山东郓城一中2012年高三三轮复习（十专题，理数）
文档属性
| 名称 | 山东郓城一中2012年高三三轮复习（十专题，理数） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2012-05-01 10:41:28 | ||
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文档简介
高三数学三轮复习（理科）
数学专题一 集合 简易逻辑与命题
【考点精要】
考点一. 集合中元素的意义。集合中的元素有的是数，有的是点，有的是范围等，研究集合元素时应引起重视。如：集合A=，集合B=，集合A中的元素是点而集合B中的元素是数。
考点二. 元素与集合、集合与集合之间的关系.以及与是两组极易混淆的概念.表示元素与集合之间的关系，表示集合与集合之间的关系.一般地表示一个元素，表示只含有一个元素的集合.
考点三. 集合中元素的互异性.例如集合，集合，且P=Q,求实数a,b的值.在利用两集合相等求解时，共得到三种结果：（1）a=1,b=0,（2）a=-1,b=0,(3)a=1,b=1.确定最后的答案时一定注意验证.
考点四. 空集的特殊性.空集是不含任何元素的集合，是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集，空集与任何集合的交集都是空集，例如集合求的取值范围.解答此题首先要考虑到B是空集的情况.
考点五. 命题的否定与否命题的区别.对于一个命题，命题的否定只是否定它的结论，而否命题则是即否定题设也否定结论.对于命题“若P则q”，其命题的否定是“若p则”，其否命题是“若则”.
考点六. 充要条件.注意从集合角度掌握充分条件、必要条件,已知
，有的必要条件，求实数a的取值范围.
考点七. 数形结合思想的运用.注意运用数形结合思想，数形结合思想作为一种重要的数学思想在解决集合等比较抽象的问题时尽可能借助韦恩图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题具体化.如：设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：利用韦恩图可知，选B
考点八. 逻辑联结词“或”的意义.“或”这个逻辑联结词，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”，是指a，b中的某一个，但不是两者，日常生活中常采用这种解释。而课本中一般采用另一种解释：“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者。例如“或”是指x可能属于A但不属于B；x也可能不属于A但属于B；x还可能既属于A又属于B.
巧点妙拨
1.集合中的元素三个基本特性的应用
（1）确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，即给定集合必须有明确的条件，依此条件可以明确地判定某一对象是否是这个集合的元素，如“较大的数”“著名科学家”等均不能构成集合。
（2）互异性：集合中任何两个元素都应该是不同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验。
（3）无序性：集合中元素排列没有顺序。
2．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．
3．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．
【典题对应】
一 、集合与绝对值不等式的结合
例1.（2010·山东1）已知全集U=R，集合，则( )
A. B. C. D.
命题意图:本题主要考查集合、绝对值不等式以及利用韦恩图解题，多年来此种类型的题目考查已成常态化、程式化，要引起重视。
解析：化简集合M=,,故选C.
名师坐堂： 这种类型的选择题应首先准确解出集合M的解集，利用子集、交集、并集、补集的概念求出M的补集。
二、集合与充要条件的结合
例2. （2010·山东9）设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )
A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
命题意图：本题主要考查充分必要条件、等比数列的相关性质，以数列的相关性质为依托，考查考生分析问题、解决问题以及推理能力。
解析：为等比数列，=，由得故选C.
