(共27张PPT)
第三章
直线与方程
3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
一
二
三
一、直线的倾斜角
1.如图,在平面直角坐标系中,过一点P(2,2)可以作出多少条直线?这些直线区别在哪里呢?
提示:无数条.区别是它们的倾斜程度不同.
2.怎样描述直线的倾斜程度呢?
提示:用直线的倾斜角来描述直线的倾斜程度.当直线l与x轴相交时,直线l向上方向与x轴正向之间所成的角α是直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.
一
二
三
3.直线倾斜角α的取值范围怎样?
提示:直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
一
二
三
4.填表:直线的倾斜角
一
二
三
5.做一做:如图所示,直线l的倾斜角为( )
A.45° B.135° C.0° D.不存在
答案:B
一
二
三
二、直线的斜率
1.日常生活中,还有没有其他表示直线倾斜程度的量?如图(1)(2),在日常生活中,我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”.
(1)上图①②中的坡度相同吗?
一
二
三
(2)上图中的“坡度”与角α,β存在等量关系吗?
提示:存在,图①中,坡度=tan
α,图②中坡度=tan
β.
(3)我们如何使用直线的“倾斜角”来表示“坡度(比)”呢?
提示:坡度(比)等于倾斜角的正切.
2.任何一条直线都有斜率吗?
提示:倾斜角是90°的直线没有斜率.
3.填表:直线的斜率
一
二
三
4.填表:斜率与倾斜角的对应关系
一
二
三
三、过两点的直线的斜率
问题思考
1.我们知道:两点确定一条直线,进而它的倾斜角与斜率也就确定了,那么任给直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2),这两点的坐标与直线的斜率的内在联系是什么呢?如下图①、图②,过点P1作x轴的平行线,过点P2作y轴的平行线,两线相交于点Q,那么点Q的坐标是什么?
提示:题图①中点Q的坐标为(x2,y1).题图②中点Q的坐标为(x2,y1).
一
二
三
2.设直线P1P2的倾斜角为α(α≠90°),则在Rt△P1P2Q中,哪一个角等于α?
提示:如图①,当α为锐角时,α=∠QP1P2,如图②,当α为钝角时,α=180°-∠QP1P2.
一
二
三
3.做一做:
(1)已知点P1(3,5),P2(-1,-3),则直线P1P2的斜率k等于( )
A.2
B.1
C.
D.不存在
答案:A
(2)已知直线l的倾斜角α=60°,则其斜率k= .?
答案:
探究一
探究二
思维辨析
直线的倾斜角
例1已知直线l过原点,l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后,恰好与y轴重合,求直线l转动前的倾斜角是多少?
思路分析:画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角
探究一
探究二
思维辨析
解由题意画出如下草图.
由图可知:
当α为钝角时,倾斜角为α-90°,
当α为锐角时,倾斜角为α+90°,
当α为直角时,倾斜角为0°.
反思感悟直线的倾斜角的求法
求直线的倾斜角主要根据定义,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练
设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( )
A.α+45°
B.α-135°
C.135°-α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,倾斜角为α-135°
探究一
探究二
思维辨析
解析:根据题意,画出图形,如图所示:
因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知:当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α+45°;当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.故选D.
答案:D
探究一
探究二
思维辨析
斜率公式及其应用
例2已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).
(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?
(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
思路分析:求直线的斜率?直线的斜率公式.
(2)l的倾斜角为90°,即l平行于y轴,所以m+1=2m,得m=1.
反思感悟直线斜率的计算方法
(1)判断两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在.
(2)若两点的横坐标不相等,则可以用斜率公式
(其中x1≠x2)进行计算.
探究一
探究二
思维辨析
延伸探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
延伸探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?
探究一
探究二
思维辨析
一题多解——利用斜率解决反射问题
典例光线从点A(2,1)射到y轴上的点Q,经y轴反射后过点B(4,3),试求点Q的坐标及入射光线的斜率.
探究一
探究二
思维辨析
方法总结
光的反射问题中,反射角等于入射角,但反射光线的斜率并不等于入射光线的斜率.当镜面水平放置时,它们之间是互为相反数的关系.另外,在光的反射问题中也经常使用对称的方法求解.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练
一束光线从点A(-2,3)射入,经x轴上点P反射后,通过点B(5,7),求点P的坐标.
1
2
3
4
1.若直线l经过第二、第四象限,则直线l的倾斜角范围是
( )
A.0°≤α<90°
B.90°≤α<180°
C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
答案:C
1
2
3
4
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.60°
答案:A
1
2
3
4
3.已知A(1,1),B(2,2),则直线AB的斜率为 .?
则直线AB的斜率为1.
答案:1
1
2
3
4
答案:60°(共27张PPT)
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一
二
一、两条直线平行与斜率之间的关系
1.如图,设对于两条不重合的直线l1与l2,其倾斜角分别为α1与α2,斜率分别为k1,k2,若l1∥l2,α1与α2之间有什么关系?k1与k2之间有什么关系?
