(共39张PPT)
第一章
空间几何体
1.1 空间几何体的结构
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一
二
三
四
一、空间几何体的定义、分类及相关概念
1.观察下面两组物体,你能说出各组物体的共同点吗?
提示:(1)几何体的表面由若干个平面多边形组成.
(2)几何体的表面可由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成.
一
二
三
四
2.如图,观察几何体,它有几个面?几个顶点?几条棱?有没有比它的面、顶点、棱更少的几何体?
提示:4个面,4个顶点,6条棱.没有比它的面、顶点、棱更少的几何体.
3.填空:
空间几何体的定义及分类
(1)定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.
(2)分类:常见的空间几何体有多面体与旋转体两类.
一
二
三
四
4.填写下表:
一
二
三
四
一
二
三
四
二、棱柱的结构特征
1.观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:(1)有两个面相互平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)其余各面中每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
一
二
三
四
2.有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱吗?举例说明.
提示:不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.
一
二
三
四
3.关于棱柱的定义、分类、图示及其表示,请填写下表:
一
二
三
四
4.做一做:
下列说法中,正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形
C.正方体的所有棱长都相等
D.棱柱的所有棱长都相等
解析:棱柱的侧面都是平行四边形,选项A错误;其他侧面可能是平行四边形,选项B错误;棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等,选项D错误;易知选项C正确.
答案:C
一
二
三
四
三、棱锥的结构特征
1.观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
一
二
三
四
2.关于棱锥的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
一
二
三
四
四、棱台的结构特征
1.观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?
提示:(1)区别:该多面体有两个面相互平行而棱锥没有.
(2)联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为棱台.
一
二
三
四
2.观察下面的几何体是否为棱台?为什么?
提示:不是.因为延长各侧棱不能还原成棱锥.
一
二
三
四
3.关于棱台的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
一
二
三
四
4.做一做:下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥,
是棱台(仅填相应序号).?
解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
答案:①③④ ⑥ ⑤
探究一
探究二
探究三
思维辨析
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
例1
下列四个命题中,正确的有( )
①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;②各个面都是三角形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;④四棱锥有4个顶点.
A.0个
B.1个
C.3个
D.4个
探究一
探究二
探究三
思维辨析
思路分析:所给命题→联想空间图形→紧扣棱柱、棱锥、棱台的结构特征→作出判断
解析:①错误,底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,但不能作为底面;
②错误,如图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥;
③错误,因为不能保证侧棱相交于同一点;
④错误,四棱锥只有一个顶点,就是各侧面的公共顶点.
答案:A
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟判断棱柱、棱锥、棱台形状的常用方法
(1)棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状、侧棱、棱之间的关系等.(2)判断时要充分发挥空间想象能力,必要时可借助于几何模型.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1下列说法正确的有 (填序号).?
①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有侧面都有一个公共点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯形;④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个面.
解析:棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体,因而侧面是平行四边形,故①对.
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体,因而其侧面均是三角形,且所有侧面都有一个公共点,故②对.
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后,截面与底面之间的部分,因而其侧面均是梯形,且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点),故③错④对.⑤显然正确.因而正确的有①②④⑤.
答案:①②④⑤
探究一
探究二
探究三
思维辨析
多面体的表面展开与折叠
例2
如图是三个几何体的表面展开图,请问它们是什么几何体?
思路分析:几何体的侧面展开图的特点→紧扣概念→还原为原几何体
解:①五棱柱;②五棱锥;③三棱台.如图所示.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间几何体展开图的解题策略
1.解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥直观想象能力和动手实践能力.
2.若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面.
3.若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练2下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析:A,B,C中底面图形的边数与侧面的个数不一致,故不能围成棱柱.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
多面体表面距离最短问题
例3
如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,
∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.
思路分析:把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时,其周长最小.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,
如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟“化曲为直”求最短距离
本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A,B之间的最短绳长.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.因为OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短的绳长为5.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
一题多变——几何体的计算问题
典例正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2
,求正三棱锥的高.
提示:正三棱锥?侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形?勾股定理求解.
解:作出正三棱锥如图,SO为其高,连接AO,作OD⊥AB于点D,则点D为AB的中点.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法总结
1.正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高PO,底面为正方形,作PE⊥CD于E,则PE为斜高.
(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图1中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形,如图1中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形,如图1中Rt△POC.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
2.正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图2(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面中心,作O1E1⊥B1C1于E1,OE⊥BC于E,则E1E为斜高,
(1)斜高、侧棱构成直角梯形,如图2中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形,如图2中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形,如图2中梯形O1OCC1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”,如何解答?
