浙江省杭州市萧山区城厢片五校2019届九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2019九下·萧山开学考）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．明天放假
【答案】A
【知识点】随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.旭日东升是必然事件，A符合题意；
B.守株待兔是随机事件，B不符合题意；
C. 大海捞针是随机事件， C不符合题意；
D. 明天放假是随机事件， D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】必然事件：一定发生的事件；随机事件：可能发生可能不发生的事件；由此即可得出答案.
2．（2019九下·萧山开学考）二次函数y=(x+1)2，与x轴交点坐标为（ ）
A．（—1,0） B．（1,0） C．（0，—1） D．（0,1）
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ∵y=(x+1)2，
令y=0，x=-1，
∴ 与x轴交点坐标 为（-1，0）.
故答案为：A.
【分析】令y=0即可求得二次函数与x轴交点坐标.
3．（2019九下·萧山开学考）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=m，则AB的长为（ ）
A．m sinα B． C．m cosα D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵ ∠C=90°，∠A=α，BC=m，
∴sinα=，
∴AB=.
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数正弦定义可得sinα=，由此即可求得答案.
4．（2019九下·萧山开学考）点P是半径为10的圆O所在平面上的一点，且点P到点O的距离为8.则过点P的直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交、相切、相离都有可能
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=8＜r，
∴点P在O内，
∴过点P的直线l与O相交.
故答案为：A.
【分析】根据点和圆的位置关系可得点P在O内，过圆内一点做一条直线可得该直线与O相交.
5．（2019九下·萧山开学考）如果一个扇形的半径是3，弧长是π，那么此扇形的圆心角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵r=3，l= π ，
∴l== π ，
∴n=60°.
故答案为：C.
【分析】根据弧长公式l=，代入数据计算即可得出答案.
6．（2019九下·萧山开学考）如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的点，在BA延长线上取点C，使得DC=DO，连结CD并延长交圆O于点E，连结AE，若∠C=18°，则∠EAB的度数为（ ）
A．18° B．21° C．27° D．36°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵DC=DO， ∠C=18°，
∴∠C=∠DOC=18°，
又∵∠DEA=∠DOA=9°，
∴∠EAB=∠C+∠CEA=27°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形性质得∠C=∠DOC=18°， 根据圆周角定理得∠DEA=∠DOA=9°，由三角形外角性质即可求得答案.
7．（2019九下·萧山开学考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC和BD交于点O，记S△AOD为S1，S△AOB为S2，S△BOC为S3，则下列关于比例中项的描述正确的是（ ）
A．S2是S1和S3的比例中项 B．S1是S2和S3的比例中项
C．S3是S1和S2的比例中项 D．不存在比例中项
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵ S△AOD=S1，S△AOB=S2，S△BOC=S3，
∴，
设点B到AC的距离为h，
又∵，
∴，
即S22=S1·S3，
∴ S2是S1和S3的比例中项.
故答案为：A.
【分析】由平行线可得△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得，由三角形面积公式得，代入即可得出答案.
8．（2019九下·萧山开学考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）、（2，y2）。下列结论：
①若y1＞0时，则a+b+c＞0；
②若a=2b时，则y1＜y2；
③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0。
其中正确的结论个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵ y1＞0 ， （1，y1） ，
∴a+b+c＞0 ，故①正确；
②∵ a=2b ，
∴对称轴x=-=-，
∴当a＞0时，开口向上，当x＞-时，y随x增大而增大，
∵1＜2，
∴y1＜y2；
当a＜0时，开口向下，当x＞-时，y随x增大而减少，
∵1＜2，
∴y1＞y2；
故②错误；
③∵（1，y1）、（2，y2） ， y1＜0，y2＞0，
∴a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，
解得：-3a-b＜0，
又∵ a+b＜0，
∴-2a＜0，
即a＞0.
故③正确；
综上所述：正确的有①③.
故答案为：C.
【分析】①由y1＞0 得a+b+c＞0 ，从而可得①正确；
②根据 a=2b 得对称轴x=-=-，分两种情况讨论：当a＞0时，即开口向上；当a＜0时，即开口向下；根据二次函数性质即可判断②错误；
③ 根据已知条件可得a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，从而可得-3a-b＜0，再结合已知条件可得a＞0.
9．（2019九下·萧山开学考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-2k和二次函数y=-kx2+2x-4（k是常数且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.∵一次函数图象过一、三、四象限，
∴k＞0，-2k＜0
∴-k＜0，
∴二次函数图象开口向下，
故错误，A不符合题意；
B.∵一次函数图象过一、三、四象限，
∴k＞0，-2k＜0
∴-k＜0，对称轴x=-=＞0，
∴二次函数图象开口向下，对称轴在x的正半轴，
故错误，B不符合题意；
C.∵一次函数图象过一、二、四象限，
∴k＜0，-2k＞0
∴-k＞0，对称轴x=-=＜0，
∴二次函数图象开口向上，对称轴在x的负半轴，
又∵一次函数y=kx-2k，
∴一次函数图象必经过（2，0），
∴当x=2时，二次函数y=-4k＞0，
故正确，C符合题意；
D.∵一次函数图象过一、二、四象限，
∴k＜0，-2k＞0
∴-k＞0，对称轴x=-=＜0，
∴二次函数图象开口向上，对称轴在x的负半轴，
又∵一次函数y=kx-2k，
∴一次函数图象必经过（2，0），
∴当x=2时，二次函数y=-4k＞0，
故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一次函数和二次函数图象的性质，求得k的范围，逐一分析即可求得答案.