提示:α1与α2之间的关系为α1=α2;对于k1与k2之间的关系,当α1=α2≠90°时,k1=k2,因为α1=α2≠90°,所以tan
α1=tan
α2,即k1=k2.当α1=α2=90°时,k1,k2不存在.
一
二
2.对于两条不重合的直线l1与l2,若k1=k2,是否一定有l1∥l2?为什么?
提示:一定有l1∥l2.因为k1=k2?tan
α1=tan
α2?α1=α2?l1∥l2.
3.填表:两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:
一
二
4.做一做:已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x= .?
解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.
答案:2
5.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若两条直线斜率相等,则这两条直线平行.( )
(2)若l1∥l2,则k1=k2.( )
(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.( )
(4)若两直线斜率都不存在,则两直线平行.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
一
二
二、两条直线垂直与斜率之间的关系
1.如图,设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2,斜率分别为k1,k2,且α1<α2,若l1⊥l2,α1与α2之间有什么关系?为什么?
提示:α2=90°+α1,因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和.
一
二
2.如果两直线的斜率存在且满足k1·k2=-1,是否一定有l1⊥l2?为什么?
提示:一定有l1⊥l2.不妨设k2<0,即α2为钝角,因为k1·k2=-1,则有tan
α2tan
α1=-1,
又0°≤α1<180°,0°≤α2<180°,
所以tan
α2=tan(90°+α1),
则α2=90°+α1,所以l1⊥l2.
3.对任意两条直线,如果l1⊥l2,一定有k1·k2=-1吗?为什么?
提示:不一定,因为如果直线l1和l2分别平行于x,y轴,则k2不存在,所以k1·k2=-1不成立.
一
二
4.填表:两条直线垂直与斜率的关系
5.做一做:已知直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k1=2,l1⊥l2,则k2= .?
探究一
探究二
探究三
思想方法
两直线平行
例1
判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:
(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);
(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);
(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);
(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).
思路分析:斜率存在的直线求出斜率,利用l1∥l2?k1=k2进行判断,两直线斜率都不存在的,可通过观察并结合图形得出结论.
探究一
探究二
探究三
思想方法
则A,B,M不共线.故l1∥l2.
(4)由已知点的坐标,得l1与l2均与x轴垂直且不重合,故有l1∥l2.
反思感悟两直线平行的判定及应用
1.判定两直线是否平行时,应先看两直线的斜率是否存在,若都不存在,则平行(不重合的情况下);若存在,再看是否相等,若相等,则平行(不重合的情况下).
2.若已知两直线平行,求某参数值时,也应分斜率存在与不存在两种情况求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为 .?
解析:当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;
当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;
当m=0或1时,由图形知,两直线不重合.综上,m的值为0或1.
答案:0或1
探究一
探究二
探究三
思想方法
两直线垂直
例2
(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直;
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.
思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.
(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.
(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.
当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,
则l1⊥l2,满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,
综上所述,a的值为0或5.
反思感悟反思感悟两直线垂直的判定方法
两条直线垂直需判定k1k2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直,注意讨论的全面性.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是 .?
解析:设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).
∵kPB≠0,kPA≠0,
∴kPA·kPB=-1,
∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,
解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).
答案:(1,0)或(2,0)
探究一
探究二
探究三
思想方法
两直线平行与垂直的综合应用
例3
如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.
思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.
探究一
探究二
探究三
思想方法
所以kOP=kRQ,kOR=kPQ,从而OP∥RQ,OR∥PQ.
所以四边形OPQR为平行四边形.
又kOP·kOR=-1,所以OP⊥OR,
故四边形OPQR为矩形.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究1将本例中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.”
解由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,
所以kAB=kCD,由图可知AB与CD不重合,
所以AB∥CD,由kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.
又因为kAB·kAD=
×(-3)=-1,
所以AB⊥AD,故四边形ABCD为直角梯形.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究2将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”
解因为OPQR为矩形,所以OQ的中点也是PR的中点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟
1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤
探究一
探究二
探究三
思想方法
2.判定几何图形形状的注意点
(1)在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜测其形状,以明确证明的目标.
(2)证明两直线平行时,仅有k1=k2是不够的,还要注意排除两直线重合的情况.
(3)判断四边形形状,要依据四边形的特点,并且不会产生其他的情况.
探究一
探究二
探究三
思想方法
分类讨论思想在平行与垂直中的应用
典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.
思路分析:分析题意可知,AB、BC都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x、y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况即可.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,
则kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.
①若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,
∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.
又∵kAD=kBC,∴
=0,即y=3.此时AB与CD不平行.
故所求点D的坐标为(3,3).
②若AD是直角梯形的直角边,
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练
顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.