1
2
3
4
1.有两个面平行的多面体不可能是( )
A.棱柱
B.棱锥
C.棱台
D.以上都不正确
解析:因为棱锥的任意两个面都相交,
所以不可能是棱锥.
答案:B
1
2
3
4
2.棱台不具备的性质是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.所有棱都相等
D.侧棱延长后都交于一点
答案:C
1
2
3
4
3.长方体的长、宽、高之比为5∶3∶2,对角线长为2
,则其长、宽、高分别为 .?
1
2
3
4
4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在正方体表面上,从顶点A到顶点C1的最短距离为 .?
解析:将侧面ABB1A1与上底面A1B1C1D1展开在同一平面上,连接AC1,(共36张PPT)
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征
一
二
三
四
五
一、圆柱的结构特征
1.如图,矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周,其余三边BC,CD,DA旋转各形成什么图形?共同围成什么空间几何体?
提示:边BC,DA旋转一周各形成一个圆面,边CD旋转一周形成一个曲面,它们共同围成一个圆柱.
一
二
三
四
五
2.如图,在圆柱中任取不重合的两条母线,如AB,CD,它们有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AC,AC还是母线吗?
提示:AB∥CD,截面ABCD是矩形.AC不是母线.
一
二
三
四
五
3.关于圆柱的结构特征,请完成下表:
一
二
三
四
五
二、圆锥的结构特征
1.如图,Rt△ABC绕其一直角边AC所在的直线旋转一周,其余两边BC,AB旋转各形成什么图形?它们共同围成什么空间几何体?
提示:边BC旋转一周形成一个圆面,边AB旋转一周形成一个曲面,它们共同围成一个圆锥.
一
二
三
四
五
2.如图,在圆锥中任取不重合的两条母线,如AB,AD,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?
提示:AB与AD相交于点A,截面ABD是过顶点A的等腰三角形.
一
二
三
四
五
3.关于圆锥的结构特征,请完成下表:
一
二
三
四
五
三、圆台的结构特征
1.如图,用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是什么几何体?
提示:圆台.
一
二
三
四
五
2.如图,直角梯形ABCD绕其垂直于底边的腰BC所在的直线旋转一周,腰AD与底边AB,CD旋转形成什么图形?它们共同围成什么几何体?
提示:腰AD旋转一周形成一个曲面,底边AB,CD各旋转一周形成一个圆面,它们共同围成一个圆台.
一
二
三
四
五
3.如图,在圆台中任取两条不重合的母线,如AD,EF,它们之间有何关系?过它们的截面是怎样的图形?连接AF,AF还是母线吗?
提示:AD与EF反向延长后交于一点.过AD,EF的截面是等腰梯形.AF不是母线.
一
二
三
四
五
4.关于圆台的结构特征,请完成下表:
一
二
三
四
五
5.圆柱、圆锥、圆台的形状虽然不同,但是它们之间既有区别又有联系,并且在一定条件下可以相互转化,如图,你能根据所给图形描述一下它们之间是怎样相互转化的吗?
提示:当圆台的下底面保持不变,而上底面越来越大时,圆台就越来越接近于圆柱,当上底面增大到与下底面相同时,圆台就转化为圆柱;当圆台的上底面越来越小时,圆台就越来越接近于圆锥,当上底面收缩为一个点时,圆台就转化为圆锥了.
一
二
三
四
五
6.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱.( )
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台.( )
(3)用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
一
二
三
四
五
四、球的结构特征
1.如图,把半圆绕其直径所在的直线旋转一周,半圆弧旋转形成什么图形?如果是把整个的圆绕其一条直径所在的直线旋转半周,圆弧旋转形成什么图形?它们各自围成什么空间几何体?
提示:半圆弧旋一周转形成一个球面,圆弧旋转形成的也是一个球面,它们围成的空间几何体都是球.
一
二
三
四
五
2.在球面上任取两点A,B,线段AB一定是球的直径吗?什么时候是直径?
提示:不一定.当线段AB过球心时是直径.
3.关于球的结构特征,请完成下表:
一
二
三
四
五
4.做一做:如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请把第一、第二排中相应的图形用线连起来.
答案:(1)—C (2)—B (3)—D (4)—A
一
二
三
四
五
五、简单组合体
1.下图中的两个空间几何体是柱、锥、台、球体中的一种吗?它们是如何构成的?