10．（2019九下·萧山开学考）如图，矩形ABCD，AD=1，CD=2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连结AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P,Q,A三点的圆面积为S，则4π≤S＜。下列说法正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆的认识；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1
∵DP≥1，当△APB为等腰三角形，
∴AP＝AB，
在Rt△ADP中，∵∠D＝90°，AP＝2，AD＝1，
∴PA＝2AD，
∴∠APD＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠CPB＝∠ABP，
∵AP＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∴∠APB＝∠CPB＝75°，
∵P，Q关于BC对称，
∴BP＝BQ，
∴∠BPC＝∠BQC＝75°，
∴△APB∽△BPQ，故①正确．
②如图2中，作△APQ的外接圆⊙O．
当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，
当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，
在Rt△AOB中，则有x2＝22+（x﹣1）2，
∴x＝，
此时⊙O的面积＝π，
观察图象可知：4π≤S＜π．故②正确，
故答案为：A
【分析】①如图1，由DP≥1，当△APB为等腰三角形可知，AP＝AB，从而可得到PA=2AD，就可求出∠APD=30°，再利用平行线的性质及等腰三角形的性质，去证明∠APB＝∠CPB=75°，再利用P，Q关于BC对称，可证得∠BPC＝∠BQC＝75°，利用相似三角形的判定定理，可对①作出判断；作△APQ的外接圆⊙O．当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，利用勾股定理求出x的值，从而可求出此时圆的面积，即可S的取值范围，从而可对②作出判断，综上所述，可得到正确说法的序号。
二、填空题
11．（2019九下·萧山开学考）比较大小：cos30°
【答案】＞
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos30°=，
∴＞，
即cos30°＞.
故答案为：＞.
【分析】根据特殊角的三角函数值得cos30°=，根据实数的比较大小即可得出答案.
12．（2019九下·萧山开学考）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，要使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于，则至少取出了 个黑球。
【答案】9
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：设从袋中取出n个黑球，则放入n个黄球，依题可得：
P=≥，
解得：n≥，
∵n为整数，
∴n的最小整数是9，
即至少取出了9个黑球.
故答案为：9.
【分析】设从袋中取出n个黑球，则放入n个黄球，根据题意结合概率公式列出不等式 ，解之即可得出答案.
13．（2019九下·萧山开学考）已知关于x的一元二次方程x2+bx-c=0无实数解，则抛物线y= -x2-bx+c经过 象限。
【答案】三、四
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ 方程x2+bx-c=0无实数解，
∴△=b2+4c＜0，
又∵抛物线y= -x2-bx+c ，
∴△=b2+4c＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线图像在x轴下方，
∴抛物线y= -x2-bx+c经过三、四象限.
故答案为：三、四.（错写、少写均不给分）
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=b2+4c＜0，由抛物线解析式得△=b2+4c＜0，从而可得抛物线与x轴没有交点，根据其开口向下可得抛物线图像在x轴下方，由此即可得出答案.
14．（2017·保定模拟）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是 ．
【答案】1
【知识点】勾股定理的逆定理；切线的性质
【解析】【解答】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图，
∵AC为圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵AC=8，BC=6，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，且O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD= BC=3，
同理可得PO= AC=4，
∴PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1，
【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD（如图），由切线性质得出OD⊥AC，再由勾股定理逆定理得出∠ACB=90°，根据平行线的性质得出OD∥BC，且O为AB中点，由三角形中位线定理得OD= 1 2 BC=3，同理可得PO= 1 2 AC=4，从而得PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1.
15．（2019九下·萧山开学考）将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交.当y2≤y3时自变量x的取值范围是
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ y1=x2﹣2x﹣3 ，
∴ y1=（x-1）2﹣4，
∵将y1向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线y2，
∴ y1=x2，
∵，
解得：，，
∴ 当y2≤y3时自变量x的取值范围是：-1≤x≤3.
故答案为：-1≤x≤3.
【分析】根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”可得抛物线y2解析式，再将与y2与y3联立求得交点坐标，从而可得当y2≤y3时自变量x的取值范围.