名师坐堂：解决充要条件问题一定要弄清命题的已知与结论的关系，考察是正推还是逆推，无论是正推还是逆推都要符合逻辑推理原则。
三、集合与一元二次不等式的结合
例3.(2011·山东1)设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =( ).A. [1,2) B. [1,2] C. ( 2,3] D. [2,3]
命题意图:本题主要考查集合、一元二次不等式以及利用数轴解题，多年来此种类型的题目考查已成常态化、程式化，要高度引起重视。
解析：M ={x|，所以所以选A。
名师坐堂：这种类型的选择题应首先准确解出集合M的解集，利用交集的概念求出。
名师坐堂: （1）全称命题：含有全称量词的命题。“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”。
（2）特称命题：含有存在量词的命题。“xM，有p（x）成立” 简记成“xM，p（x）”。
【授之以渔】
1．题型分析：选择题—做选择题时主要考虑一下几个方面：一、直推法，运用逻辑推理将已知条件进行推导直接得出 。二、倒推法，由结论入手向已知条件递推。三、验证法，将所给的答案逐一代入验证，符合已知的即为答案。三、数形结合法，将已知条件转化成图形通过计算观察得出结论。四、猜测法（排除法），对题目的已知条件进行适当类比，估测出相应答案。
2．在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法．重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法．要真正掌握数形结合思想——用文氏图解题．
3．涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多．所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概念以选择题型出现，难度不大。
4．活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。
5．重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当研究的问题较为抽象时，当思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。
6．实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解题中去。
【直击高考】
1. 已知函数的定义域为M，的定义域为N，则M( )
A. B. C. D.
2. 设集合A=，B=，则满足的集合M的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3. 若集合，则A∩B=
4. 集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩( UT)等于( )
A．{1,4,5,6} B．{1,5} C．{4} D．{1,2,3,4,5}
5. 设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S A且S∩B≠ 的集合S的个数是( )
A．57 B．56 C．49 D．8
6. 已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
7. i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.∈S
数学专题一 集合 简易逻辑与命题
【直击高考】
1. 解析：C。 函数的定义域为，要注意分母不能为零，函数的定义域为，由交集的定义可知选C。
2. 解析：C。 应先求出A与B的交集，的个数有2个，即和。
3.解析：∵，∴当x=1时，，∴，当x=-1时，，∴，∴。
4.解析： S∩( UT)＝{1,4,5} ∩{1,5,6}＝{1,5}．选B。
5.解析：集合S的个数为26－23＝64－8＝56.选B。
6.解析：由P∪M＝P，可知M P，而集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1，故选C.
7.解析：由i2＝－1，而－1∈S，故选B.
数学专题二 数列、函数与方程
【考点精要】
考点一. 等差、等比数列的定义。等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列的前n项和。则数列为等差数的充要条件是c=0”；在等差数列中,是等差数列。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注。如是等比数列，则就不一定是等比数列。
考点二. 数列的递推关系。解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行交换。把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理。转化的常用方法有：(1)待定系数法。如可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列。(2)取倒数法，如对的基本变换思想是先取倒数，再通过待定系数法变换为。(3)观察变换法，如，可以变换为，转化为等比数列，还有取对数法等．解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、不能出错．
考点三. 数列与分段函数。通过考查分段函数进而明晰数列n在不同的范围内赋予不同的意义。如：数列中， 求。
考点四. 数列的通项公式以及前n项和。数列的通项公式以及前n项和公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性。高考中诸多题目均能涉及。如：设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则__________.
考点五. 函数、导数、方程、数列的综合应用。以函数、导数、方程、数列等知识为载体，考查学生综合运用观察、归纳、猜想、证明等分析问题、解决问题的能力，考查学生对函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等思想的运用。
考点六．等差数列前n项和最值的求法：
⑴ ；⑵利用二次函数的图象与性质。
巧点妙拨
1．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 掌握数列通项与前n项和之间的关系。
2．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；注意掌握一些数列求和的方法，如：(1)分解成特殊数列的和，(2)裂项求和，(3)错位相减法求和等。
3．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．
4. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。
5. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩法，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。
6. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。
【典题对应】
一、等差、等比数列的概念与性质
例1. （2008·深圳模拟）已知数列的前n项和
（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和。
解：（1）当；、
当，
、
（2）令
当；
当
综上，
二、求数列的通项与求和
例2．(2011·山东理20) 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.