提示:这两个空间几何体都不是单纯的柱、锥、台、球体,而是由柱、锥、台、球体中的三种或两种组合而成的几何体.
一
二
三
四
五
2.填空:
(1)简单组合体的概念:由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.
(2)简单组合体的基本形式:一种是由简单几何体拼接而成;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
3.做一做:将图甲所示的三角形绕直线l旋转一周,可以得到图乙所示的几何体的是 .(填序号)?
图甲
图乙
答案:②
探究一
探究二
探究三
思想方法
旋转体的结构特征
例1下列命题正确的是 .(填序号)?
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥;
⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球;
⑥用一个平面去截球,得到的截面是一个圆面.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解析:①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥;②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台;③它们的底面为圆面;④⑤⑥正确.
答案:④⑤⑥
反思感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练1给出下列说法:①经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;②圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交;③夹在圆柱的两个截面间的几何体是一个旋转体.其中说法正确的是 .(填序号)?
解析:①正确,如图所示,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;
②不正确,圆台的母线延长后必相交于一点;
③不正确,圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体.
答案:①
探究一
探究二
探究三
思想方法
组合体的结构特征
例2
描述下列几何体的结构特征.
思路分析:根据简单组合体的两种基本构成形式进行分析.
解:图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟简单组合体构成的判断技巧
(1)准确理解简单几何体(柱、锥、台、球)的结构特征;
(2)正确掌握简单组合体构成的两种基本形式;
(3)若用分割的方法,则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线(或面).
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练2如图(1)(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:旋转后的图形如图所示.其中(1)是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;(2)是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
探究一
探究二
探究三
思想方法
旋转体中的计算
例3如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3
cm,求圆台O'O的母线长.
探究一
探究二
探究三
思想方法
思路分析:过圆锥的轴作截面,利用三角形相似来解决.
解:设圆台的母线长为l
cm,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r
cm,4r
cm.
过轴SO作截面,如图.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟旋转体中的计算问题解题策略
用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程组而得解.这种立体问题平面化的思想是解答旋转体中计算问题的关键.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究本例中若圆台的上底面半径为1
cm,其他条件不变,试求圆台的高.
解:∵圆台的上底面半径为1
cm,∴下底面半径为4
cm.
探究一
探究二
探究三
思想方法
转化与化归思想在空间几何体中的应用
典例如图,底面半径为1,高为2的圆柱,在点A处有一只蚂蚁,现在这只蚂蚁要围绕圆柱由点A爬到点B,问蚂蚁爬行的最短距离是多少?
【审题视角】将圆柱的侧面沿母线剪开→侧面展开图→最短距离→计算求值
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:把圆柱的侧面沿AB剪开,然后展开成为矩形,如图,连接AB',则AB'即为蚂蚁爬行的最短距离.
∵AB=A'B'=2,AA'为底面圆的周长,且AA'=2π×1=2π,
方法点睛求旋转体侧面上两点间的最短距离,一般转化为侧面展开图上两点间的距离进行求解.
1
2
3
4
1.下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A.圆台
B.球
C.圆柱
D.棱柱
答案:B
1
2
3
4
2.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为( )
A.一个球体
B.一个球体中间挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球体中间挖去一个长方体
解析:圆面绕着直径所在的轴旋转而形成球,矩形绕着轴旋转而形成圆柱.
答案:B
1
2
3
4
3.如图,蒙古包可以看作是由 和 构成的几何体.?
解析:上半部分为圆锥,下半部分为圆柱.
答案:圆锥 圆柱
1
2
3
4
4.若一个圆锥的母线长为20
cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为
cm.?
解析:如图是圆锥的轴截面,则SA=20
cm,∠ASO=30°,(共29张PPT)
1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1~1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
一
二
一、投影的概念及分类
1.请同学们观察下面三组手影,思考一下它们是怎样形成的?
提示:光照射到手上,在墙上(或屏幕上)留下的影子.
2.不同的光源发出的光线是有差异的,其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同?
提示:灯泡发出的光线是由一点向外分散发射的;手电筒发出的光是一束平行光线.
一
二
3.用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体,在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系?当物体与手电筒的距离发生变化时,影子的大小会有变化吗?
提示:形状和大小是相同的;当物体与手电筒的距离发生变化时,影子的大小不变.
4.一个与投影面平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?一个与投影面不平行的平面图形,在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化?