所以直线AD垂直于直线AB与CD,而且直线BC不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD是直角梯形.
1
2
3
1.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为( )
解析:若a≠0,则l2的斜率为-
;若a=0,则l2的斜率不存在.
答案:D
1
2
3
2.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为 .?
答案:4
1
2
3
3.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .?
解析:设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,
由题意,得AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,(共21张PPT)
3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
一
二
一、直线的点斜式方程
1.求直线的方程指的是求什么?
提示:就是求直线上任意一点的坐标(x,y)满足的关系等式.
2.如图,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,设点P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,怎样建立x,y之间的关系等式?该关系等式是直线l的方程吗?
提示:由斜率公式得k=
,即y-y0=k(x-x0),该关系等式是直线l的方程.
一
二
3.填表:直线的点斜式方程
4.做一做:直线l的点斜式方程是y-2=3(x+1),则直线l的斜率是( )
A.2 B.-1 C.3 D.-3
答案:C
一
二
二、直线的斜截式方程
1.已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则直线l的方程是什么?
提示:将k及点(0,b)代入直线的点斜式方程得y=kx+b.
2.直线y=kx+b在y轴上的截距b是直线与y轴交点到原点的距离吗?它的取值范围是什么?
提示:不是直线与y轴交点到原点的距离,是直线y=kx+b在y轴上交点的纵坐标,截距b的取值范围是R.
3.一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
提示:一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.
一
二
4.填表:直线的斜截式方程
5.做一做:直线l的斜截式方程是y=-2x+3,则直线l在y轴上的截距为 .?
答案:3
一
二
6.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线y-3=m(x+1)恒过定点(-1,3).( )
(2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3.( )
答案:(1)√ (2)√
探究一
探究二
思维辨析
直线的点斜式方程
例1
求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=
x倾斜角的2倍;
(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
思路分析:先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.
探究一
探究二
思维辨析
(2)与y轴平行的直线,其斜率k不存在,不能用点斜式方程表示.
但直线上点的横坐标均为5,
故直线方程可记为x=5.
∵直线过点P(-2,3),
∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟点斜式方程的求法
(1)求直线的点斜式方程,关键是求出直线的斜率,所以,已知直线上一点的坐标及直线的斜率或直线上两点坐标,均可求出直线的方程.
(2)
斜率不存在时,可直接写出过点(x0,y0)的直线方程x=x0.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点B(-1,4).求满足下列条件的直线l2的方程.
(1)直线l2∥l1;
(2)直线l2⊥l1.
解:(1)由已知直线l1的斜率k1=tan
135°=-1.
因为l2∥l1,所以直线l2的斜率k2=k1=-1.
又直线l2经过点B(-1,4),
代入点斜式方程得y-4=-1×[x-(-1)],即y=-x+3.
(2)由已知直线l1的斜率k1=tan
135°=-1.
又直线l2经过点B(-1,4),
代入点斜式方程得y-4=1×[x-(-1)],即y=x+5.
探究一
探究二
思维辨析
直线的斜截式方程
例2
求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(0,-2),且与直线y=3x-5垂直;
(2)与直线y=-2x+3平行,与直线y=4x-2在y轴上的截距相同.
思路分析:写出直线的斜率及在y轴上的截距,用斜截式写出直线方程.
探究一
探究二
思维辨析
解:(1)因为直线y=3x-5的斜率为3,且所求直线与该直线垂直,所以所求直线斜率为-
.
又直线过点(0,-2),由直线方程的斜截式,得
y=-
x-2,即x+3y+6=0.
(2)直线y=-2x+3的斜率为-2,直线y=4x-2在y轴上的截距为-2.
由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.
由直线方程的斜截式,得y=-2x-2,
即2x+y+2=0.
反思感悟斜截式方程的求法
已知直线的斜率与y轴上的截距,可直接写出直线的方程;已知直线的斜截式方程,可得直线的斜率与y轴上的截距.直线的斜截式方程形式简单,特点明显,是运用较多的直线方程的形式之一.
探究一
探究二
思维辨析
延伸探究直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且l的斜率与l1的斜率互为相反数,则直线l的方程为 .?
解析:由直线l1的方程可知它的斜率为2,它在y轴上的截距为6,所以直线l的斜率为-2,在y轴上的截距为6.由直线的斜截式方程可得直线l的方程为y=-2x+6.
答案:y=-2x+6
探究一
探究二
思维辨析
误把“截距”当“距离”致错
典例
已知斜率为-
的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6,求直线l的方程.
探究一
探究二
思维辨析
防范措施①用斜截式表示直线方程前提条件是斜率存在,不能用斜截式表示与x轴垂直的直线.②把直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.注意“截距非距”,即截距不是距离,截距可以取一切实数,即可为正数、零或负数.当直线l与y轴的正半轴相交时,其在y轴上的截距b>0;当直线l与y轴的负半轴相交时,其在y轴上的截距b<0;当直线l经过原点时,其在y轴上的截距b=0.当直线l与y轴平行时,l在y轴上没有截距.