命题意图：主要考察分类讨论的思想及数列求和的方法。
解析：（Ⅰ）当时，不合题意；
当时，当且仅当时，符合题意；
当时，不合题意。
因此
所以公式q=3，
故
（Ⅱ）因为
所以 所以、当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上所述，
名师坐堂：归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。
三、数列与不等式的联系
例3.（２００９·湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足且。又已知成等差数列。
（1）求数列的通项；
（2）令，求证：对于任意，都有。
命题意图：主要考察数列与不等式的结合。
解析：（1）解：∵ ∴ ∴
∵且 ∴ ∴。
（2）证明：∵ ，
∴
名师坐堂：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。
四、数列与函数、概率等的联系
例4. (2008·福建理) 已知函数.
（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点 (n∈N*)在函数
y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.
命题意图：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.
（Ⅰ）证明：因为所以′(x)=x2+2x, 由点 (n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，又所以
所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f′(x)的图象上.
（Ⅱ）解:,
由得.
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
注意到,从而
①当,此时无极小值；
②当的极小值为,此时无极大值；
③当既无极大值又无极小值.
名师坐堂: 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题。
例5 .（２００７·江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
命题意图：主要考察数列与概率的结合。
解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B。
名师坐堂：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。
【授之以渔】
1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，主要加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。
数列与程序框图的综合题应引起高度重视。
3. 在题型设计方面、选择题和填空题主要考查数列的概念．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果。等差与等比数列的基础知识与基本技能，突出“小、巧、活”的特点；解答题常把数列、函数、不等式等知识结合．在知识交汇处命题．综合考查应用意识、推理能力和数学思想方法。
【直击高考】
1. 如果数列满足，，且(≥2)，则第10项等于( )
A. B. C. D.
2. 若数列满足，则等于( )
A．1 B．2 C． D．
3. 等差数列{an}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于( )
A． B．12 C． D．6
4. 将数列按第n组有n个数的规则分组如下：（1），（3,9），（27,81,243），……，则第100组中的第一个数是( )
A． B． C． D．
5. 数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则( )
A．0 B．3 C．8 D．11
6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升
7.设平面内有n条直线（n≥2），其中任意两条直线都相交且交点不同；若用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域个数，则f(2)= ，f(3)= ，f(4)= ，当n＞4时，f(n)= .
8. 已知函数图象上的两点，横坐标为的点P满足（O为坐标原点）.
（Ⅰ）问是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
（Ⅱ）若。
9. 已知数列{an}和{bn}满足a1=b1，且对任意n∈N*都有an+bn=1，.
求数列{an}和{bn}的通项公式。
数学专题二 数列、函数与方程
【直击高考】
1. 解析：由得：，所以｛｝为等差数列，故应选D.
2. 解析：由已知得：，所以数列是一个周期数列，故应选B.
3.解析：因为，所以选D.
4．解析：A 由“第n人数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有个，故第100组中的第1个数是。
5.解析：由已知知由叠加法既得.选B。
6. 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.
7.解析：由画图可知f(2)=4,f(3)=7,f(4)=11,f(n)=f(n-1)+n,即f(n)=n+(n-1)+(n-2)+…+3+f(n)=。
8. 解析：（Ⅰ）是定值，等于1。由已知可得，，
∴P是MN的中点，有x1 + x2 = 1.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知当
相加得
9. 解析：∵对任意n∈N*都有an+bn=1，.
∴，∴，即.
∴数列是首项为，公差为1的等差数列。
a1=b1，且an+bn=1，∴.由(1)知，∴， 。
数学专题三 函数与不等式
【考点精要】
考点一. 一元二次不等式及其应用。主要考查一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程“三个二次”的关系。特别当一元二次不等式的解集是和R的情况的等价命题：的解集是R或。如：设为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同实根，则的最小值为（D）
A．-8 B. 8 C.12 D.13
考点二. 绝对值不等式。。解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
如: (2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为
A．[-5.7] B．[-4,6]
C． D．
解答:D
考点三. 二元一次不等式组与简单的线性规划问题。了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等知识点。考查用线性规划的方法解决两种重要的实际问题：一是给定一定数量的人力、物力资源，怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小。如：设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是