提示:与投影面平行的平面图形,在正投影和斜投影下形状、大小都不发生变化;与投影面不平行的平面图形,在正投影和斜投影下形状、大小会发生变化.
一
二
5.关于投影的概念及分类,请完成下表:
一
二
6.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)一个点在一个平面内的投影仍是一个点.( )
(2)一条线段在一个平面内的投影仍是线段.( )
(3)一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线.( )
(4)一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×
一
二
二、三视图的分类及画法规则
1.如梦似幻的“水立方”,不管从哪个方向来看,你都会被她婀娜多姿的风采所吸引.把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面图形,从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小,通常选择三种正投影,即正面、侧面和上面.你能画出如图所示的长方体的三视图吗?
一
二
提示:三视图如图所示.
一
二
2.关于三视图的分类及画法规则,请完成下表:
一
二
3.做一做:如图,该几何体的俯视图是 (填序号).?
答案:②
4.在简单组合体中,从正视、侧视、俯视等角度观察,有些轮廓线和棱能看见,有些轮廓线和棱不能看见,在画三视图时怎样处理?
提示:能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
中心投影与平行投影
例1下列说法:
①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可能变成了相交的直线;③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.
其中正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线有可能变成相交线,如照片中由近到远物体之间的距离越来越近,最后相交于一点;几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.故3种说法都正确.
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟中心投影与平行投影的判断方法
1.考察一个几何体的投影是什么图形,先分清楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何,再根据平行投影或中心投影的性质来判断.
2.平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系,位置发生改变,一般情况下投影也会改变.
3.中心投影与人的视觉效果一致,解题时可结合生活实际作出判断.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
如图,这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后,在地面上形成的阴影(圆形)的示意图.已知桌面的直径为1.2
m,桌面距离地面1
m.若灯泡距离地面3
m,则地面上阴影部分的面积为 m2(忽略桌脚).?
解析:设地面阴影圆的半径为x
m,则有
,解得x=0.9,故阴影圆的面积为S=πx2=0.81π(m2).
答案:0.81π
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间几何体的三视图
例2
画出下列几何体的三视图.
思路分析:形体分析→确定方向→画三视图→排列方法
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟画三视图的基本步骤
(1)形体分析:是简单几何体还是简单组合体.如果是简单组合体的话,分析组合体是由哪几部分组成及各部分之间的相对位置.
(2)确定方向:画三视图时,要想象几何体的后面、右面、下面各有一个屏幕,一组平行光线分别从前面、左面、上面垂直照射,我们画的是影子的轮廓.
(3)排列方法:正视图与侧视图在同一水平位置,且正视图在左,侧视图在右,俯视图在正视图的正下方.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练画出下列几何体的三视图.
解:(1)为正六棱柱,正视图和侧视图都是矩形,正视图中有两条竖线,侧视图中有一条竖线,俯视图是正六边形.(2)为一个圆锥与一个圆台的组合体,按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状.三视图如图.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
由三视图还原空间几何体
例3
根据下列图中所给出的几何体的三视图,试画出它们的形状.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
思路分析:结合图形,充分发挥空间想象力,先确定是什么几何体,再画出图形.
解:(1)对应的几何体是一个六棱锥,(2)对应的几何体是一个三棱柱,则所对应的空间几何体的图形分别如图所示.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟1.由三视图还原空间几何体的策略:
(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体.若正视图和侧视图为矩形,则原几何体为柱体;若正视图和侧视图为等腰三角形,则原几何体为锥体;若正视图和侧视图为等腰梯形,则原几何体为台体.
(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体.若俯视图为多边形,则原几何体为多面体;若俯视图为圆,则原几何体为旋转体.
2.由三视图还原空间几何体的步骤:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究若将本例(1)中的三视图改为如右三视图,试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.
解:由三视图可知该几何体为四棱锥,其中左侧面与底面垂直,底面为直角梯形,对应空间几何体如下图:
探究一
探究二
探究三
思维辨析
对三视图识别不清而致误
典例一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个正三棱柱的底面面积.
点拨:先由几何体的三视图还原出原几何体,再根据几何体的特点求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思在本题中2
cm实为底面正三角形的高,常误认为是底面正三角形的边长而出错.
误区警示三视图还原成直观图时一定要抓住“长对正、高平齐、宽相等”的原则,搞清直观图和三视图中线段长度之间的关系,避免出错.
