重庆市2020——2021学年度第二学期期末联考
高二数学试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题
共60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分,
共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.（原创）函数的定义域为（
）
A．
B．
C．
D．
2.（原创）的展开式中，含项的系数为（
）
A．40
B．
C．
D．
80
3.（原创）设随机变量服从正态分布，若，则（
）
A．0.1
B．0.9
C．0.8
D．0.5
4.（改编）甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率为，乙解决这个问题的概率为，那么以为概率的事件是(
)
A．甲乙两人至少有一人解决了这个问题
B．甲乙两人都解决了这个问题
C．甲乙两人至多有一人解决了这个问题
D．甲乙两人都未能解决这个问题
5.（改编）函数的导函数的图象如图所示，则（
）
A．是函数的极大值点
B．在区间上单调递增
C．是函数的最小值点
D．在处切线的斜率小于零
6.
因防控新冠肺炎疫情的需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和3名女医生中选派3人前往3个隔离点进行核酸检测采样工作，则选派的3人中至少有1名女医生的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
7.
（原创）设函数是奇函数的导函数，且满足，当时，，则使得成立的的取值范围是(
)
A．
B．
C．
D．
8.（原创）1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作。考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律。已知样本中碳14的含量（单位：太贝克）随时间（单位：年）的衰变规律满足函数关系：，其中为时碳14的含量，已知时，碳14的含量的瞬时变化率是（太贝克/年），则=（
）太贝克。
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）
9.（原创）已知函数，则下列说法不正确的是(
)
A．是非奇非偶函数
B．
是增函数
C．是周期函数
D．的值域是
10.（原创）下列说法正确的是(
)
A．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量，线性相关，由最小二乘法求得其回归方程为，若样本中心点为,则
B．已知随机变量的数学期望，若，则
C．用相关指数来刻画回归的效果，的值越接近0，说明模型的拟合效果越好
D．已知袋中装有大小完全相同的2个红球和2个黑球，若有放回地从中摸球，用事件表示“第一次摸到红球”，事件表示“第二次摸到黑球”，则事件与事件是相互独立事件
11.（原创）欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：
（把称为复数的三角形式，其中从轴的正半轴到向量的角叫做复数的辐角，把向量的长度叫做复数的模），之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：
若复数，，则我们可以简化复数乘法：.根据以上信息，下列说法正确的是（
）
A．若，则有
B．若，，则
C．若，则
D．设，则在复平面上对应的点在第一象限.
12.（改编）下列命题为真命题的是（
）
A．
B．
C．
D．
第II卷（非选择题
共90分）
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.（原创）已知随机变量～，则
.
14.（改编）函数在上单调递增，则实数的取值范围是
.
15.（原创）学校拟安排6位老师在今年6月12日至14日端午值班，每天安排2人，每人值班1天；若6位老师中的甲不值12日，乙不值14日且甲乙不在同一天值班，则不同的安排方法共有
种.
16.（改编）设是的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数的图像都有对称中心，其中满足.（1）函数的对称中心为_________；（2）现已知当直线和的图像交于，，三点时，的图像在点，点
处的切线总平行，则过点可作的
条切线.
四、解答题（本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（原创）（本小题满分10分）已知复数满足，的实部与虚部的积为.
（1）求；
（2）设，
，求的值.
从①；②为纯虚数；③在复平面上对应点的坐标为.这三个条件中选一个，将问题（2）补充完整，并作答.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
18.（原创）（本小题满分12分）设，且已知展开式中所有二项式系数之和为1024.
（1）求的值以及二项式系数最大的项；
（2）求的值.
19.（改编）（本小题满分12分）为了丰富高2022届学生的课余活动，年级决定进行班级之间的乒乓球比赛。甲、乙两个班进行比赛，每场比赛采取“5局3胜制”（即有一个班先胜3局即获胜，比赛结束）。比赛排名采用积分制，规则如下：比赛中，以3：0或3：1获胜方记3分，失败方记0分；以3:2获胜方记2分，失败方记1分.已知甲、乙两个班比赛，假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了5局的概率；
（2）甲、乙两个班比赛1场后，求乙班的积分的分布列及期望．
20.（改编）（本小题满分12分）某传染病感染人群大多数是50岁以上的人群，某传染病进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间。潜伏期越长，感染到他人的可能性越高。如果认为超过8天的潜伏期为“长潜伏期”，现对400个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，其中50岁以上的人群共280人，潜伏期为“长潜伏期”有60人，50岁及50岁以下潜伏期为“非长潜伏期”有80人。按照年龄统计样本，得到下面的2X2列联表。
长潜伏期
非长潜伏期
合计
50岁以上
50岁及50岁以下
合计
（1）完成上面的2X2列联表，并判断是否有95%的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；
（2）以题目中的样本频率视为概率，设900个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.
附：
0.1
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
21.（原创）（本小题满分12分）已知函数
（1）若，求函数的极值；
（2）若是函数的极小值点，求实数的取值范围.
22.（改编）（本小题满分12分）已知函数.
（1）设曲线在处的切线为，求证：；
（2）若关于的方程有两个实数根，，求证：.20
021学年度第二学期期末联考
高二数学参考答案
择题
CADCB
6-8
AD
如在(0,e)上单调递增,(e
单调递减
所
选项
e选项故
所以不成
成立
选项2
15lm2>ln15台
填空题
16题:(2)有题意f(x)=ax3+bx
对称中心为(1,1),f"(x)=6ax
f”(1)=6a+2b=0,f(1)
设切点(
(x)=x6-2x
简得到x3-30
(xn+1)2=0,可得
x0=2,显然这两处的
切线斜率不同,故有2条
解答题
解得m
所
分
解得a=4
题
解得a
0分
)由题意
2分
项式展开式
项,所以二项式系数最大的项为第6项
4分
分
得
分
所以3a
分
局甲获胜
乙获胜为
赛结束时恰好
(C)=P(A)
()3+C(3()号=3=分
4分
或者P(C)
(2)随机变
的取值
)()
=2)=C(3号)}=8
(5
的分布列为
分
岁
岁及50岁以
00
400(60×80
280×120
841,故有95%的把
有关
400个病例
长期潜伏,以样本频率估计概
个患者属于“长潜伏期
勺概率
于是P(A)=C()(子)
P(k)C(4)(
当0当
P(k
故
(k)取得最大值
分
f(x)>0,x∈(0,1)f"(x)
以f(x)在(0,1)上单调递增,在
)上单调递减
所以f(x)在x=1取到极大值为f(1
极小值
分
(a+2)
当a≤0时,x∈(0,1),f(x)>0,f(x)单调递增;x∈(
),f(x)<0,f
递减,此时=1是极大值点,不满足题
分
当
时
(x)=0,得
2
()当a>2时,x∈(0,2),(a)>0,f(x)单调递增
)f(x)<0,f(a)单调递减:x∈(1,+∞),f(x)>0,f(x)单调递增
1是极
f(x)≥0,无极值点,不满足题意
9分
(i)当
(x)单调递
(x)单调递减;x
∞),f(x)>0,f(x)单调递增
此
是极大值点,不满足题意
所述,a的取值范围为(2,+∞
2.(1)因为f(x)=bnx,f(e)=lme=1,f(e)=0,f(a)在x=e处的切线为y-0
3分
令h(x)=f(x)-9(
TT一
当x∈(0,c)时,h'(x)
所以h(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增
故h(x)≥h(e)=0,所以f(x)≥g(c)
分
)不妨
f(x2),所