16．（2019九下·萧山开学考）如图所示，在△ABD中，BC为AD边上的高线，tan∠BAD=1，在BC上截取CG=CD，连结AG，将△ACG绕点C旋转，使点G落在BD边上的F处，A落在E处，连结BE，若AD=4，tanD=3，则△CFD和△ECF的面积比为 ；BE长为 。
【答案】；
【知识点】全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥BD于点H
∵BC是高
∴∠ACB=∠BCD=90°
∵在Rt△ACB中， tan∠BAD=1
∴BC：AC=1
∴BC=AC
在Rt△BCD中， tanD=3
∴BC：CD=3
∴BC=3CD
设CD=x，则BC=3x
在△ACG和△BCD中
∴△ACG≌△BCD（SAS）
∴AC=BC=3x
∵ 将△ACG绕点C旋转，使点G落在BD边上的F处， A落在E处
∴△ACG≌△BCD≌△ECF
∴FC=CD=x
∵AD=CD+AC=x+3x=4x=4
解之：x=1
∴CD=CF=1，BC=AC=3
∴BD=
在Rt△BCD中，CH⊥BD
解之：CH=
∴DH==
∴DF=2DH=
∴S△DCF=
S△ECF=×3×1=
∴；
根据题意易证∠EBF=90°
∵BF=BD-DF=
在Rt△EBF中，
BE=
故答案为：；
【分析】过点C作CH⊥BD于点H，利用锐角三角函数的定义可证得BC=AC，BC=3CD，设CD=x，则BC=3x，再利用全等三角形的判定定理及旋转的性质可证得△ACG≌△BCD≌△ECF，利用全等三角形的性质，可知AC=BC=3x，FC=CD=x，再根据AD=4，就可求出x的值，从而可求出CD、CB、CF的长，再利用等腰三角形的性质及勾股定理求出CH、BF、BD的长，从而利用三角形的面积公式，分别求出△CFD和△ECF的面积，然后就可求出这两个三角形的面积比；利用已知易证△EBF是直角三角形，利用勾股定理求出BE的长即可。
三、解答题
17．（2019九下·萧山开学考）Jack同学寒假去野生动物园游玩，从Baidu地图查找线路发现，几条线路均要换乘，乘车
方案如下：在出发站点可选择空调车A，空调车B，普通车a；换乘点可选择空调车C，普通车b，普通车c，所有车辆均在同一站点换乘。
（1）求Jack同学在出发点乘坐空调车的概率；
（2）已知空调车票价2元，普通车票价1元，请用树状图或列表法求Jack同学到达动物园恰好花费3元公交费的概率。
【答案】（1）∵ Jack同学在出发点 可选择 空调车A，空调车B，普通车a，
∴P（ Jack同学在出发点乘坐空调车 ）=.
（2） 依题画出树状图：
，
由树状图可知：一共有9种等可能的结果，只有Ab、Ac、Bb、Bc、aB5种结果恰好花费3元，
∴P（ Jack同学到达动物园恰好花费3元公交费 ）=.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意结合概率公式即可求得答案.
（2）根据题意画出树状图，再由树状图和概率公式即可求得答案.
18．（2019九下·萧山开学考）Jack同学从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα=，然后又沿着坡比i=1:3的斜坡向上走了500米到达点C。
（1）Jack从点A到点B上升的高度是多少米？
（2）Jack从点A到点C上升的高度CD是多少米？
【答案】（1） 解： 作BF⊥AD，
∴∠BFA=90°，
在Rt△ABF中，
∵sinα==，
∴BF=ABsinα=650×=250（米），
答： Jack从点A到点C上升的高度CD是250米 .
（2）解：作BE⊥CD，∴∠BEC=90°，在Rt△CBE中，∵CE：BE=1：3，BC=500，设CE=x，则BE=3x，∴CE2+BE2=BC2，即x2+9x2=5002，解得：x=50，∴CE=50，得CD=CE+DE=CE+BF=50+250（米）.答： Jack从点A到点C上升的高度CD是50+250米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）作BF⊥AD，在Rt△ABF中，根据正弦定义可求得BF长.
（2） 作BE⊥CD，在Rt△CBE中，由CE：BE=1：3，设CE=x，则BE=3x，根据勾股定理求得CE=50，由CD=CE+DE=CE+BF即可求得答案.
19．（2019九下·萧山开学考）如图1所示，点P是线段AB的中点，且AB=12，现分别以AP，BP为边，在AB的同侧作等边△MAP和△NBP，连结MN。
（1）请只用不含刻度的直尺在图1中找到△MNP外接圆的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若将“点P是线段AB的中点”改成“点P是线段AB上异于端点的任意一点”，其余条件不变（如图2），请用文字写出△MNP外接圆圆心O的位置，并求出该圆半径的最小值。
【答案】（1） 连结AN、BM交于点O，点O即为所求，如图：
（2）O点为∠MAB角平分线和∠NBA角平分线的交点 ，如图：
当OP⊥AB时，半径最短 ，
可得r=2.
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）连结AN、BM交于点O，点O即为所求.
（2）O点为∠MAB角平分线和∠NBA角平分线的交点 ，当OP⊥AB时，半径最短 .
20．（2019九下·萧山开学考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米。（π取3）
（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB。并求出x的取值范围。
（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）
【答案】（1） 依题可得：
2AB+7x+πx=6，
∴AB=3-5x，
∵3-5x＞0，
∴0＜x＜，
∴ x的取值范围为：0＜x＜.
（2） 设窗户透光面积为S，依题可得：
S=2x·（3-5x）+πx2，
=-x2+6x，
=-（x-）2+，
∴当x=时，最大面积为.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据图形2AB+7x+弧长=6列出代数式，从而可得AB的表达式，由3-5x＞0，求得x的取值范围.
（2）设窗户透光面积为S，根据S=矩形面积+半个圆的面积列出二次函数解析式，再由二次函数的性质即可求得答案.
21．（2019九下·萧山开学考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长.
【答案】（1）连接OE，
∵OB=OE；∴∠OBE=∠OEB
∵BE平分∠ABC；∴∠OBE=∠CBE
∴∠OEB=∠CBE；∴OE∥BC
∴∠OEA=∠ACB=90°∴AC是⊙O的切线
（2） 解： 过O作OG⊥BF ，
∵BF=6，
∴BG=FG=3，
在Rt△OGB中，
∵OB=5，BG=3，
∴OG==4，
由（1）知 ∠OEA=∠ACB=90° ，
∵∠OGC=90° ，
∴四边形OGCE是矩形，
∴CE=OG=4.
