河北深州长江中学2022届高三上学期7月第一次月考数学试题 PDF版含解析

7．下列函数中，是偶函数且值域为 ?? 的是（ ）
长江中学 2019 级高三年级第一次月考考试 [0, )
2 1
数学学科试题 A． f(x)? x ?1 B． 2 C． f(x)?log x D． f(x)?|x|
f(x)? x 2
考试时间：120分钟 2
8．已知函数 f ?x?? x??2,6? ，则（ ）
注意事项： ? ?
x?1
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
A． f ?x?是单调递增函数 B． f ?x?是奇函数
2．请将答案正确填写在答题卡上
C．函数 f ?x?的最大值为 f ?2? D． f ?3?? f ?4?? f ?5?
第I卷（选择题）
9．定义在R上的偶函数 f(x)在[0,??)上单调递增，且 f(2) ?0，则不等式x? f(x)?0的解集为
一、单选题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。 （ ）
1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．(??,?2)?(2,??) B．(?2,0)?(0,2) C．(?2,0)?(2,??) D．(??,?2)?(0,2)
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
x ?x 3
x 10．设函数 f ?x??2 ?2 ?x ，则使得不等式 f ?2x?1?? f ?3??0成立的实数x的取值范围是
2．命题“?x ?0，总有?x?1?e ?1”的否定是（ ）
（ ）
x x
A．?x ?0，总有?x?1?e ?1 B．?x?0，总有?x?1?e ?1
A．???,?1? B．???,2? C．??1,??? D．?2,???
x x
C．? 0 0
x0 ?0，使得?x0 ?1?e ?1 D．?x0 ?0，使得?x0 ?1?e ?1
11．已知y? f ?x?为奇函数且对任意x?R， f ?x?2?? f ??x?，若当x??0,1?时，
3．“ 2 2
ab?0”是“a ?b ?0”的（ ）
f ?x??log2?x?a?，则 f ?2021??（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
A．? B．0 C．1 D．2
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1
1 12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x?R，用?x?表
4．函数 f ?x?? ? x?2的定义域为（ ）
x?1
示不超过x的最大整数，则y??x?称为高斯函数.例如：??5,1???6，????3.已知函数
A．??2,??? B．??2,1???1,??? C．R D．???,?2?
x
f ?x?? ，则函数 y ? ?f ?x??的值域为（ ）
?3x?1, x 1, 2 ? ?
?
5．已知 ? x 1
f(x)?? 2 则 f(3)?（ ）
?x ?3, x ?1, A．??1? B．??1,0? C．?1? D．?0,1?
A．7 B．2 C．10 D．12
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全
6．已知函数 2
f(x)? x ?4x,x?[1,5]，则函数 f(x)的值域是（ ）
部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
A．[－4，＋∞) B．[－3，5] C．[－4，5] D．(－4，5]
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13．“ 2
2x ?3x?2?0”的一个充分不必要条件可以是（ ） (1)求 f ?x?的定义域；
1 1
A．x??1 B．0? x?1 C．? ? x? D．x?2 ?1?
2 2 (2)求证： f ? ?＋ f ?x?＝0.
? x?
14．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
1
x 22．（12分）已知函数 f(x)? x?
A． ?1? 1
y ? B． C． D． 3 x
? ? y??2x y? y ??x
?2? x （1）判断函数 f(x)的奇偶性；
2
15．已知函数 f ?x?是R上的奇函数，且当x?0时， f ?x?? x ?x?a?2，则（ ） （2）判断并证明函数 f(x)在?0,1?上的单调性.
A．a?2 B． f ?2??2 C． f ?x?是增函数 D． f ??3???12
16．已知函数 f ?x?为偶函数，且 f ?x?2???f ?2?x?，则下列结论一定正确的是（ ）
23．（12分）已知 f ? x ?2?? x?3 x
A． f ?x?的图象关于点(?2,0)中心对称 B． f ?x?是周期为4的周期函数
（1）求 f ?x?的函数解析式；
C． f ?x?的图象关于直线x??2轴对称 D． f(x?4)为偶函数
（2）讨论 f ?x?在区间??2,2?函数的单调性，并求在此区间上的最大值和最小值.
第II卷（非选择题）
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
17．若命题“ 2
?x?R,x ?2mx?m?2?0”为真命题，则m的取值范围是______
x
?
24．（14分）已知函数 a 3
? 是R上的奇函数.
18．若一次函数 f(x)满足 f(x)
f(f(x))? x?2，则 f(x)?_________． x
1?3
19．函数 2
f(x)? x ?2x?8的单调递增区间是______． （1）求a的值；
（2）用定义证明 f(x)在 上为减函数；
x R
?a ,x?1
20．若a＞0且a≠1，且函数 f(x)?? 在R上单调递増，那么a的取值范围是________． 2 2
?ax?a?2,x?1 （3）若对于任意t?[2,5]，不等式 f(t ?2t)? f(2t ?k)?0恒成立，求实数k的取值范围
四、解答题:本题共4小题,共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2
?