1
2
3
4
答案:B
1
2
3
4
2.与直线y=3x+1垂直,且过点(2,-1)的直线的斜截式方程是( )
答案:B
1
2
3
4
3.无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是 .?
答案:(-1,2)
1
2
3
4
4.直线l1与直线l2:y=3x+1平行,又直线l1过点(3,5),则直线l1的方程为 .?
解析:∵直线l2的斜率k2=3,l1与l2平行,
∴直线l1的斜率k1=3.
又直线l1过点(3,5),
∴l1的方程为y-5=3(x-3),即y=3x-4.
答案:y=3x-4(共23张PPT)
3.2.2 直线的两点式方程
一
二
三
一、直线的两点式方程
1.已知直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),如何求出过这两点的直线方程?
2.从直线的两点式方程的形式上看,两点式方程适合求什么样的直线方程?
提示:两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.
一
二
三
3.填空:直线的两点式方程
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)斜率不存在的直线能用两点式方程表示.( )
(2)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.( )
答案:(1)× (2)√
一
二
三
二、直线的截距式方程
1.已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,如何求直线l的方程?
提示:将两点A(a,0),B(0,b)的坐标代入两点式,
2.从直线的截距式方程的形式上看,截距式方程适合求什么样的直线的方程?
提示:截距式适用于求与两坐标轴不垂直以及不过原点的直线的方程.
一
二
三
3.做一做:直线的截距式方程
一
二
三
三、线段的中点坐标公式
1.如图所示,已知A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)是线段AB的中点,如何用A,B两点的坐标表示点M的坐标?
一
二
三
提示:过点A,B,M分别向x轴、y轴作垂线AA1,AA2,BB1,BB2,MM1,MM2,垂足分别为A1(x1,0),A2(0,y1),B1(x2,0),B2(0,y2),M1(x,0),M2(0,y).因为M是线段AB的中点,所以点M1和点M2分别是A1B1和A2B2的中点,即A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以x-x1=x2-x,y-y1=y2-y,
一
二
三
2.填空:若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M
的坐标为(x,y),
此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
3.做一做:若已知点A(1,2)及AB的中点(2,3),则点B的坐标是 .?
答案:(3,4)
探究一
探究二
思维辨析
直线的两点式方程
例1
已知三角形的三个顶点A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求:
(1)BC边所在的直线方程;
(2)BC边上中线所在的直线方程.
思路分析:已知直线上两个点的坐标,可以利用两点式写出直线的方程.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟两点式方程的应用
用两点式方程写出直线的方程时,要特别注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.
探究一
探究二
思维辨析
延伸探究例1已知条件不变,求:
(1)AC边所在的直线方程;
(2)AC边上中线所在的直线方程.
化简得7x+6y+18=0.
探究一
探究二
思维辨析
直线的截距式方程
例2
过点P(1,3),且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )
A.3x+y-6=0
B.x+3y-10=0
C.3x-y=0
D.x-3y+8=0
思路分析:设出直线的截距式方程,然后利用点P在直线上以及三角形的面积列出参数所满足的条件,解方程即可求出参数.
探究一
探究二
思维辨析
由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6,
故所求直线的方程为3x+y-6=0.
答案:A
反思感悟截距式方程的应用在涉及直线与两个坐标轴的截距问题时,常把直线方程设为截距式,由已知条件建立关于两截距的方程,解得截距的值,从而确定方程.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练过点A(3,4),且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为 .?
解析:(1)当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且不为0时,
即x-y+1=0.
(2)当直线l在坐标轴上的截距互为相反数,且为0时,直线l的方程为y=
x,即4x-3y=0.
综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0.
答案:x-y+1=0或4x-3y=0
探究一
探究二
思维辨析
一题多变——直线截距式方程的应用
典例直线l过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线l的方程.
思路分析:直线在坐标轴上的截距?直线的截距式方程.
解由于直线在两坐标轴上的截距之和为12,因此直线l在两坐标轴上的截距都存在且不过原点,故可设为截距式直线方程.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练
1将本例中的条件“在两坐标轴上的截距之和为12”改为“在两坐标轴上的截距的绝对值相等”,求直线l的方程.
解设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b.
(1)当a≠0,b≠0时,
若a=b,则a=b=1,直线方程为x+y-1=0;
若a=-b,则a=-7,b=7,直线方程为x-y+7=0.
(2)当a=b=0时,直线过原点,且过(-3,4),所以直线方程为4x+3y=0.
综上所述,所求直线方程为:
x+y-1=0或x-y+7=0或4x+3y=0.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练
2本例中的条件不变,求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟用截距式方程解决问题的优点及注意事项
(1)优点:①由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标,因此用截距式画直线比较方便.