【知识点】垂径定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连接OE，根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠OEB=∠CBE；由平行线判定得OE∥BC，根据平行线性质得∠OEA=∠ACB=90°，由切线的判定即可得证.
（2） 过O作OG⊥BF ，根据垂径定理得BG=FG=3，在Rt△OGB中，由勾股定理求得OG=4，由矩形的判定可得四边形OGCE是矩形，根据矩形性质即可求得答案.
22．（2019九下·萧山开学考）现有一次函数y=mx+n和二次函数y=mx2+nx+1，其中m≠0，
（1）若二次函数y=mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式。
（2）若一次函数y=mx+n经过点（2，0），且图像经过第一、三象限。二次函数y=mx2+nx+1经过点（a，y1）和(a+1，y2)，且y1＞y2，请求出a的取值范围。
（3）若二次函数y=mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y=x2+x+1也经过A点，已知-1＜h＜1，请求出m的取值范围。
【答案】（1） 解：∵二次函数经过点（2，0），（3，1），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为： y=x-，
二次函数解析式为： y=x2-x+1 .
（2） ∵ 一次函数y=mx+n经过点（2，0），
∴2m+n=0，
即n=-2m，
又∵ 一次函数图象经过第一、三象限
∴m＞0，
∴n＜0
∴二次函数对称轴x=-=1，
∵ y1＞y2，
∴2-a＞a+1，
解得：a＜，
∴a的取值范围是a＜.
（3） ∵ 二次函数y=mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k），
∴k=mh2+nh+1，h=-，
∵ A（h，k）在二次函数y=x2+x+1上，
∴k=h2+h+1，
∴mh2+nh+1=h2+h+1，
∴h=-，
∵ -1＜h＜1，
∴-1＜-＜1，
解得：m＜-2，或m＞0，
∴ m的取值范围为：m＜-2，或m＞0.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（2，0），（3，1）代入二次函数解析式，解方程即可得出m、n的值，从而可得两个函数解析式.
（2） 将点（2，0）代入一次函数得n=-2m，由一次函数图象经过第一、三象限得m＞0，n＜0从而可得二次函数对称轴x=-=1，根据二次函性质可得2-a＞a+1，解之即可得出答案.
（3）将点A坐标分别代入二次函数y=mx2+nx+1，y=x2+x+1上得mh2+nh+1=h2+h+1，将h=-代入上式得h=-，根据h的范围解不等式组即可得出m的取值范围.
23．（2019九下·萧山开学考）如图所示，△ABC为Rt△，∠ACB=90°，点D为AB的中点，点E为边AC上的点，连结DE，过点E作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，已知AC=8。
（1）如图1所示，当BC=6，点G在边AB上时，求DE的长。
（2）如图2所示，若，,点G在边BC上时，求BC的长。
（3）①若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求BC的长。
②若（n为正整数）且点G恰好落在Rt△ABC的边上，请直接写出BC的长。
【答案】（1） 如图1：在Rt△ACB中，
∵AC=8，BC=6，
∴AB==10，
又∵D为AB中点，
∴AD=BD=5，
∴tanA==，
即，
解得：DE=.
（2） 如图2：
设DE=x，则EF=CE=2x，
∵DE∥BC，AD=BD，
∴AE=CE=2x，
∵AC=8，
∴4x=8，
解得：x=2，
即DE=2，
∴BC=2DE=4.
（3）①当点G落在BC边上时，如图2：设DE=x，则EF=CE=4x，∵DE∥BC，AD=BD，∴AE=CE=4x，∵AC=8，∴8x=8，解得：x=1，即DE=2，∴BC=2DE=2；当点G落在AB边上时，作DH⊥AC于点H，设DH=x，则CE=4x，BC=2x，EH=4-4x，∵∠EDH=∠A，∠EHD=∠C，∴△HDE∽△CAB，∵，即，解得：x=4-8，即DH=4-8，∴BC=2DH=8-16；②若（n为正整数）时，同法可得：BC=或8.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB长，再由中点定义得AD=BD=5，根据正切定义
得tanA==，即，解之即可求得答案.
（2）设DE=x，则EF=CE=2x，根据中位线性质可得4x=8，解之求得x值，由BC=2DE即可求得答案.
（3）①当点G落在BC边上时；设DE=x，则EF=CE=4x，根据中位线性质可得8x=8，解之求得x值，由BC=2DE即可求得答案；
当点G落在AB边上时，作DH⊥AC于点H，设DH=x，则CE=4x，BC=2x，EH=4-4x，根据相似三角形判定和性质得，解之可得x值，由BC=2DH求得答案；
②若（n为正整数）时，解法同①即可求得答案.