21．（12分）设函数 1 x
f ?x?＝ .
2
1?x
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高三数学参考答案
单调递增，且 f(2) ?0，
1．D【详解】集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D
2．D【详解】由全称命题的否定可知， 所以 f(x)在???,0?上单调递减，且 f(?2)?0，
x x
命题 0
“?x ?0，总有?x?1?e ?1”的否定是“?x0 ?0，使得?x0 ?1?e ?1 ?x?0 ?x?0
x? f(x)?0?? 或? ，故x?2或?2? x?0，故选：C
?f ?x??0 ?f ?x??0
3．A【详解】由 2 2
ab?0可得，a?0且b≠0，所以a ?b ?0；反之不成立，
?x x 3
10．A【详解】函数的定义域为R， f ??x??2 ?2 ?x ??f ?x?，所以函数是奇函数，并由解析
故 2 2
“ab?0”是“a ?b ?0”的充分不必要条件.故选：A.
式可知函数是增函数，原不等式可化为 f ?2x?1?? f ??3?，
?x?1?0
4．B【详解】由? 可解得x??2且x?1，? f ?x?的定义域为??2,1???1,???.
?x?2?0 ∴2x?1??3，解得x? ?1，∴x的取值范围是???,?1?．故选：A．
故选：B. 11．C【详解】因为 y? f ?x?为奇函数，即 f ??x???f ?x?，
2
5．D【详解】由题意 f(3)?3 ?3?12．故选：D．
因为对任意x?R， f ?x?2?? f ??x???f ?x?，所以 f ?x?4?? f ?x?，
6．C【详解】 2 2
f(x) ? x ?4x ?(x?2) ?4，该二次函数的对称轴为：x?2，
当x??0,1?时， f ?x??log2?x?a?，所以 f ?0??log2a ?0，
因为 2
x?[1,5]，所以 f(x)min ? f(2)??4， f(x)max ? f(5)?5 ?4?5?5，
所以a?1，则 f ?2021?? f ?505?4?1?? f ?1??log22?1.故选：C.
所以当x?[1,5]时，函数 f(x)的值域为[－4，5].故选：C 12．B【详解】因为x?R， f ??x???f ?x?，所以 f ?x?是R上的奇函数.
7．D【详解】对于A： 2
f(x)? x ?1，为偶函数，但值域为??1,???，故A不正确； x x 1 ? 1 1?
当
1 x?0时，0? f ?x?? 2 ? ? ，所以当x?R时， f ?x???? , ，
?
?
对于B： ? 2定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故 不正确； x 1 2x 2 ? 2 2?
f(x) x B
从而 y ? ?f ?x??的值域为??1,0?.故选：B
对于C： f(x)?log2 x定义域不对称，为非奇非偶函数函数，故C不正确； ? ?
1 1
13．BC【详解】 2 ? ? ? ，所以? ? x? 2.设M ?(? ,2),设选项对应的集合为N ,
对于D： f(x)?|x|为偶函数，且值域为?0,???，故D正确；故选： 2x 3x 2 0
D. 2 2
因为选项是 2
“ ? ? ? ”的一个充分不必要条件，所以N 是 的真子集.故选：BC.
8．C【详解】A：由解析式知： f ?x?是单调递减函数，错误； 2x 3x 2 0 M
x
B：由x??2,6?，显然不关于原点对称， f ?x?不是奇函数，错误； ?1?
14．BD【详解】A，函数 y ? 是非奇非偶函数，故排除 ； ，函数 是 上的奇函数也
? ? A B y??2x R
?2?
C：由A知：在x??2,6?上 f ?x?
max ? f(2)?2，正确； 1
是减函数，故B正确；C，函数y? 在定义域上是奇函数，但在???,0?和(0,??)上是减函数，在
x
D：由A知：f ?3?? f ?4?? f ?5?，错误.故选：C.9．C【详解】义在R上的偶函数 f(x)在[0,??)上
定义域上不具有单调性，故排除 3
C；D，函数 y ??x 是R上的奇函数也是减函数，故D正确.故选：
答案第1页，总3页
BD x
?a ,x?1
20．(1,2]【详解】a ?0且a?1，函数 f(x)?? 在R上单调递增，
ax?a?2,x?1
15．ACD【详解】A.项 f ?x?是R上的奇函数，故 f ?0??a?2?0 ?
?a ?1
得a?2，故A对；对于B项， f ?2??4?2?6，故B错 可得：? ，解得a?(1,2]， 故答案为：(1,2].
?a?2a?2
2
对于C 项，当x?0时， f ?x?? x ?x在?0,???上为增函数，利用奇函数的对称性可知， f ?x?在 21．【详解】（ 2
1）由1?x ?0解得x? ?1，所以 f ?x?的定义域为?x|x??1?.