A．14 B．16 C．17 D．19
【答案】 B
考点四. 不等式的性质。一般不直接单独命题，往往与指数函数、对数函数、幂函数等结合进行考查。
如：（2009·湖南1）若，则（ ）
A. B. C. D.
考点五. 利用不等式考查函数的性质。利用不等式的性质考查函数的性质如单调性、周期性、参数的范围等。此类题既可以是选择题、填空题也可以是解答题，考查的范围比较广。如：（2010·江苏11）已知函数，则满足不等式的取值范围是 。
考点六. 函数的最值。通过考查函数的最值进而考查学生对不等式的性质、函数的性质的理解和掌握。此类问题综合性较强，多以解答题的形式进行考查，需要学生具备较好的基础知识，并且具有灵活分析问题、解决问题的能力。如：（2009·宁夏银川）已知,其中。（1）当时，求函数的最大值与最小值；（2）求取值范围，使在区间上是单调函数。
考点七. 无理不等式的解法。通常以不等式的性质为依据，等价转化为有理不等式组，对于某些特殊的无理不等式，可以考虑用数形结合的方法求解。如函数及等的图像与性质。
考点八. 利用函数的单调性、恒成立问题解不等式。利用函数的单调性、恒成立问题解不等式。此类问题多出现解答题中，这类问题较难把握，其关键是找到（列出）不等式（组），再解不等式（组），其中参变量是一种常用的策略：恒成立。
考点九.分式不等式的解法.一般是将分式不等式转化为整式不等式,如一元二次不等式组,在一些选择题和填空题中,有时也用穿根法解.即：
，
，
用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．如:（2011年高考上海卷理科4)不等式的解为 。
【答案】或
考点十.基本不等式的应用. 基本不等式这几年在高考题中时常出现,主要是求一些函数的最值,注意一正、二定、三相等。特别注意的是，当等号不能成立时，用对号函数（有的资料叫勾函数）的单调性。如：若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
巧点妙拨
1．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．
2．强化不等式的应用,突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识．高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．
【典题对应】
一、线性规划与基本不等式
例1.(2009·山东理12)设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为( ).
A. B. C. D. 4
命题意图：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.，要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值。
解析：A 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a>0，b>0），过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.
名师坐堂：本题应先画出可行域，根据条件求出2a+3b=6,利用均值不等式求出最小值。求线性目标函数的最值关键是将目标函数进行平移，以确定最优解所对应的点的坐标。
二、含绝对值不等式的解法
例2. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.
命题意图：本题综合考查了含绝对值不等式的解法及去掉绝对值号的方法，并会解答简单的一元二次不等式。
解析：。由题得 所以不等式的解集为。
名师坐堂：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．运用零点讨论法时，要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
三、分式不等式的解法
例3.解下列分式不等式：
；
命题意图：主要考查分式不等式与其他不等式的转化，主要转化为一元二次不等式组，特别在一些选择和填空题中也可运用穿根法。
解析：原不等式等价于
用“穿根法”其解集如下图的阴影部分：
∴原不等式解集为．
名师坐堂：当分式不等式化为时，要注意它的等价变形
①
②
【授之以渔】
1. 不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化
为最值问题来解：恒成立；恒成立。
2. 由求的取值范围，可利用待定系数法，
即设，用恒等变形求得，再利用不等式的性质求得的范围。
【直击高考】
1．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是( )
A． B．4 C． D．5
2．设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是( )A．14 B．16 C．17 D．19
3．设函数，则满足的x的取值范围是( )
A．[—1,2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）
4．（安徽理4）设变量的最大值和最小值分别为( )A．1，－1 B．2，－2 C． 1，－2 D．2，－1
5． 设a＞1,且,则的大小关系为( )
A．n＞m＞p B．m＞p＞n
C．m＞n＞p D．p＞m＞n
6．不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．（-∞，-1] B．[-∞，-2）∪[5，+∞）
C．[1，2] D．（-∞，1]∪[2，+∞）
7．(湖北理17） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式;
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）。
数学专题三 函数与不等式
【直击高考】
1.解析：，故选C. 2.解析：根据题意划出可行域，注意可行域不是面而是一系列的点，根据线性规划求最值的方法易求得答案为B.