1 / 1浙江省杭州市萧山区城厢片五校2019届九年级下学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2019九下·萧山开学考）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．旭日东升 B．守株待兔 C．大海捞针 D．明天放假
2．（2019九下·萧山开学考）二次函数y=(x+1)2，与x轴交点坐标为（ ）
A．（—1,0） B．（1,0） C．（0，—1） D．（0,1）
3．（2019九下·萧山开学考）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，BC=m，则AB的长为（ ）
A．m sinα B． C．m cosα D．
4．（2019九下·萧山开学考）点P是半径为10的圆O所在平面上的一点，且点P到点O的距离为8.则过点P的直线l与圆O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交、相切、相离都有可能
5．（2019九下·萧山开学考）如果一个扇形的半径是3，弧长是π，那么此扇形的圆心角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（2019九下·萧山开学考）如图，AB是半圆O的直径，D为半圆上的点，在BA延长线上取点C，使得DC=DO，连结CD并延长交圆O于点E，连结AE，若∠C=18°，则∠EAB的度数为（ ）
A．18° B．21° C．27° D．36°
7．（2019九下·萧山开学考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC和BD交于点O，记S△AOD为S1，S△AOB为S2，S△BOC为S3，则下列关于比例中项的描述正确的是（ ）
A．S2是S1和S3的比例中项 B．S1是S2和S3的比例中项
C．S3是S1和S2的比例中项 D．不存在比例中项
8．（2019九下·萧山开学考）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）、（2，y2）。下列结论：
①若y1＞0时，则a+b+c＞0；
②若a=2b时，则y1＜y2；
③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0。
其中正确的结论个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．（2019九下·萧山开学考）在同一平面直角坐标系中，一次函数y=kx-2k和二次函数y=-kx2+2x-4（k是常数且k≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019九下·萧山开学考）如图，矩形ABCD，AD=1，CD=2，点P为边CD上的动点（P不与C重合），作点P关于BC的对称点Q，连结AP，BP和BQ，现有两个结论：①若DP≥1，当△APB为等腰三角形时，△APB和△PBQ一定相似；②记经过P,Q,A三点的圆面积为S，则4π≤S＜。下列说法正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
二、填空题
11．（2019九下·萧山开学考）比较大小：cos30°
12．（2019九下·萧山开学考）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，要使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于，则至少取出了 个黑球。
13．（2019九下·萧山开学考）已知关于x的一元二次方程x2+bx-c=0无实数解，则抛物线y= -x2-bx+c经过 象限。
14．（2017·保定模拟）如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是 ．
15．（2019九下·萧山开学考）将抛物线y1=x2﹣2x﹣3先向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，与抛物线y2=ax2+bx+c重合，现有一直线y3=2x+3与抛物线y2=ax2+bx+c相交.当y2≤y3时自变量x的取值范围是
16．（2019九下·萧山开学考）如图所示，在△ABD中，BC为AD边上的高线，tan∠BAD=1，在BC上截取CG=CD，连结AG，将△ACG绕点C旋转，使点G落在BD边上的F处，A落在E处，连结BE，若AD=4，tanD=3，则△CFD和△ECF的面积比为 ；BE长为 。
三、解答题
17．（2019九下·萧山开学考）Jack同学寒假去野生动物园游玩，从Baidu地图查找线路发现，几条线路均要换乘，乘车
方案如下：在出发站点可选择空调车A，空调车B，普通车a；换乘点可选择空调车C，普通车b，普通车c，所有车辆均在同一站点换乘。
（1）求Jack同学在出发点乘坐空调车的概率；
（2）已知空调车票价2元，普通车票价1元，请用树状图或列表法求Jack同学到达动物园恰好花费3元公交费的概率。
18．（2019九下·萧山开学考）Jack同学从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα=，然后又沿着坡比i=1:3的斜坡向上走了500米到达点C。
（1）Jack从点A到点B上升的高度是多少米？
（2）Jack从点A到点C上升的高度CD是多少米？
19．（2019九下·萧山开学考）如图1所示，点P是线段AB的中点，且AB=12，现分别以AP，BP为边，在AB的同侧作等边△MAP和△NBP，连结MN。
（1）请只用不含刻度的直尺在图1中找到△MNP外接圆的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若将“点P是线段AB的中点”改成“点P是线段AB上异于端点的任意一点”，其余条件不变（如图2），请用文字写出△MNP外接圆圆心O的位置，并求出该圆半径的最小值。
20．（2019九下·萧山开学考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米。（π取3）
（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB。并求出x的取值范围。
（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）
21．（2019九下·萧山开学考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长.
22．（2019九下·萧山开学考）现有一次函数y=mx+n和二次函数y=mx2+nx+1，其中m≠0，
（1）若二次函数y=mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式。
（2）若一次函数y=mx+n经过点（2，0），且图像经过第一、三象限。二次函数y=mx2+nx+1经过点（a，y1）和(a+1，y2)，且y1＞y2，请求出a的取值范围。
（3）若二次函数y=mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y=x2+x+1也经过A点，已知-1＜h＜1，请求出m的取值范围。
23．（2019九下·萧山开学考）如图所示，△ABC为Rt△，∠ACB=90°，点D为AB的中点，点E为边AC上的点，连结DE，过点E作EF⊥ED交BC于F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，已知AC=8。
（1）如图1所示，当BC=6，点G在边AB上时，求DE的长。
（2）如图2所示，若，,点G在边BC上时，求BC的长。
（3）①若，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求BC的长。
②若（n为正整数）且点G恰好落在Rt△ABC的边上，请直接写出BC的长。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】随机事件；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A.旭日东升是必然事件，A符合题意；
B.守株待兔是随机事件，B不符合题意；
C. 大海捞针是随机事件， C不符合题意；
D. 明天放假是随机事件， D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】必然事件：一定发生的事件；随机事件：可能发生可能不发生的事件；由此即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ∵y=(x+1)2，
令y=0，x=-1，
∴ 与x轴交点坐标 为（-1，0）.