②在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时,经常使用截距式.
(2)注意事项:当直线与坐标轴平行时,有一个截距不存在;当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式,故解决问题过程中要注意分类讨论.
1
2
3
4
1.过P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是( )
答案:C
1
2
3
4
2.已知△ABC三顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为( )
A.2x+y-8=0
B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0
D.2x-y-12=0
解析:点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),
答案:A
1
2
3
4
3.若点P(3,m)在过点A(2,-1),B(-3,4)的直线上,则m= .?
即x+y-1=0.又点P(3,m)在直线AB上,所以3+m-1=0,得m=-2.
答案:-2
1
2
3
4
4.直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积是 .?(共19张PPT)
3.2.3 直线的一般式方程
一
二
一、直线的一般式方程
1.每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)都表示一条直线吗?为什么?
一
二
2.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗?为什么?
示成x-a=0,把它可以认为是关于x,y的二元一次方程,此时方程中y的系数为0.
3.填空:关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
4.做一做:过点A(-1,2),斜率为2的直线的一般式方程为 .?
答案:2x-y+4=0
一
二
二、直线方程的一般式与其他形式的互化
1.直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比,它有什么优点?
提示:直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线,而点斜式、斜截式、两点式方程,都不能表示与x轴垂直的直线.
2.在方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零)中,A,B,C为何值时,方程表示的直线(1)平行于x轴;(2)平行于y轴;(3)与x轴重合;(4)与y轴重合.
一
二
3.做一做:直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ;化为截距式为 .?
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线.
( )
(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式.
( )
(3)关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)一定表示直线.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√
探究一
探究二
思想方法
直线的一般式方程
例1
根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.
(1)斜率是
,且经过点A(5,3);
(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;
(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;
(4)在x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.
思路分析:先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.
探究一
探究二
思想方法
(2)由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4x-2,
化为一般式方程为4x-y-2=0.
(3)由两点式方程可知,
化为一般式方程为2x+y-3=0.
化为一般式方程为x+3y+3=0.
反思感悟直线的一般式方程的特征
求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.
探究一
探究二
思想方法
变式训练根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.
(1)斜率是-
,经过点A(8,-2);
(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
即x+2y-4=0.
(2)由点斜式方程,得y-2=0.
即x+y-1=0.
探究一
探究二
思想方法
由一般式方程判断两直线平行或垂直
【例2】
(1)已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值;
(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.
思路分析:利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.
解:(1)由2×3-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.
当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,
显然l1与l2不重合,∴l1∥l2.
同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合,l1∥l2,
故m的值为2或-3.
(2)由直线l1⊥l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
探究一
探究二
思想方法
反思感悟由直线的一般式方程解决平行与垂直问题
直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0.
(1)l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.
探究一
探究二
思想方法
延伸探究已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.
求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解:(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0,
又过点A(2,2),所以3×2+4×2+C1=0,所以C1=-14.
所求直线方程为3x+4y-14=0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,
又过点A(2,2),所以4×2-3×2+C2=0,所以C2=-2,
所以直线方程为4x-3y-2=0.
探究一
探究二
思想方法
常见的直线系及其应用
典例已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求直线l'的方程,l'满足
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
思路分析:可先求斜率,再利用点斜式方程求解;也可利用平行、垂直直线系方程,利用待定系数法求解.
探究一
探究二
思想方法
法二 (1)由l'与l平行,可设l'方程为3x+4y+m=0.
将点(-1,3)代入上式得m=-9.
∴所求直线方程为3x+4y-9=0.
(2)由l'与l垂直,可设其方程为4x-3y+n=0.将(-1,3)代入上式得n=13.
∴所求直线方程为4x-3y+13=0.
探究一
探究二
思想方法
方法总结
一般地,已知直线l的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0),则:
(1)与直线l平行的直线系方程都可以设为Ax+By+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;
(2)与直线l垂直的直线系方程都可以设为Bx-Ay+m=0(其中m为参数)的形式,然后再根据题设中的另一个条件来确定m的取值;
(3)平面上恒过定点P(x0,y0)的直线方程都可以设为中心直线系方程y-y0=k(x-x0)或x=x0的形式.
1
2
3
4
1.已知直线2x+ay+b=0在x轴、y轴上的截距分别为-1,2,则a,b的值分别为( )
A.-1,2
B.-2,2
C.2,-2
D.-2,-2
答案:A
1
2
3
4
2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )
答案:B
1
2
3
4
3.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 .?
解析:由点斜式方程,得所求直线方程为y-3=2(x-1),整理,得2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
1
2
3
4
4.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= .?
解析:∵两直线垂直,
∴1×2-2m=0,m=1.
答案:1(共25张PPT)
3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.1 两条直线的交点坐标
两条直线的交点
1.直线上的点与其方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的解有什么样的关系?