1
2
3
4
1.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可能是( )
A.球
B.三棱锥
C.正方体
D.圆柱
解析:圆柱的正视图和侧视图都是矩形,而俯视图为圆,不可能三个视图相同.
答案:D
1
2
3
4
2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,C1D1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,则四边形AGFE在该正方体的各个面上的正投影可能是图①②③④中的 .?
答案:图①、图②、图③
1
2
3
4
3.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱
1
2
3
4
解析:如图,几何体为三棱柱.
答案:B
1
2
3
4
4.如图,在下列几何体中,正视图与侧视图都是长方形的是
(填序号).?
解析:②的侧视图是三角形,⑤的正视图和侧视图都是等腰梯形,其余的都符合条件.
答案:①③④(共27张PPT)
1.2.3 空间几何体的直观图
一
二
一、水平放置的平面图形的直观图画法
1.如图,观察边长2
cm的正方形ABCD及其直观图,A'B'与C'D'有何位置关系?A'D'与B'C'呢?AB与A'B'相等吗?AD与A'D'呢?
一
二
2.填空:用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
一
二
3.做一做:已知在平面直角坐标系中,一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4
cm,若AB∥x轴,则画出直观图后对应线段A'B'= cm,若AB∥y轴,则画出直观图后对应线段A'B'=
cm.?
答案:4 2
4.做一做:
如图,直观图△AO'B,其对应的原平面图形的面积为 .?
答案:6
一
二
5.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)相等的角,在直观图中仍相等.( )
(2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等.( )
(3)若两条线段平行,则在直观图中对应的线段仍平行.( )
(4)若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
一
二
二、空间几何体的直观图的画法
1.阅读课本,你能用斜二测画法画出长、宽、高分别为8
cm、6
cm、4
cm的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图吗?
提示:(1)画轴.如图,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
一
二
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=8
cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=3
cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取4
cm长的线段AA',BB',CC',DD'.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到长方体的直观图.
2.填空:画立体图形的直观图,在画轴时,要多画一条与平面x'O'y'垂直的轴O'z',且平行于O'z'的线段长度不变,其他同平面图形的直观图的画法.
探究一
探究二
探究三
思想方法
画水平放置的平面图形的直观图
例1
如图,画出水平放置的等腰梯形的直观图.
思路分析:建系→定点→连线成图
探究一
探究二
探究三
思想方法
画法:(1)如图,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立平面直角坐标系,画对应的坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°.
(2)以点O'为中点在x'轴上取A'B'=AB,在y'轴上取O'E'=
OE,以E'为中点画C'D'∥x'轴,并使C'D'=CD.
(3)连接B'C',D'A',所得的四边形A'B'C'D'就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟画水平放置的平面图形的直观图的技巧:
1.在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.
2.画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究把本例图形换成右图,试画出该图的直观图.
解:(1)在已知的直角梯形ABCD中,以底边AB所在直线为x轴,垂直于AB的腰AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系.如图①.
(2)画相应的x'轴和y'轴,使∠x'O'y'=45°,在x'轴上取O'B'=AB,在y'轴上取O'D'=
AD,过D'作x'轴的平行线l,在l上沿x'轴正方向取点C'使得D'C'=DC.如图②.
(3)连接B'C',所得四边形O'B'C'D'就是直角梯形ABCD的直观图.如图③.
探究一
探究二
探究三
思想方法
画空间几何体的直观图
例2画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.
思路分析画轴→画底面→画顶点→成图
画法(1)画轴:
画Ox轴、Oy轴、Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图①.
(2)画底面:
以O为中心,在xOy平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点:在Oz轴上截取OP,使OP的长度是原四棱锥的高.
(4)成图:顺次连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟画空间几何体的直观图的四个步骤
(1)画轴.通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面.根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点.利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.画图完成后,擦除辅助线,看得见的部分用实线,被遮挡的部分用虚线(或不画),就得到了几何体的直观图.
探究一
探究二
探究三
思想方法
直观图的还原与计算问题
例3如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',A1B1∥C1D1,A1B1=
C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形的形状,并求原图形的面积.
思路分析:解答本题可先由斜二测画法的逆步骤来作,先确定点,再连线画出原图,然后进行计算.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O'D1=1,OC=O'C1=2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA=2D1A1=2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB=A1B1=2.连接BC,即得到了原图形(如图).