故答案为：A.
【分析】令y=0即可求得二次函数与x轴交点坐标.
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
∵ ∠C=90°，∠A=α，BC=m，
∴sinα=，
∴AB=.
故答案为：B.
【分析】在Rt△ABC中，根据锐角三角函数正弦定义可得sinα=，由此即可求得答案.
4．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵OP=8＜r，
∴点P在O内，
∴过点P的直线l与O相交.
故答案为：A.
【分析】根据点和圆的位置关系可得点P在O内，过圆内一点做一条直线可得该直线与O相交.
5．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵r=3，l= π ，
∴l== π ，
∴n=60°.
故答案为：C.
【分析】根据弧长公式l=，代入数据计算即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵DC=DO， ∠C=18°，
∴∠C=∠DOC=18°，
又∵∠DEA=∠DOA=9°，
∴∠EAB=∠C+∠CEA=27°.
故答案为：C.
【分析】由等腰三角形性质得∠C=∠DOC=18°， 根据圆周角定理得∠DEA=∠DOA=9°，由三角形外角性质即可求得答案.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵ S△AOD=S1，S△AOB=S2，S△BOC=S3，
∴，
设点B到AC的距离为h，
又∵，
∴，
即S22=S1·S3，
∴ S2是S1和S3的比例中项.
故答案为：A.
【分析】由平行线可得△AOD∽△COB，根据相似三角形的性质得，由三角形面积公式得，代入即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①∵ y1＞0 ， （1，y1） ，
∴a+b+c＞0 ，故①正确；
②∵ a=2b ，
∴对称轴x=-=-，
∴当a＞0时，开口向上，当x＞-时，y随x增大而增大，
∵1＜2，
∴y1＜y2；
当a＜0时，开口向下，当x＞-时，y随x增大而减少，
∵1＜2，
∴y1＞y2；
故②错误；
③∵（1，y1）、（2，y2） ， y1＜0，y2＞0，
∴a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，
解得：-3a-b＜0，
又∵ a+b＜0，
∴-2a＜0，
即a＞0.
故③正确；
综上所述：正确的有①③.
故答案为：C.
【分析】①由y1＞0 得a+b+c＞0 ，从而可得①正确；
②根据 a=2b 得对称轴x=-=-，分两种情况讨论：当a＞0时，即开口向上；当a＜0时，即开口向下；根据二次函数性质即可判断②错误；
③ 根据已知条件可得a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，从而可得-3a-b＜0，再结合已知条件可得a＞0.
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.∵一次函数图象过一、三、四象限，
∴k＞0，-2k＜0
∴-k＜0，
∴二次函数图象开口向下，
故错误，A不符合题意；
B.∵一次函数图象过一、三、四象限，
∴k＞0，-2k＜0
∴-k＜0，对称轴x=-=＞0，
∴二次函数图象开口向下，对称轴在x的正半轴，
故错误，B不符合题意；
C.∵一次函数图象过一、二、四象限，
∴k＜0，-2k＞0
∴-k＞0，对称轴x=-=＜0，
∴二次函数图象开口向上，对称轴在x的负半轴，
又∵一次函数y=kx-2k，
∴一次函数图象必经过（2，0），
∴当x=2时，二次函数y=-4k＞0，
故正确，C符合题意；
D.∵一次函数图象过一、二、四象限，
∴k＜0，-2k＞0
∴-k＞0，对称轴x=-=＜0，
∴二次函数图象开口向上，对称轴在x的负半轴，
又∵一次函数y=kx-2k，
∴一次函数图象必经过（2，0），
∴当x=2时，二次函数y=-4k＞0，
故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据一次函数和二次函数图象的性质，求得k的范围，逐一分析即可求得答案.
10．【答案】A
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆的认识；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①如图1
∵DP≥1，当△APB为等腰三角形，
∴AP＝AB，
在Rt△ADP中，∵∠D＝90°，AP＝2，AD＝1，
∴PA＝2AD，
∴∠APD＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠CPB＝∠ABP，
∵AP＝AB，
∴∠ABP＝∠APB，
∴∠APB＝∠CPB＝75°，
∵P，Q关于BC对称，
∴BP＝BQ，
∴∠BPC＝∠BQC＝75°，
∴△APB∽△BPQ，故①正确．
②如图2中，作△APQ的外接圆⊙O．
当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，
当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，
在Rt△AOB中，则有x2＝22+（x﹣1）2，
∴x＝，
此时⊙O的面积＝π，
观察图象可知：4π≤S＜π．故②正确，
故答案为：A
【分析】①如图1，由DP≥1，当△APB为等腰三角形可知，AP＝AB，从而可得到PA=2AD，就可求出∠APD=30°，再利用平行线的性质及等腰三角形的性质，去证明∠APB＝∠CPB=75°，再利用P，Q关于BC对称，可证得∠BPC＝∠BQC＝75°，利用相似三角形的判定定理，可对①作出判断；作△APQ的外接圆⊙O．当点O与B重合时，⊙O的半径最小，此时⊙O的面积为4π，当点P与C重合时，设OA＝OP＝x，利用勾股定理求出x的值，从而可求出此时圆的面积，即可S的取值范围，从而可对②作出判断，综上所述，可得到正确说法的序号。
11．【答案】＞
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵cos30°=，
∴＞，
即cos30°＞.
