山东省烟台市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案

烟台市2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断
高一数学
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟。
2．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不能确定
2．抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子，其六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，观察朝上一面的点数，设事件false“点数为奇数”，false“点数为4”，则false与false的关系为
A．互斥 B．相等 C．互为对立 D．相互独立
3．已知一个水平放置的三角形的斜二测直观图的面积为1，那么原三角形的面积为
A．false B．2 C．false D．4
4．某学校采用分层随机抽样方法，抽取一定数量的高中学生参加安全知识竞赛．若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且全校高一、高三学生数之比为2：3，则样本容量为
A．120 B．160 C．180 D．460
5．某人有3把钥匙，其中仅有一把能打开门．如果他每次都随机选取-把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为
A．false B．false C．false D．false
6．已知false，false表示两条不同的直线，false，false表示两个不同的平面，则
A．若false，false，则false B．若false，false，则false
C．若false，false，则false D．若false，false，则false
7．给定数据：10，12，17，25，50，75，则其第30百分位数、第50百分位数分别为
A．11，17 B．11，21 C．12，17 D．12，21
8．在右图所示的三棱锥容器false中，false，false，false分别为三条侧棱上的小洞，false，false，若用该容器盛水，则最多可盛水的体积是原三棱锥容器体积的
A．false B．false C．false D．false
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的有
A．两条相交直线确定一个平面
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．标准差刻画了一组数据的离散程度或波动幅度
D．若某种奖券的中奖率为0.1，则抽奖10次必有一次中奖
10．已知圆锥的底面半径为1，高为false，false为顶点，false，false为底面圆周上两个动点，则
A．圆锥的体积为false
B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为false
C．圆锥截面false的面积的最大值为false
D．从点false出发绕圆锥侧面一周回到点false的无弹性细绳的最短长度为false
11．在正方体false中，点false为线段false上一动点，则
A．对任意的点false，都有false
B．三棱锥false的体积为定值
C．当false为false中点时，异面直线false与false所成的角最小
D．当false为false、中点时，直线false与平面false所成的角最大
12．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件false“表示的四位数能被3整除”，false表示的四位数能被5整除”，则
A．false B．false C．false D．false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．甲、乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲、乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为______．
14．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2，3，4，则其体对角线长度为______．
15．类比是研究数学问题的重要方法之一．数学家波利亚曾说：“求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在平面几何里，研究三角形三边长度间的关系，有勾股定理：“设false的两边false，则false．”拓展到空间，类比研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥false的三个侧面false，false，false两两互相垂直，则______．
16．在三棱锥false中，面false面false，false，false，则该三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
如图，在空间四边形false中，false，false，false，false分别为棱false，false，false，false的中点．
（1）求证：四边形false为平行四边形；
（2）当对角线false与false满足什么条件时，四边形false为正方形？（给出一个满足题意的条件即可，不必证明）．
18．（12分）
某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达、延迟5分钟内送达、延迟5至10分钟送达、其他延迟情况，分别评定为false，false，false，false四个等级，各等级依次奖励3元、奖励0元、罚款3元、罚款6元．假定评定为等级false，false，false的概率分别是false，false，false．
（1）若某外卖员接了一个订单，求其延迟送达且被罚款的概率；
（2）若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为0元的概率．
19．（12分）
为调查高一、高二学生心理健康达标情况，某学校采用分层随机抽样方法，从高一、高二学生中分别抽取了50人、40人参加心理健康测试（满分：10分）．经初步统计，参加测试的高-学生成绩falsefalse的平均分false，方差false，高二学生的成绩falsefalse的统计表如下：
成绩false
4
5
6
7
8
9
频数
3
7
11
9
6
4
（1）计算参加测试的高二学生成绩的平均分false和方差false；
（2）估计该学校高一、高二全体学生的平均分false和方差false．
20、（12分）
如图，在直三棱柱false中，false，false．
（1）求证：false；
（2）若false与平面false所成角的正弦值为false，求三棱锥false的体积．
21．（12分）
《中华人民共和国民法典》于2021年1月1日正式施行．某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中false的值：
（2）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；
（3）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间false和false的居民中，采用分层随机抽样，确定了5人．若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件false “两人的测试成绩分别位于false和false”，求false．
22．（12分）
如图，在梯形false中，false，false，false，将false沿false折起，形成四棱锥false，
（1）若点false为false的中点，求证：false平面false；
（2）在四棱锥false中，false，求面false与面false所成二面角（锐角）的余弦值．
2020-2021学年度第二学期期末学业水平诊断
高一数学参考答案
一、选择题
C A C D B C D A
二、选择题
9．AC 10．BCD 11．ABD 12．ACD
三、填空题
13．0.94 14．false 15．false 16．false
四、解答题
17．证明：（1）连接false，因为false，false分别为棱false，false的中点，
所以false，false
同理false，false
所以false且false
所以四边形false是平行四边形．
（2）当false且false时，四边形false为正方形．
18．解：（1）设事件false，false，false，false分别表示“被评为等级false，false，false，false”．
由题意，事件false，false，false，false两两互斥，
所以false．
又false“延迟送达且被罚款”，
所以false．
因此“延迟送达且被罚款”的概率为false．
（2）设事件false，false，false，false表示“第false单被评为等级false，false，false，false”，false．
则“两单共获得的奖励为0元”即事件false，
且事件false，false，false互斥，
又false
又false
所以false
false
false
19．解：（1）由题意，
false
false．
false
false．
（2）由（1）可得，false
false
false
false．
20．解（1）证明：因为false，false，false
所以false平面false，
false平面false，所以false
又因为直三棱柱false中，false，
所以四边形false为正方形，所以false．
因为false，所以false平面false，
false平面false，所以false．
（2）过false作false，垂足为false，连false，则false平面false，
false为false与平面false所成的角．
因为false，则false，
所以false，所以false．
在false中，false，所以false．
在false中，false．
所以false．
21．解：（1）由己知false，
解得false．
（2）测试成绩的平均数
false
false．
测试成绩落在区间false的频率为false，
落在在区间false的频率为false，
所以设第57百分位数为false，有false，
解得false．
（3）由题知，测试分数位于区间false、false的人数之比为false，
所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间false中3人，用false，false，false表示，在区间false中2人，用false，false表示．
从这5人中抽取2人的所有可能情况有：false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，共10种．
其中“落在区间false和false”有6种．
所以false．
22．解：（1）证明：取false中点false，连false，则false，false．
又因为false，false，
所以false，false．
所以四边形false为平行四边形，所以false．
又因为false平面false，false平面false
所以false平面false．
（2）延长false，false交于点false，则false为平面false与平面false的交线
因为false，false，所以false．
三角形false中，因为false，false为false的中点，
所以false，
又因为false，false，false
所以false平面false，false平面false，
所以false．
又因为false，所以false平面false．
false平面false，所以false．
在三角形false中，过false作false，垂足为false，连接false，因为false．
所以false平面false，false平面false，所以false．
所以false为二面角false的平面角．
在false中，false，false，false，
由falsefalsefalse，所以false，false．
在false中，false，false，false．
所以false．
即面false与面false所成二面角（锐角）的余弦值为false．