由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟直观图的还原技巧
1.由直观图还原为原图形是画直观图的逆过程:一是在直观图中建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,对应地建立直角坐标系xOy;二是平行x'轴的线段长度不变,平行y'轴的线段扩大为原来的2倍;三是对于相邻两边不与x',y'轴平行的顶点可通过作x'轴、y'轴的平行线变换确定其在xOy中的位置.还原时,要注意坐标系变化前后变化的量与不变的量,计算时要结合两个坐标轴确定数据.
2.原图形的面积S原与直观图的面积S直观有如下关系:S直观=
S原.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练如图,在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2
cm,则在xOy坐标中原四边形OABC为 (填形状),面积为
cm2.?
解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形.因为OA=2
cm,OC=4
cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).
答案:矩形 8
探究一
探究二
探究三
思想方法
转化与化归思想在三视图和直观图中的应用
典例
某几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画出它的直观图.
【审题视角】
三视图→六棱台→画轴→画底面→画顶点→成图
探究一
探究二
探究三
思想方法
画法:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面☉O的直观图,在z轴上截取OO',使OO'等于三视图中相应的高度,过点O'作Ox的平行线O'x',作Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出上底面☉O'的直观图.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上取点P,使PO'等于三视图中相应的高度.
(4)成图.连接PA',PB',A'A,B'B,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图②.
探究一
探究二
探究三
思想方法
方法点睛由三视图画几何体的直观图,首先要认清几何体的结构特征,这是解决此类问题的关键,然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图.画旋转体的直观图时,常用椭圆模板画底面圆的直观图.
1
2
3
4
1.如图,已知等腰三角形ABC,则下图所示的四个图形中,可能是△ABC的直观图的是( )
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
1
2
3
4
解析:当∠x'O'y'=135°时,其直观图是③;
当∠x'O'y'=45°时,其直观图是④.
答案:D
1
2
3
4
2.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图,得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图),则原图形的形状是( )
1
2
3
4
答案:A
1
2
3
4
3.如图所示,一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O',若O'B'=1,那么原三角形ABO的面积是( )
答案:C
1
2
3
4
4.如图为一个水平放置的矩形ABCO,在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(4,2),则用斜二测画法画出的该矩形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为 .?
解析:直观图如图,则O'A'=B'C'=1,∠B'C'x'=45°,故B'到x'轴的距离(共37张PPT)
1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
一
二
三
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
1.正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示,则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系?
提示:相等.
一
二
三
2.棱柱、棱锥、棱台的展开图是怎样的?如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积?
提示:如下图所示,首先需求出各个展开图中的每部分平面图形的面积,然后求和即可.
一
二
三
3.填空:
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积.
4.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( )
(2)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解,其中l为侧棱长,c为底面周长.( )
答案:(1)√ (2)×
一
二
三
二、圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积?
提示:圆柱的侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.
一
二
三
2.如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积?
提示:圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形面积为
×2πrl=πrl,
∴S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长.
一
二
三
3.如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积?
一
二
三
4.圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?
提示:如图所示.
一
二
三
5.关于旋转体的表面积,请完成下表:
一
二
三
6.做一做:
(1)圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为 ,表面积为 .?
(2)如图,圆锥的底面半径为1,高为
,则圆锥的侧面积为 .?
(3)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于 .?
答案:(1)24π 32π (2)2π (3)67π
一
二
三
三、柱体、锥体、台体的体积
1.长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示?根据这些体积公式,推测柱体的体积计算公式如何?
提示:V长方体=abc,V正方体=a3,V圆柱=πr2h,根据这些体积公式可知:设柱体的底面面积为S,高为h,则柱体的体积公式为V柱体=Sh.
2.圆锥的体积公式如何表示?根据圆锥的体积公式,推测锥体的体积计算公式如何?
一
二
三
3.台体的上底面积S',下底面积S,高h,则台体的体积是怎样的?圆台的体积公式如何用上、下底面半径及高表示?
4.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系怎么样?
提示:如图.
一
二
三
5.做一做:(1)如图,某几何体下面部分为正方体ABCD-A'B'C'D',上面部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为 .?
V=V正方体+VS-ABCD=12.
答案:12
(2)已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则棱台的体积为 .?
答案:28
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间几何体的表面积
例1如图,已知直角梯形ABCD,BC∥AD,∠ABC=90°,
AB=5,BC=16,AD=4.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
解:以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台,其上底半径
是4,下底半径是16,母线DC=
=13.故该几何体的表面积为π(4+16)×13+π×42+π×162=532π.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟空间几何体表面积的求解方法
1.解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图,借助于平面几何知识,求得所需几何要素,代入公式求解即可,基本步骤如下:
(1)得到空间几何体的平面展开图;
(2)依次求出各个平面图形的面积;
(3)将各平面图形的面积相加.