提示:直线l上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上的点的坐标是其方程的解.反之,直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
2.已知两条直线l1与l2相交,如何用代数方法求它们的交点的坐标?
提示:只需写出这两条直线的方程,然后联立方程组求解.
3.解下列方程组,各方程组解的情况与对应两直线的位置关系具有怎样的对应关系?
方程组(2)无解,对应两直线平行;方程组(3)有无数组解,对应两直线重合.
4.问题3中的结论是不是具有一般性?如果是的话,该如何表述?
提示:是.已知两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0).
则两直线相交,交点坐标为(x0,y0);有无数组解,则两直线重合;无解,则两直线平行.
5.填表:直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0);l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)的位置关系如表所示:
6.做一做:在下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为( )
答案:C
7.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若由两条直线的方程组成的方程组只有一个公共解,则两条直线相交.
( )
(2)若两条直线的斜率都存在且不等,则两条直线相交.
( )
(3)两条直线的斜率一个存在,另一个不存在时,两条直线也相交.
( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√
探究一
探究二
探究三
思想方法
两条直线的交点问题
例1
分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
思路分析:直接将两直线方程联立方程组,根据方程组解的个数判断两直线位置是否相交.
探究一
探究二
探究三
思想方法
这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.
反思感悟两直线位置关系的判断方法及应用
涉及两直线交点的问题,通常是先求交点坐标,再进一步解决问题.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练1已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是 .?
探究一
探究二
探究三
思想方法
过两直线交点的直线系方程
例2
(1)求经过点P(1,0)和两直线l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交点的直线方程;
(2)无论实数a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点,试求该定点.
思路分析:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再将x=1,y=0代入求出λ,即得所求直线方程.
(2)将直线方程改写为-x-y-1+a(x+2)=0.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:(1)设所求直线方程为x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
即x+y-1=0.
(2)由(a-1)x-y+2a-1=0,
得-x-y-1+a(x+2)=0.所以,已知直线恒过直线-x-y-1=0与直线x+2=0的交点.
所以方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直线恒过定点(-2,1).
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟利用直线系方程求直线的方程
经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0交点的直线方程可写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(它不能表示直线l2).反之,当直线的方程写为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0时,直线一定过直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2已知直线l经过原点,且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为
( )
A.2x+y=0
B.2x-y=0
C.x+2y=0
D.x-2y=0
(法二)设直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其过原点,所以8+(-λ)=0,λ=8,直线l的方程为2x-y=0.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思想方法
对称问题
例3
光线通过点A(2,3)在直线l:x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1),试求入射光线和反射光线所在直线的方程.
思路分析:求点A关于直线l的对称点A'→求反射光线所在直线的方程→求入射光线与反射光线的交点坐标→求入射光线所在的直线方程
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:设点A(2,3)关于直线l的对称点为A‘(x0,y0),
解之,得A'(-4,-3).
由于反射光线经过点A'(-4,-3)和B(1,1),
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟点关于直线的对称点的求法
点P(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点P0(x0,y0),满足关系
探究一
探究二
探究三
思想方法
直线恒过定点问题
典例求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点.
证明方法一:(m-1)x+(2m-1)y=m-5.①
令m=1,得y=-4;
令m=12,得x=9;
如果上述结论成立的话,定点为(9,-4);
假设经过该定点的直线斜率为k,那么经过该定点的直线方程为y+4=k(x-9),
化简可得-kx+y=-9k-4.②
探究一
探究二
探究三
思想方法
下面只要证明①式和②式相同就可以了;
故②式和③式相同,即①式和②式相同;
故上述结论成立.
方法二:将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,
此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系数与常数项均等于零,故有
∴m为任意实数时,所给直线必通过定点(9,-4).
探究一
探究二
探究三
思想方法
方法技巧解决含参数的直线恒过定点问题,常用的方法
(1)直接法,将已知方程化为点斜式、斜截式或截距式方程,进而得定点;
(2)特殊法,取出直线系中两条特殊的直线,它们的交点就是所有直线都过的定点;
(3)任意法,任取直线系中的两条直线,它们的交点就是所有直线都过的定点;
(4)方程法,将已知方程整理成关于变数的方程,由于直线恒过定点,则关于变数的方程应有无穷多解,进而取出定点.如整理成f(x)+a·g(x)=0,而该方程有无穷多解,则有f(x)=0且g(x)=0,其解就是所有直线恒过的定点.
1
2
3
4
1.直线2x+y+8=0和直线x+y-1=0的交点坐标是
( )
A.(-9,-10)
B.(-9,10)
C.(9,10)
D.(9,-10)
答案:B
1
2
3
4
2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为( )
A.-24
B.24
C.6
D.±6
解析:∵直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),
答案:A
1
2
3
4
3.若两条直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限,则m的取值范围是( )
答案:C
1
2
3
4
4.已知直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,若l1⊥l2,则点P的坐标为 .?