???,0?上为增函数，故 f ?x?是R上的增函数，故C对 1
1? 2 2 2 2
?1? 1?x x ?1 x ?1
（2）依题意 f ? f x
?x?? ? ? ? ? 0得证.
f ??3???f ?3???9?3??12，故D对。故选： ? ? 2 2 2
ACD ? x? 1
? 1?x x ?1 x ?1
1 2
x
16．AD【详解】因为 f ?x?2???f(2?x)，所以 f ?x?的图象关于点?2,0?中心对称， 1
22．【详解】（1）函数的定义域?x x ?0?， f ??x???x? ??f ?x?，
?x
又因为函数 f ?x?为偶函数，所以 f ?x?是周期为8的周期函数，且它的图象关于点(?2,0)中心对称 所以函数是奇函数；
和关于直线 （ ）设 < < < ，
x?4轴对称，所以 f ?x?4?为偶函数.故选：AD. 2 0 x1 x2 1
? 1 ? ? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 ?
17．[?1,2]【详解】依题意可得，命题等价于 2
x ?2mx?m?2?0恒成立， f ?x1?? f ?x2???x1? ???x2 ? ? ??x1?x2??? ? ?? ?x1?x2??1? ?
? x1? ? x2 ? ? x1 x2 ? ? x1x2 ?
2
故只需要?=4m ?4?m?2??0解得?1?m?2，即m?[-1,2]故答案为：??1,2? ?x
? 1x2 ?1?
?x1?x2?? ?，
2 x x
18．x?1【详解】设 ? 1 2 ?
f(x)?kx?b，则 f(f(x))?k?kx?b??b?k ??k?1?b，
2 0? x ? x ?1，?x ?x ?0,x x ?1?0,x x ?0，
? ? 1 2 1 2 1 2 1 2
k ?1
故? ，故k ?1,b?1，故 f(x)? x?1，故答案为：x?1.
?(k?1)b?2 ? f ?x1?? f ?x2??0，即 f ?x1?? f ?x2?，所以函数 f(x)在?0,1?上单调递减.
19． 2
?4,???【详解】因为函数 f(x)? x ?2x?8， 2
23．【详解】（1）令 x ?2?t，则x ??t?2? ?x?0，? x ?0，?t ??2
所以 2 2
x ?2x?8? 0，即?x?1? ?9，解得x?4或x≤?2， 2 2 2
? f ?t???t?2? ?3?t?2? ?t ?t?2?t ??2?，? f ?x?? x ?x?2?x??2?；
故函数 2
f(x)? x ?2x?8的定义域为???,?2???4,???， 1
（2）? f ?x?的对称轴为直线x?? ，又a?1?0，开口方向向上，
2
因为函数 2
y ? x 是增函数，函数 y ? x ?2x?8在?1,???上是增函数，???,1?上是减函数，所以函 ? 1? ? 1 ?
? f ?x?在??2,? 上是减函数，在 上为增函数，
? ?? ,2?
数 2 ? 2? ? 2 ?
f(x)? x ?2x?8在?4,???上是增函数，故答案为：?4,???.
1 1 9
?当x?? 时， f(x)min ? f(? )?? ，
2 2 4
答案第2页，总3页
? 1? 3 ? 1? 5
由函数图像性质得：? ?2??? ? ? ? 2??? ? ? ，
? 2? 2 ? 2? 2
?当x?2， f ?x?
max ? f ?2??4.
x
?
24．【详解】（1）由函数 a 3
f(x)? 是 上的奇函数知
x R f(0)?0，
1?3
a?1
即 ?0，解得a?1.
2
x
?
（2）由（ 1 3
1）知 f(x)? 任取 ? 且 ? ，则
x . x1,x2 R x1 x2
1?3
x
? 1 x
? 2 x
? 1 x2 x2 x1 x2 x1
1 3 1 3 (1 3 )(1?3 )?(1?3 )(1?3 ) 2(3 ?3 )
f(x1)? f(x2)? x1 ? x 因为 ? ，
? ? 2 ? x
? 1 x
? 2 ? x1 x2 x1 x2
1 3 1 3 (1 3 )(1 3 ) (1?3 )(1?3 )
所以 x1 x
? 2
3 3 ，所以 x2 x1
3 ?3 ?0，
x2 x1
2(3 ?3 )
又因为 x
? 1 x
? 且 ? 2
1 3 0 1 3 ?0，故 x ，
1 x2 ?0
(1?3 )(1?3 )
所以 f(x1)? f (x2)?0，即 f(x1)? f(x2)
所以 f(x)在R上为减函数.
（ 2 2
3）不等式 2 2
f(t ?2t)? f(2t ?k)?0可化为 f(t ?2t)??f(2t ?k)
因为 f(x)是奇函数，故 2 2
?f(2t ?k)? f(k?2t )
所以不等式 2 2 2 2
f(t ?2t)??f(2t ?k)可化为 f(t ?2t)? f(k?2t )
由（2）知 f(x)在R上为减函数，故 2 2 2
t ?2t ?k?2t 即k ?3t ?2t
即对于任意t?[2,5]，不等式 2
k ?3t ?2t 恒成立.
设 2
g(t)?3t ?2t,t?[2,5]易知8? g(t)?65
因此k ? g(t)min ?8所以实数k的取值范围是(??,8).
答案第3页，总3页