函数单调性（1）

(共19张PPT)
下图是某市2011年元旦一天的气温变化图。
观察图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的？
哪些时间段内是逐渐下降的？
气温θ是关于时间t 的函数，记为θ＝f (t) ，
用怎样数学语言来刻画“气温随时间的增大而逐步升高”？
函 数 的 单 调 性
下面函数在定义域范围内，随着自变量的 x增大，因变量y的变化有什么特征？
（1）下表是一个出生时体重3.4kg的孩子在成长过程中体重变化的情况。
年龄x/岁 0 1 2 4 6 10
体重y/kg 3.4 10.2 13.6 18.6 20.4 30.6
(2) 为了了解青春期女生的身高
变化情况， 一家健康机构随机
选择了一批女生做调查，右图
是根据调查结果绘制的图像。
（3）y = x+1
探究
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
165
155
145
135
125
平均身高 y/cm
年龄 x/岁
画出函数 y =x+1 的图象
x3
x2
x1
f(x1)
f(x2)
f(x3)
在定义域范围内，随着自变量x的增大，因变量y也变大
我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“增函数”呢？
y = x+1
-1
x
y
O
1
·
·
·
1
如果函数y=f(x)在数集I上满足：
对于任意x1,x2∈I，
当x1则称y=f(x)在数集I上单调递增，
也称y=f(x)在数集I上是增函数。
如果函数y=f(x)在某个区间
上是增函数，就称该区间为
函数y=f(x)的单调增区间。
x
o
y
y=f(x)
x1
x2
f(x2)
f(x1)
（1）数集I指的是函数定义域或函数定义域上的某个区间。
增函数定义：如果函数y=f(x)在数集I上满足:对于任意x1，x2，当x1〈 x2时,都有f(x1)〈 f(x2)，则这个函数在数集I上为增函数。
增函数定义的分析
例如 函数幻灯片 7 y=x2
（2） x 1, x 2 取值的任意性
x1,x2必须是数集I上任意的两个数。
（3）增函数自变量和函数值的关系是“大对大，小对小”。
O
x
y
观察y=x2图象回答：x增大时，y的值怎么变化？
y=x2在 [0，+∞）上是增函数
讨论
y
x
o
考察下列两个函数图像:
x
y
o
思考:1.这两个函数在其定义域上是否是增函数
2.这两个函数图像有何共同特征？
结论：如果函数y=f(x)在[a,b]上是增函数，那么在[a,b]上，它的图象
从左至右逐渐上升，
（1） ； (2)
-3
4
1
-1
1
3
练习1:如图是定义在[-3,4]上的函数y=f(x)的图像,根据图像
说出函数在哪些区间上是增函数？
例1 下列函数在什么数集上是增函数？
(1) f(x)=7x+2 ；
(2) f(x)=(x-1)2 ；
(3)自变量与因变量的对应关系如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y -2.5 -2 -1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
解:函数f(x)= 7x+2的定义或为R，作出函数图像
-1 0 1 2
4
3
2
1
-1
y
x
y=7x+2
(1) f(x)=7x+2
由上图可知图像在R上从左至右呈上升趋势，
因此函数f(x)=7x+2在R上是增函数
作出函数 f(x)=(x-1)2 的图像
-3 -2 -1 0 1 2
4
3
2
1
-1
x
y
y= (x-1) 2
由图像可知，函数f(x) =(x-1) 2 在 [ 1，+∞) 上是增函数。
(2) f(x)=(x-1)2
(3)自变量与因变量的对应关系如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y -2.5 -2 -1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
解:由表可以看出，当自变量增大时，其对应的函数值也增大
所以该函数在整个定义域{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}上是增函数
练习2 ： 指出下列函数的增区间
(1) f(x)= x+5
(2) f(x)= 2x2
用10 米长的篱笆围成一块矩形菜地，
菜地的一边长x米（0则菜地面积y=x (5-x)（m2）,
问x 取什么值时，面积y最大？
　
（1）作出y=x (5-x), (00 1 2 3 4 5
6
5
4
3
2
1
y
x
(2)观察图像可得:函数在(0, ]上为增函数,
当边长 x= 米时,面积 y= 平米达到最大
_
5
2
25
__
4
5
_
2
这节课我们学习了……
数与形,本是相倚依
焉能分作两边飞
数无形时少直觉
形少数时难入微
数形结合百般好
隔离分家万事休
切莫忘,几何代数统一体
永远联系莫分离
—— 华罗庚
今日作业
指出下列函数的增区间
(1) f(x) = 2x+1
(2) f(x) = (x-2)2