解析:∵直线l1:ax+y-6=0与l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于点P,且l1⊥l2,
∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,
∴点P的坐标为(3,3).
答案:(3,3)(共21张PPT)
3.3.2 两点间的距离
两点间的距离
1.
(1)在x轴上两点A1(x1,0),B1(x2,0)间的距离如何计算?
提示:|A1B1|=|x2-x1|.
(2)在y轴上两点C(0,y1),D(0,y2)间的距离如何计算?
提示:|CD|=|y2-y1|.
(3)
你能结合问题1,2推导出平面上任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式吗?
提示:如图,在Rt△P1QP2中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2,
2.填空:
(1)平面上任意两点间的距离公式:平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)
间的距离公式|P1P2|=
(2)两点间距离的特殊情况:
②当P1P2∥x轴(y1=y2)时,|P1P2|=|x2-x1|.
③当P1P2∥y轴(x1=x2)时,|P1P2|=|y2-y1|.
3.做一做:已知点P1(4,2),P2(2,-2),则|P1P2|= .?
探究一
探究二
探究三
思想方法
求两点间的距离
例1
已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.
思路分析:可求出三条边的长,根据所求长度判断三角形的形状.
探究一
探究二
探究三
思想方法
∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2.
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴|AC|=|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问题,体现了数形结合思想的应用.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究本例若改为:已知A(-1,-1),B(3,5),C(5,3),试判断△ABC的形状.
探究一
探究二
探究三
思想方法
求点的坐标
例2
已知点A(-3,4),B(2,
),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
思路分析:利用两点间的距离公式建立关于未知数的方程求解.
解:设点P(x,0),
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟根据两点间的距离公式确定点的坐标
利用坐标平面内两点间的距离公式可以求平面上任意两个已知点间的距离.反过来,已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练
已知矩形ABCD相邻两个顶点A(-1,3),B(-2,4),若矩形对角线的交点在y轴上.求:另外两个顶点C和D的坐标.
解依题意可设矩形的两条对角线的交点为O(0,y),在矩形ABCD中,|AO|=|BO|,
解得y=5,交点O的坐标是(0,5),
∵A(-1,3),B(-2,4),设C(x1,y1),D(x2,y2),由于AC,BD中点均为O点,
探究一
探究二
探究三
思想方法
坐标法的应用
例3
已知Rt△ABC,∠B为直角,AB=a,BC=b,建立适当的坐标系,写出顶点A,B,C的坐标,并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等.
思路分析:取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系,再写出各顶点坐标,给出证明.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:取边BA所在的直线为x轴,边BC所在的直线为y轴,建立直角坐标系,如图所示,则三个顶点的坐标分别为A(a,0),B(0,0),C(0,b).由中点坐标公式,得斜边AC的中点M的坐标为
.
∴|MA|=|MB|=|MC|.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟坐标法及其应用
1.坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点:
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;
(2)如果条件中有互相垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑将中心作为原点;如果有轴对称性,可考虑将对称轴作为坐标轴.
2.利用坐标法解平面几何问题常见的步骤:
(1)建立坐标系,尽可能将有关元素放在坐标轴上;
(2)用坐标表示有关的量;
(3)将几何关系转化为坐标运算;
(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系.
探究一
探究二
探究三
思想方法
数形结合思想的典范——坐标法
典例
如图,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC边上异于B,C的任意一点,求证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
【审题视角】建立适当的直角坐标系,设出各顶点的坐标,应用两点间的距离公式证明.
探究一
探究二
探究三
思想方法
证明:如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,
∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,
∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
方法点睛根据图形的特点,建立适当的坐标系,可使运算量减小,因此要注意建系方法.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
解:以BC所在直线为x轴,以线段BC的中点为原点,建立直角坐标系,如图所示.
∵正三角形ABC的边长为a,
1
2
3
4
1.点A(1,-2)关于原点的对称点为A',则|AA'|为( )
解析:因为A(1,-2)关于原点的对称点A'(-1,2),所以
答案:A
1
2
3
4
2.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
故△ABC为等腰三角形.故选B.
答案:B
1
2
3
4
3.设点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点P(2,-1),则|AB|=( )
解析:依题意设A(a,0),B(0,b),
∵P(2,-1)为线段AB的中点,
∴a=4,b=-2.∴A(4,0),B(0,-2).
答案:A
1
2
3
4
4.直线y=x+2被坐标轴截得的线段长为 .?
解析:令x=0,得y=2;令y=0,得x=-2,则点(0,2)和点(-2,0)间的距离为(共25张PPT)
3.3.3~3.3.4 点到直线的距离
两条平行直线间的距离
一
二
一、点到直线的距离
1.什么是平面上点到直线的距离?
提示:如下图,P到直线l的距离,是指从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足.
一
二
2.如图,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离d同线段PS,PR,RS间存在什么关系?
