x)≥0,无极值点,不满足题意
9分
(i)当
(x)单调递
(x)单调递减;x
∞),f(x)>0,f(x)单调递增
此
是极大值点,不满足题意
所述,a的取值范围为(2,+∞
2.(1)因为f(x)=bnx,f(e)=lme=1,f(e)=0,f(a)在x=e处的切线为y-0
3分
令h(x)=f(x)-9(
TT一
当x∈(0,c)时,h'(x)
所以h(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增
故h(x)≥h(e)=0,所以f(x)≥g(c)
分
)不妨
f(x2),所