烟台市2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断
高二数学
注意事项:
1.本试题满分150分,考试时间为120分钟.
2.答卷前,务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.
3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰;超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合false,false,则false( )
A.false B.false C.false D.false
2.“false”是“false”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知false,则false( )
A.2 B.1 C.0 D.不确定
4.函数false的图象可能为( )
A. B. C. D.
5.若函数false在false上单调递减,则实数false的取值范围是( )
A.false B.false C.false D.false
6.某种放射性物质在其衰变过程中,每经过一年,剩余质量约是原来的false.若该物质的剩余质量变为原来的false,则经过的时间大约为( )(false,false)
A.2.74年 B.3.42年 C.3.76年 D.4.56年
7.已知函数false,若false且false,则false的最小值为( )
A.2 B.3 C.false D.false
8.已知奇函数false的定义域为false,false,且false在false上单调递增,则不等式false的解集为( )
A.false B.false
C.false D.false
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列说法正确的有( )
A.“false,false”的否定为“false,false”
B.“false,false”的否定为“false,false”
C.“false,false”的否定为“false,false”
D.“false,false”的否定为“false,false”
10.已知函数false,false,则( )
A.函数false为偶函数
B.函数false为奇函数
C.函数false在区间false上的最大值与最小值之和为0
D.设false,则false的解集为false
11.已知函数false,false,则( )
A.false在false单调递减
B.false的图象关于点false对称
C.若方程false仅有1个实数根,则false
D.当false或false时,方程false有3个实数根
12.若函数false在区间false上有定义,且对false,false,false,false均可作为一个三角形的三边长,则称false在区间false上为“false函数”.已知函数false在区间false为“false函数”,则实数false的值可能为( )
A.false B.false C.false D.false
三、填空题,本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数false的定义域为______.
14.已知false是false上的减函数,则实数false的取值范围为______.
15.若函数false在false处的切线与false的图象相切,则实数false的值为______.
16.已知函数false在其图象上任意一点false处的切线,与false轴、false轴的正半轴分别交于false,false两点,设false(false处坐标原点)的面积为false,当false时,false取得最小值,则false的值为______.
四、解答题,本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知false是定义在false上的偶函数,当false时,false.
(1)当false时,求函数false的解析式;
(2)解关于false的不等式false.
18.(12分)已知函数false.
(1)求函数false的极值;
(2)讨论方程false实数解的个数.
19.(12分)已知函数false,false.
(1)若false的定义域为false,求false的取值范围;
(2)若不等式false有解,求false的取值范围.
20.(12分)如图,将一张长为false,宽为false的矩形铁皮的四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后折起,可以做成一个无盖长方体容器.设截去的小正方形的边长为false,所得容器的体积为false.
(1)将false表示为false的函数false
(2)false为何值时,容积false最大?求出最大容积.
21.(12分)已知函数false.
(1)若false的图象恒在false轴上方,求false的取值范围;
(2)若存在正数false,falsefalse,满足false,证明:false.
22.(12分)已知函数false.
(1)求false的单调区间;
(2)令false,对任意false,false.求false的取值范围.
2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断
高二数学参考答案
一、单选题
DBAA CBBD
二、多选题
9.AC 10.BCD 11.ACD 12.BD
三、填空题
13.false 14.false 15.1 16.false
四、解答题
17.解:(1)当false时,false,false,
又false为偶函数,所以false.
(2)当false时,false,
所以false在false单调递增.
又false为偶函数,所以false.
所以false,两边平方,整理得false,
解得false或false.
18.解:(1)false.
令false,解得false或false.
false
false
false
false
2
false
false
false
0
false
0
false
false
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
因此,当false时,false有极大值,且极大值为false.
当false时,false有极小值,且极小值为false.
(2)方程false的实数解的个数,即为函数false的图象与直线false的交点的个数.
当false时,false,当false时,false,
结合(1)知false的大致图象如图所示.
所以,当false或false时,解为1个;
当false或false时,解为2个;
当false时,解为3个.
19.解:(1)要使false的定义域为false,只需false在false上恒成立.
令false,只需false在false上恒成立.
当false,即false时,false在false单增,恒有false,
因此,对任意false均成立.
当false,即false时,false在false单减,false单增,只需false,
即false,解得false,所以false.
综上,false的取值范围为false.
(2)若不等式false有解,即false,
可得false有解.
因为当false时,false,所以,对任意实数false,总存在false,使得false,即false有解.
由false可得,false.
令false,false,false,
显然当false时,函数单调递增,当false时,函数单调递减,
所以当false时,false取最大值false,
所以false,即false.
20.解:(1)由题意知,长方体容器的长、宽、高分别为false,false,false,
容器的体积false.
令false,false,false,可得false.
故函数false,false.
(2)令false.
令false,得false,false(舍去).
false
false
false
false
false
false
0
false
false
单调递增
极大值
单调递减
因此,false是函数false的极大值点,相应的极大值false,
也是false在区间false上的最大值.
答:截去的小正方形边长为false时,容器的容积最大,最大容积false.
21.解:(1)false的定义域为false,false.
当false时,false,false单调递减;当false时,false,false单调递增.
因此,当false时,false.
由题意,false,即false,解得false.
(2)由(1)及false的单调性知,false.
构造函数false,false.
则false,
当false时,false,false,即false,
所以false在区间false上单调递减.
因为false,所以false,即false.
由题意false,所以false.
因为false在false,且单调递增,false,false,
所以false,即false.
22.解:(1)false,
令false,得false;令false,得false.
所以false的单调增区间为false,单调减区间为false.
(2)由题意知false.
于是false,
由(1)知,在false上,false单调道减,且false,
当false时,false,函数false在false上单调递减,取false,显然false,
但false,因此,false不合题意.
当false时,结合(1)中false的单调性知,存在false,得false,
此时false在false上单调递减,在false上单调递增,所以
false
false,
解得false,即false;
当false时,false,函数false在false上单调道增,false,
解得false,即false;
综上所述,false的取值范围false.