2.正棱锥及正棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究在上题题设条件不变的情况下,求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
解:以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图.
其中圆锥的高为16-4=12,圆柱的母线长为AD=4,故该几何体的表面积为2π×5×4+π×52+π×5×13=130π.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
空间几何体的体积
例2
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.截面A1DB将正方体分成两部分,其体积分别为V1,V2,且V2>V1.
(1)求V1,V2以及V1∶V2;
(2)求A到平面A1BD的距离d.
思路分析:(1)首先明确截面将正方体分成的两个几何体的结构特征,然后求出V1,而V2直接用正方体的体积减去V1即得;(2)利用三棱锥的结构特征,根据等积变换列出方程求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)截面将正方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,
其中底面△ABD是腰长为a的等腰直角三角形,
所以V1∶V2=1∶5.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)三棱锥A1-ABD与三棱锥A-A1BD是同一个几何体.在△A1BD中,A1B=BD=A1D=
a,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟求几何体体积的常用方法
探究一
探究二
探究三
思维辨析
延伸探究若【例2】中的正方体改为长方体,则对应截面将该几何体分成两部分的体积之比是否会发生变化?试证明你的结论.
解:不妨设长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c.截面将长方体化为两个几何体,其中较小部分是一个三棱锥A1-ABD,其中底面△ABD是两直角边分别为a,b的直角三角形,其面积
探究一
探究二
探究三
思维辨析
与三视图有关的表面积和体积
例3
(1)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( )
A.72
B.66
C.60
D.30
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:(1)由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱,且底面为直角三角形,直角边长分别为3和4,斜边长为5,三棱柱的高为5,如图所
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1截取三棱台AEF-A1B1D1后剩余的部分.
答案:(1)A (2)C
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟表面积与体积的计算方法
已知几何体的三视图求其表面积或体积时,先由三视图还原作出直观图,再根据三视图中所给数据,得到直观图中计算表面积和体积所需要的有关数据,最后利用表面积或体积公式求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图如图所示,AA1=3,则这个三棱柱的表面积和体积分别为
.?
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:直观图如图,由题意可知,
探究一
探究二
探究三
思维辨析
一题多变——求正棱台的体积
典例已知正四棱台两底面边长分别为20
cm和10
cm,侧面积是780
cm2.求正四棱台的体积.
思路分析可以尝试借助四棱台内的直角梯形,求出棱台底面积和高,从而求出体积.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:如图所示,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=10
cm,AB=20
cm.取A1B1的中点E1,AB的中点E,则E1E是侧面ABB1A1的高.设O1、O分别是上、下底面的中心,则四边形EOO1E1是直角梯形.
方法总结
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练
本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2
cm和4
cm,侧棱长为2
cm,求该棱台的体积.”
解:如图,正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,上、下底面边长分别为2
cm和4
cm,
1
2
3
4
1.若正方体的表面积为96,则正方体的体积为( )
A.48
B.64
C.16
D.96
解析:设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.
答案:B
1
2
3
4
2.(2018·全国1,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以
答案:B
1
2
3
4
3.各棱长都为2的正四棱锥的体积为 .?
1
2
3
4
4.如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,截下一个棱锥D'-A'DC,则棱锥D'-A'DC的体积与剩余部分的体积的比值为 .?
解析:设AB=a,AD=b,DD'=c,
则长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V=abc.
∵V三棱锥D'-A'DC=V三棱锥C-A'DD',(共20张PPT)
1.3.2 球的体积和表面积
球的体积和表面积
1.球的表面无法像柱、锥、台体一样展成平面图形,怎样求出球的表面积和体积呢?就目前我们已有的知识水平还解决不了,我们不妨先记住公式,做到熟练运用.设球的半径为R,则它的体积V=
πR3,表面积S=4πR2.观察这两个公式,它们都有什么特点?
提示:这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R唯一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数,并且表面积为半径为R的圆面积的4倍.
2.做一做:已知球的表面积是16π,则该球的体积为 .?
解析:设球的半径为R,则由题意可知4πR2=16π,解得R=2.所以球的半径为2,
3.做一做:
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)设球的截面圆上一点A,球心为O,截面圆心为O1,则△AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形.
( )
(2)若将气球的半径扩大到原来的2倍,则它的体积增大到原来的4倍.