故答案为：＞.
【分析】根据特殊角的三角函数值得cos30°=，根据实数的比较大小即可得出答案.
12．【答案】9
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：设从袋中取出n个黑球，则放入n个黄球，依题可得：
P=≥，
解得：n≥，
∵n为整数，
∴n的最小整数是9，
即至少取出了9个黑球.
故答案为：9.
【分析】设从袋中取出n个黑球，则放入n个黄球，根据题意结合概率公式列出不等式 ，解之即可得出答案.
13．【答案】三、四
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ 方程x2+bx-c=0无实数解，
∴△=b2+4c＜0，
又∵抛物线y= -x2-bx+c ，
∴△=b2+4c＜0，
∴抛物线与x轴没有交点，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线图像在x轴下方，
∴抛物线y= -x2-bx+c经过三、四象限.
故答案为：三、四.（错写、少写均不给分）
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得△=b2+4c＜0，由抛物线解析式得△=b2+4c＜0，从而可得抛物线与x轴没有交点，根据其开口向下可得抛物线图像在x轴下方，由此即可得出答案.
14．【答案】1
【知识点】勾股定理的逆定理；切线的性质
【解析】【解答】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图，
∵AC为圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵AC=8，BC=6，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，且O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD= BC=3，
同理可得PO= AC=4，
∴PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1，
【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD（如图），由切线性质得出OD⊥AC，再由勾股定理逆定理得出∠ACB=90°，根据平行线的性质得出OD∥BC，且O为AB中点，由三角形中位线定理得OD= 1 2 BC=3，同理可得PO= 1 2 AC=4，从而得PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1.
15．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵ y1=x2﹣2x﹣3 ，
∴ y1=（x-1）2﹣4，
∵将y1向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到抛物线y2，
∴ y1=x2，
∵，
解得：，，
∴ 当y2≤y3时自变量x的取值范围是：-1≤x≤3.
故答案为：-1≤x≤3.
【分析】根据抛物线平移的规律“左加右减，上加下减”可得抛物线y2解析式，再将与y2与y3联立求得交点坐标，从而可得当y2≤y3时自变量x的取值范围.
16．【答案】；
【知识点】全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作CH⊥BD于点H
∵BC是高
∴∠ACB=∠BCD=90°
∵在Rt△ACB中， tan∠BAD=1
∴BC：AC=1
∴BC=AC
在Rt△BCD中， tanD=3
∴BC：CD=3
∴BC=3CD
设CD=x，则BC=3x
在△ACG和△BCD中
∴△ACG≌△BCD（SAS）
∴AC=BC=3x
∵ 将△ACG绕点C旋转，使点G落在BD边上的F处， A落在E处
∴△ACG≌△BCD≌△ECF
∴FC=CD=x
∵AD=CD+AC=x+3x=4x=4
解之：x=1
∴CD=CF=1，BC=AC=3
∴BD=
在Rt△BCD中，CH⊥BD
解之：CH=
∴DH==
∴DF=2DH=
∴S△DCF=
S△ECF=×3×1=
∴；
根据题意易证∠EBF=90°
∵BF=BD-DF=
在Rt△EBF中，
BE=
故答案为：；
【分析】过点C作CH⊥BD于点H，利用锐角三角函数的定义可证得BC=AC，BC=3CD，设CD=x，则BC=3x，再利用全等三角形的判定定理及旋转的性质可证得△ACG≌△BCD≌△ECF，利用全等三角形的性质，可知AC=BC=3x，FC=CD=x，再根据AD=4，就可求出x的值，从而可求出CD、CB、CF的长，再利用等腰三角形的性质及勾股定理求出CH、BF、BD的长，从而利用三角形的面积公式，分别求出△CFD和△ECF的面积，然后就可求出这两个三角形的面积比；利用已知易证△EBF是直角三角形，利用勾股定理求出BE的长即可。
17．【答案】（1）∵ Jack同学在出发点 可选择 空调车A，空调车B，普通车a，
∴P（ Jack同学在出发点乘坐空调车 ）=.
（2） 依题画出树状图：
，
由树状图可知：一共有9种等可能的结果，只有Ab、Ac、Bb、Bc、aB5种结果恰好花费3元，
∴P（ Jack同学到达动物园恰好花费3元公交费 ）=.
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】（1）根据题意结合概率公式即可求得答案.
（2）根据题意画出树状图，再由树状图和概率公式即可求得答案.
18．【答案】（1） 解： 作BF⊥AD，
∴∠BFA=90°，
在Rt△ABF中，
∵sinα==，
∴BF=ABsinα=650×=250（米），
答： Jack从点A到点C上升的高度CD是250米 .
（2）解：作BE⊥CD，∴∠BEC=90°，在Rt△CBE中，∵CE：BE=1：3，BC=500，设CE=x，则BE=3x，∴CE2+BE2=BC2，即x2+9x2=5002，解得：x=50，∴CE=50，得CD=CE+DE=CE+BF=50+250（米）.答： Jack从点A到点C上升的高度CD是50+250米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）作BF⊥AD，在Rt△ABF中，根据正弦定义可求得BF长.
（2） 作BE⊥CD，在Rt△CBE中，由CE：BE=1：3，设CE=x，则BE=3x，根据勾股定理求得CE=50，由CD=CE+DE=CE+BF即可求得答案.