3.点到直线的距离
(1)概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.
(2)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)的距离
一
二
4.做一做:原点到直线x+2y-5=0的距离为( )
答案:D
一
二
二、两条平行线间的距离
1.两条平行直线间的距离是指什么线段的长?
提示:两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.
2.直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,直线l2:x+y-2=0与直线l1平行,则点A,B,C到直线l2的距离分别为多少?有什么规律吗?
3.已知l1:Ax+By+C1=0(A,B不同时为0),l2:Ax+By+C2=0(C2≠C1),如何推导出l1与l2的距离公式呢?
提示:由l1与l2的方程可知直线l1∥l2,设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点,则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为
一
二
4.两条平行直线间的距离
(1)概念:夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.
(2)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
(3)公式:两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0之间的距离
一
二
5.做一做:两条平行线l1:3x-4y-1=0与l2:6x-8y-7=0间的距离为( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
求点到直线的距离
例1
求点P0(-1,2)到下列直线的距离:
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
思路分析:当直线与坐标轴不平行时,直接代入公式求得距离;当直线与坐标轴平行时,可以数形结合求解.
(2)解法一:把直线方程化为一般式为x-2=0.
解法二:∵直线x=2与y轴平行,
∴由图知d=|-1-2|=3.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(解法二)∵直线y-1=0与x轴平行,
∴由图知d=|2-1|=1.
反思感悟点到直线距离的求法
求点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再代入公式.如果直线垂直于坐标轴,那么可结合图形求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为 .?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
两平行线间的距离
例2
(1)已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
(2)若两条平行线l1:x-y+1=0与l2:3x+ay-c=0(c>0)之间的距离为
A.-2
B.-6
C.2
D.0
思路分析:(1)首先利用两直线平行求出参数m的值,将两直线方程对应系数化为相同,然后代入距离公式求值;(2)首先将两直线方程系数化为相同,然后代入距离公式,建立a,c的方程组求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:(1)由题意,直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0平行,
所以对应直线方程为6x+4y+1=0.
又直线3x+2y-3=0可化为6x+4y-6=0,
(2)直线l1:x-y+1=0与l2:3x+ay-c=0(c>0)平行,故有a=-3,
平行线l1:3x-3y+3=0与l2:3x-3y-c=0(c>0)之间的距离为
答案:(1)D (2)A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求两条平行直线间的距离的两种思路
1.利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算.
2.利用两条平行直线间的距离公式求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
距离公式的应用
例3
在△ABC中,A(1,1),B(m,
),C(4,2)(1思路分析:△ABC的边AC确定,故以AC为底,点B到直线AC的距离就是高,求出面积S与m之间的函数关系式,再求出函数最值即可.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:∵A(1,1),C(4,2),
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟常见的距离公式应用问题的解题策略
(1)最值问题:
①利用对称转化为两点之间的距离问题;
②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离;
③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题,通过配方求最值.
(2)求参数问题:利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求值.
(3)求方程的问题:立足确定直线的几何要素,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系),巧设直线方程,在此基础上借助距离公式求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
已知点P(a,b)在线段AB上运动,其中A(1,0),B(0,1).则(a+2)2+(b+2)2的取值范围是 .?
解析:由(a+2)2+(b+2)2联想两点间的距离公式,设点Q的坐标为(-2,-2),又点P的坐标为(a,b),
于是问题转化为求|PQ|2的最大值、最小值.
如图所示,当P与A或B重合时,|PQ|取得最大值,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当PQ⊥AB时,|PQ|取得最小值,此时|PQ|为Q点到直线AB的距离,由A,B两点坐标可得直线AB的方程为x+y-1=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
一题多解——求直线的方程
典例求过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)距离相等的直线方程.
解法一:由题意可得kAB=-
,线段AB的中点为C(1,1),满足条件的直线经过线段AB的中点或与直线AB平行.
当直线过线段AB的中点时,由于M与C点的纵坐标相同,所以直线MC的方程为y=1;
当直线与AB平行时,其斜率为-
,由点斜式可得所求直线方程为y-1=-
(x+2),即x+2y=0.
综上,所求直线的方程为y=1或x+2y=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
法二:显然所求直线的斜率存在,设直线方程为y=kx+b,根据条件有:
故所求直线方程为y=1或x+2y=0.
方法总结
解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条,根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程.二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,但设所求直线的方程时,要注意考虑直线的斜率是否存在.
1
2
3
4
1.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为( )
答案:A
1
2
3
4
2.(易错题)两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0间的距离为( )
答案:C
1
2
3
4
3.已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于( )
答案:C
1
2
3
4
4.两平行直线l1:ax+4y=0,l2:3x+4y+m=0,若两直线之间的距离为1,则m= .?
解析:根据两平行直线之间的距离公式,得到
=1,解得m=±5.
答案:±5