( )
(3)球与圆柱的底面和侧面均相切,则球的直径等于圆柱的高,也等于圆柱底面圆的直径.
( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
探究一
探究二
探究三
思想方法
球的表面积和体积
例1过球面上三点A,B,C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半,且AB=BC=CA=3
cm,求球的体积和表面积.
思路分析解决本题要充分利用已知条件,尤其是球半径,截面圆半径和球心距构成的直角三角形.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解:如图,设过A,B,C三点的截面为圆O',连接OO'、AO、AO'.
∵AB=BC=CA=3
cm,
∴O'为正三角形ABC的中心,
∵OO'⊥截面ABC,
∴OO'⊥AO',
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟球的表面积与体积的求法
因为球的表面积与体积都是球半径的函数,所以在解答这类问题时,设法求出球的半径是解题的关键.
探究一
探究二
探究三
思想方法
变式训练若两球的表面积之差为48π,它们的半径之和为6,则两球的体积之差的绝对值为 .?
解析:设两个球的半径分别为R,r(R>r),
探究一
探究二
探究三
思想方法
由三视图求与球有关的组合体的体积与表面积
例2
某个几何体的三视图如图(单位:m).
(1)求该几何体的表面积;
(2)求该几何体的体积.
探究一
探究二
探究三
思想方法
思路分析:本题条件中给出的是几何体的三视图及数据,解题时要先根据俯视图来确定几何体的上、下部分形状,再根据侧视图与正视图确定几何体的形状,最后根据有关数据计算.
解:由三视图可知,此几何体是由一个半径为1的半球和一个棱长为2的正方体组成.
反思感悟球的组合体体积的计算方法
(1)由三视图求与球有关的组合体的表面积或体积时,最重要的是还原组合体,并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义,根据组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积.
(2)计算与球有关的组合体的表面积与体积时还要注意恰当地分割与拼接,避免重叠和交叉等.
探究一
探究二
探究三
思想方法
与球有关的组合体
例3
各棱长均为
的四面体内有一内切球,求该球的体积.
思路分析:等体积法→内切球的半径→球的体积
解:如图,在四面体S-ABC中,取底面△ABC的中心为O1,连接SO1,O1A,则SO1⊥O1A.
探究一
探究二
探究三
思想方法
反思感悟常见的球的组合问题
与球有关的组合体一般有两类,一是与球内接的组合体,在此类组合体中,球心与多面体顶点的连线是半径;二是与球外切的组合体,在这一类组合体中,球心与各切点的连线是半径.在解答与球有关的组合体问题时,要注意这些半径的应用.
探究一
探究二
探究三
思想方法
延伸探究求本例所给四面体外接球的表面积.
解:设外接球半径为R,由上述例题解题过程可知,
探究一
探究二
探究三
思想方法
转化与化归思想在球的接、切问题中的应用
典例
在半球内有一个内接正方体,试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
【审题视角】
过正方体的对角面作一截面,在这个截面中用正方体的棱长、球半径的关系求解;或将球补为一个整球,利用球内接长方体求解.
探究一
探究二
探究三
思想方法
解法一作正方体对角面的截面,如图所示,设半球的半径为R,正方体的棱长为a,
探究一
探究二
探究三
思想方法
解法二将半球补成整个的球,同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体,构成的长方体刚好是这个球的内接长方体,则这个长方体的对角线便是它的外接球的直径.
设原正方体棱长为a,球的半径为R,则根据长方体的对角线性质,
方法点睛球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键,因此在解决球的有关问题时,我们必须抓住球的轴截面,并充分利用它来分析解决问题.
1
2
3
4
1.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:设两球的半径分别为R,r(R>r),
则由题意得
∴R-r=1.
答案:A
1
2
3
4
2.若把球的表面积扩大到原来的2倍,则体积扩大到原来的( )倍.
解析:设球变化前后的半径分别为r与r',
答案:B
1
2
3
4
3.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为 .?
答案:4R
1
2
3
4
4.一个正方体的外接球、正方体、正方体的内切球的表面积之比为 .?
解析:设正方体的棱长为2a,外接球半径为R,内切球半径为r,
所以,外接球、正方体、内切球的表面积之比为S1∶S2∶S3=(4πR2)∶[6×(2a)2]∶(4πr2)=[4π(
a)2]∶(24a2)∶(4πa2)=12π∶24∶4π=3π∶6∶π.
答案:3π∶6∶π