19．【答案】（1） 连结AN、BM交于点O，点O即为所求，如图：
（2）O点为∠MAB角平分线和∠NBA角平分线的交点 ，如图：
当OP⊥AB时，半径最短 ，
可得r=2.
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）连结AN、BM交于点O，点O即为所求.
（2）O点为∠MAB角平分线和∠NBA角平分线的交点 ，当OP⊥AB时，半径最短 .
20．【答案】（1） 依题可得：
2AB+7x+πx=6，
∴AB=3-5x，
∵3-5x＞0，
∴0＜x＜，
∴ x的取值范围为：0＜x＜.
（2） 设窗户透光面积为S，依题可得：
S=2x·（3-5x）+πx2，
=-x2+6x，
=-（x-）2+，
∴当x=时，最大面积为.
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据图形2AB+7x+弧长=6列出代数式，从而可得AB的表达式，由3-5x＞0，求得x的取值范围.
（2）设窗户透光面积为S，根据S=矩形面积+半个圆的面积列出二次函数解析式，再由二次函数的性质即可求得答案.
21．【答案】（1）连接OE，
∵OB=OE；∴∠OBE=∠OEB
∵BE平分∠ABC；∴∠OBE=∠CBE
∴∠OEB=∠CBE；∴OE∥BC
∴∠OEA=∠ACB=90°∴AC是⊙O的切线
（2） 解： 过O作OG⊥BF ，
∵BF=6，
∴BG=FG=3，
在Rt△OGB中，
∵OB=5，BG=3，
∴OG==4，
由（1）知 ∠OEA=∠ACB=90° ，
∵∠OGC=90° ，
∴四边形OGCE是矩形，
∴CE=OG=4.
【知识点】垂径定理；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1） 连接OE，根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠OEB=∠CBE；由平行线判定得OE∥BC，根据平行线性质得∠OEA=∠ACB=90°，由切线的判定即可得证.
（2） 过O作OG⊥BF ，根据垂径定理得BG=FG=3，在Rt△OGB中，由勾股定理求得OG=4，由矩形的判定可得四边形OGCE是矩形，根据矩形性质即可求得答案.
22．【答案】（1） 解：∵二次函数经过点（2，0），（3，1），
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为： y=x-，
二次函数解析式为： y=x2-x+1 .
（2） ∵ 一次函数y=mx+n经过点（2，0），
∴2m+n=0，
即n=-2m，
又∵ 一次函数图象经过第一、三象限
∴m＞0，
∴n＜0
∴二次函数对称轴x=-=1，
∵ y1＞y2，
∴2-a＞a+1，
解得：a＜，
∴a的取值范围是a＜.
（3） ∵ 二次函数y=mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k），
∴k=mh2+nh+1，h=-，
∵ A（h，k）在二次函数y=x2+x+1上，
∴k=h2+h+1，
∴mh2+nh+1=h2+h+1，
∴h=-，
∵ -1＜h＜1，
∴-1＜-＜1，
解得：m＜-2，或m＞0，
∴ m的取值范围为：m＜-2，或m＞0.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点（2，0），（3，1）代入二次函数解析式，解方程即可得出m、n的值，从而可得两个函数解析式.
（2） 将点（2，0）代入一次函数得n=-2m，由一次函数图象经过第一、三象限得m＞0，n＜0从而可得二次函数对称轴x=-=1，根据二次函性质可得2-a＞a+1，解之即可得出答案.
（3）将点A坐标分别代入二次函数y=mx2+nx+1，y=x2+x+1上得mh2+nh+1=h2+h+1，将h=-代入上式得h=-，根据h的范围解不等式组即可得出m的取值范围.
23．【答案】（1） 如图1：在Rt△ACB中，
∵AC=8，BC=6，
∴AB==10，
又∵D为AB中点，
∴AD=BD=5，
∴tanA==，
即，
解得：DE=.
（2） 如图2：
设DE=x，则EF=CE=2x，
∵DE∥BC，AD=BD，
∴AE=CE=2x，
∵AC=8，
∴4x=8，
解得：x=2，
即DE=2，
∴BC=2DE=4.
（3）①当点G落在BC边上时，如图2：设DE=x，则EF=CE=4x，∵DE∥BC，AD=BD，∴AE=CE=4x，∵AC=8，∴8x=8，解得：x=1，即DE=2，∴BC=2DE=2；当点G落在AB边上时，作DH⊥AC于点H，设DH=x，则CE=4x，BC=2x，EH=4-4x，∵∠EDH=∠A，∠EHD=∠C，∴△HDE∽△CAB，∵，即，解得：x=4-8，即DH=4-8，∴BC=2DH=8-16；②若（n为正整数）时，同法可得：BC=或8.
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB长，再由中点定义得AD=BD=5，根据正切定义
得tanA==，即，解之即可求得答案.
（2）设DE=x，则EF=CE=2x，根据中位线性质可得4x=8，解之求得x值，由BC=2DE即可求得答案.
（3）①当点G落在BC边上时；设DE=x，则EF=CE=4x，根据中位线性质可得8x=8，解之求得x值，由BC=2DE即可求得答案；
当点G落在AB边上时，作DH⊥AC于点H，设DH=x，则CE=4x，BC=2x，EH=4-4x，根据相似三角形判定和性质得，解之可得x值，由BC=2DH求得答案；
②若（n为正整数）时，解法同①即可求得答案.
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