9.1(2)华师版七年级三角形的外角和
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三角形的外角和
福田九义校 陈康
2012\04\17
外角
相邻的内角
不相邻的内角
复习
三角形外角与内角的关系
（1）位置关系（如 图1）
（2）与内角的数量关系
外角+相邻的内角=180
外角与两个不相邻的内角又有什么关系 （图2）
（图1）
（图2）
思考
A
B
C
D
相邻的内角
不相邻的内角
（图1）
A
B
C
D
以同桌为一个小组，请同学们把与∠ACD不相邻的两个内角∠A、∠B剪下来，拼在一起与所画的外角∠ACD比比看。看看哪个小组完成的最快，最先发现问题.
大家得出了什么结论呢？
发现一: ∠ACD= ∠A+ ∠B
发现二: ∠ACD > ∠A
∠ACD > ∠B
动手实验
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
可以用数学语言解释“发现一”吗 试试看,你一定能行!
解: ∵ ∠ACB + ∠ACD= 180 °
又∵ ∠ACB+ ∠A+ ∠B= 180 °
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
（外角与它相邻的内角和为180°）
（三角形的内角和为180°）
方法二:
解:过C点作 CE∥AB
∵ CE∥AB
∴ ∠ACE = ∠A ( )
∠DCE = ∠B ( )
∴ ∠ACD = ∠ACE+ ∠DCE
= ∠A+ ∠B
课后动脑筋:还有其它作辅助线的方法吗
E
三角形外角与内角之间的关系
1、三角形的一个外角与它相邻的内角 ；
2、三角形的一个外角 与它不相邻的
两个内角的和；
3、三角形的一个外角 任何一个与它
不相邻的内角。
等于
大于
互补
小试身手
求下列各图中∠1的度数
30°
60°
1
1
35°
120°
50°
45°
1
90°
85°
95°
根据：三角形一外角等于与它不相邻的两内角之和
三角形内角和是180 °
我们知道
三角形的外角和是多少呢
想一想
1.什么是三角形的外角和
2.三角形有固定外角和吗
3.如果有,三角形的外角和是多少呢
D
E
F
A
C
B
1
2
3
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和.
如图: ∠1+ ∠2+ ∠3就是△ABC的外角和.
思考： ∠1+ ∠2+ ∠3= ？度
能用我们所学的知识去推理说明一下吗？
做一做：
把三等式左右两边分别相加可以得到:
—— + —— + —— = —— （1）
而 （2）
比较（1）、（2），你能得出什么结论？
______
______
______
1
2
3
结论：三角形的外角和等于360度；
5400
三角形的外角和等于3600
让 我 们 展 开 想 象 的 翅 膀
例1 如图，Ｄ是△ABC的边BC上一点， ∠B=∠BAD， ∠ADC=80 ， ∠BAC=70 . 求：
解 ：(1)
∵ ∠ADC是⊿ABD的外角 (已知)
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80
（三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又∵ ∠B=∠BAD
∴∠B=40
（2）
∵在⊿ABC中 ∠ B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180
∴∠ C= 180 - ∠ B - ∠ BAC
= 180 -40 -70
=70
（三角形的内角和为180 ）
（1） ∠ B的度数；（2） ∠ C的度数。
A
B
D
C
80
例 2
三角形的三个外角之比为2:3:4，
则与它们相邻的内角分别为（ ）
A. 80 120 160 B. 160 120 80
C. 100 60 20 D. 140 120 100
解：设三角形的三个外角分别为2k，3k，4k，
根据三角形的外角和等于360 ，有
2k+3k+4k= 360 ，
可解得k=40 ,三个外角分别为80 120 160 ，
则相邻的内角分
别为100 60 20
故选 C
C
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
D
E
F
1
2
3
360°
N
P
M
C
B
A
F
C
B
A
3、动脑筋，想一想
1 三角形的外角性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2 三角形的内角和等于180
三角形的外角和等于360
3 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。
三角形的外角与它相邻的内角互补
如图，计算∠BOC
知识拓展
可要动脑哟
C
B
O
A
F
C
B
O
A
F
例3、
如图所示，在△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，
AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的
度数。
解：
∠CAB=180°-∠C-∠B
=180°-45°-65°=70°
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=
又∵在△ABC中，∠DAB=180°-∠ADB-∠B
=180°-90°-65°=25°
∴∠DAE=∠BAE-∠DAB=35°-25°=10°
例4、
如图1所示，点P是△ABC内一点，试说明∠A与
∠P的大小关系。
图1
图 2
解： 延长BP交AC于点E，如图2所示
∵∠BPC是△PEC的一个外角
∴∠BPC＞∠PEC 又∵∠PEC是△ABE的一个外角
∴∠PEC＞∠A
∴∠BPC＞∠A，即∠P＞∠A
1.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。
解:∠3 > ∠1
∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1
∴∠3 >∠1
2、如图：∠1＝25°，
∠2＝95°，∠3＝30°，
则∠4＝_______
A
D
E
C
B
1
4
3
2
30°
练一练
F
例5、
如图所示，在△ABC中，∠B=36°，∠ACB=110°，AE是
∠BAC的平分线，AD是BC边上的高，求∠DAE的大小。
解： ∵∠ACB+∠B+∠BAC=180°
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B
=180°-110°-36°=34°
∵AE平分∠BAC
∴
∵∠ACB=∠CAD+∠D ∴∠CAD=∠ACB-∠D
∵AD是BC边上的高 ∴∠D=90°
∴∠CAD=∠ACB-∠D=110°-90°=20°
∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=17°+20°=37°
再 见
三角形的外角和
福田九义校 陈康
2012\04\17
外角
相邻的内角
不相邻的内角
复习
三角形外角与内角的关系
（1）位置关系（如 图1）
（2）与内角的数量关系
外角+相邻的内角=180
外角与两个不相邻的内角又有什么关系 （图2）
（图1）
（图2）
思考
A
B
C
D
相邻的内角
不相邻的内角
（图1）
A
B
C
D
以同桌为一个小组，请同学们把与∠ACD不相邻的两个内角∠A、∠B剪下来，拼在一起与所画的外角∠ACD比比看。看看哪个小组完成的最快，最先发现问题.
大家得出了什么结论呢？
发现一: ∠ACD= ∠A+ ∠B
发现二: ∠ACD > ∠A
∠ACD > ∠B
动手实验
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
可以用数学语言解释“发现一”吗 试试看,你一定能行!
解: ∵ ∠ACB + ∠ACD= 180 °
又∵ ∠ACB+ ∠A+ ∠B= 180 °
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B
（外角与它相邻的内角和为180°）
（三角形的内角和为180°）
方法二:
解:过C点作 CE∥AB
∵ CE∥AB
∴ ∠ACE = ∠A ( )
∠DCE = ∠B ( )
∴ ∠ACD = ∠ACE+ ∠DCE
= ∠A+ ∠B
课后动脑筋:还有其它作辅助线的方法吗
E
三角形外角与内角之间的关系
1、三角形的一个外角与它相邻的内角 ；
2、三角形的一个外角 与它不相邻的
两个内角的和；
3、三角形的一个外角 任何一个与它
不相邻的内角。
等于
大于
互补
小试身手
求下列各图中∠1的度数
30°
60°
1
1
35°
120°
50°
45°
1
90°
85°
95°
根据：三角形一外角等于与它不相邻的两内角之和
三角形内角和是180 °
我们知道
三角形的外角和是多少呢
想一想
1.什么是三角形的外角和
2.三角形有固定外角和吗
3.如果有,三角形的外角和是多少呢
D
E
F
A
C
B
1
2
3
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加,得到的和称为三角形的外角和.
如图: ∠1+ ∠2+ ∠3就是△ABC的外角和.
思考： ∠1+ ∠2+ ∠3= ？度
能用我们所学的知识去推理说明一下吗？
做一做：
把三等式左右两边分别相加可以得到:
—— + —— + —— = —— （1）
而 （2）
比较（1）、（2），你能得出什么结论？
______
______
______
1
2
3
结论：三角形的外角和等于360度；
5400
三角形的外角和等于3600
让 我 们 展 开 想 象 的 翅 膀
例1 如图，Ｄ是△ABC的边BC上一点， ∠B=∠BAD， ∠ADC=80 ， ∠BAC=70 . 求：
解 ：(1)
∵ ∠ADC是⊿ABD的外角 (已知)
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80
（三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又∵ ∠B=∠BAD
∴∠B=40
（2）
∵在⊿ABC中 ∠ B+ ∠ BAC+ ∠ C= 180
∴∠ C= 180 - ∠ B - ∠ BAC
= 180 -40 -70
=70
（三角形的内角和为180 ）
（1） ∠ B的度数；（2） ∠ C的度数。
A
B
D
C
80
例 2
三角形的三个外角之比为2:3:4，
则与它们相邻的内角分别为（ ）
A. 80 120 160 B. 160 120 80
C. 100 60 20 D. 140 120 100
解：设三角形的三个外角分别为2k，3k，4k，
根据三角形的外角和等于360 ，有
2k+3k+4k= 360 ，
可解得k=40 ,三个外角分别为80 120 160 ，
则相邻的内角分
别为100 60 20
故选 C
C
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ .
D
E
F
1
2
3
360°
N
P
M
C
B
A
F
C
B
A
3、动脑筋，想一想
1 三角形的外角性质：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
2 三角形的内角和等于180
三角形的外角和等于360
3 在求角的度数时，常可利用三角形的内角和及外角的性质来找数量关系；涉及图形时，可先把已知条件尽可能的在图中标出来，有助于直观分析题意。
三角形的外角与它相邻的内角互补
如图，计算∠BOC
知识拓展
可要动脑哟
C
B
O
A
F
C
B
O
A
F
例3、
如图所示，在△ABC中，∠B=65°，∠C=45°，
AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的
度数。
解：
∠CAB=180°-∠C-∠B
=180°-45°-65°=70°
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=
又∵在△ABC中，∠DAB=180°-∠ADB-∠B
=180°-90°-65°=25°
∴∠DAE=∠BAE-∠DAB=35°-25°=10°
例4、
如图1所示，点P是△ABC内一点，试说明∠A与
∠P的大小关系。
图1
图 2
解： 延长BP交AC于点E，如图2所示
∵∠BPC是△PEC的一个外角
∴∠BPC＞∠PEC 又∵∠PEC是△ABE的一个外角
∴∠PEC＞∠A
∴∠BPC＞∠A，即∠P＞∠A
1.判断∠1与∠3的大小，并说明理由。
解:∠3 > ∠1
∵∠3 >∠2 ,∠2 >∠1
∴∠3 >∠1
2、如图：∠1＝25°，
∠2＝95°，∠3＝30°，
则∠4＝_______
A
D
E
C
B
1
4
3
2
30°
练一练
F
例5、
如图所示，在△ABC中，∠B=36°，∠ACB=110°，AE是
∠BAC的平分线，AD是BC边上的高，求∠DAE的大小。
解： ∵∠ACB+∠B+∠BAC=180°
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B
=180°-110°-36°=34°
∵AE平分∠BAC
∴
∵∠ACB=∠CAD+∠D ∴∠CAD=∠ACB-∠D
∵AD是BC边上的高 ∴∠D=90°
∴∠CAD=∠ACB-∠D=110°-90°=20°
∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=17°+20°=37°
再 见