3.解析：分两种情况讨论最后求并集，答案为D.
4.解析：根据题意划出可行域，根据线性规划求最值的方法易求得答案为B.
5． 解析：设a＞1,
∴ ，，,∴ 的大小关系为m＞p＞n，选B。
6． 解析：函数的最大值为4，由已知条件，即，解得，或，选A。
7． 解析：（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立。
所以，当在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
数学专题四 函数与导数
【考点精要】
考点一. 函数定义域。考查函数的概念、单调性、解不等式等，借此考查计算能力。如求函数的定义域。
考点二. 函数的解析式。通过两种形式考查函数的解析式：一种是客观题中通过分段函数考查函数性质，另一种是主观题中通过解析式的设问，考查函数的性质。如：定义运算为：，如：则函数的值域为（ ）A.R B.（0， C.（0，1] D.[1,+
考点三. 函数的定义与函数的奇偶性。利用函数的定义与函数的奇偶性考查函数的相关性质。如设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图像关于直线对称，则 。
考点四. 导数及函数的综合性质。以函数的单调性为重点，考查导数及函数的综合性质。如：（福建）已知函数的图像在点处的切线方程为，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间。
考点五. 函数的奇偶性、对称性。以函数的周期性为依托，综合考查函数的奇偶性、对称性等各种性质，以及对思维能力、推理能力、运算能力的考查。（广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间上，只有。（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。
考点六. 函数与导数的综合应用。以指数式、对数式的运算和指数函数与对数函数的性质等基础知识为考点，考查分析运用条件、探索运算方向、选择运算公式、确定运算程序的思维能力和运算能力。（全国卷）若，则（ ）
A. B. C. D.
考点七. 导数、函数的单调性。以函数的值域、极值与最值为考点，考查导数、函数的单调性等性质。如：已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；设，函数若对任意，总存在，使成立，求的取值范围。
考点八. 函数或导数的模式构建。以函数知识为平台，以向量知识为工具，借助其他知识，考查学生思维能力、逻辑推理能力、模式构建能力与运算能力。如：在直角坐标平面中，已知点，其中n是正整数，对平面上任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，…，为关于点的对称点。对任意偶数n，用n表示向量的坐标。
巧点妙拨
1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.?
对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.?
2．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.?
求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.?
3．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①＞0是递增的充分条件而非必要条件（＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据＞0（或＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.
函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.
【典题对应】
例1.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
命题意图：主要考察函数最值、导数的实际应用。
解析： （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，
则, 故，又OP＝10－10ta，所以，
所以函数关系式为。
②若，则，所以，所求函数关系式为。
（Ⅱ）选择函数模型①，，令得，因为，所以，
当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当时，。这时点位于线段的中垂线上，且距离边处。
名师坐堂：此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点. 解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.
例2.(2009·山东理)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
命题意图：本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
解析:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）,
,
令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
名师坐堂：求函数的最值问题当不能巧妙应用均值不等式、二次函数、三角函数的有界性、函数的单调性时，这时往往要借助导函数进行求解，利用导函数求解时要注意定义域、导函数方程的解、以及实际问题中自变量的取值。
授之以渔
1. 数学思想能够把具体问题中数量间的关系用函数关系表示出来，转化为关于函数的最值或性质问题。在进行转化时切忌转化不全面，在求解时往往忽视实际问题对变量参数的限制条件。
2. 不等式恒成立问题，常转化为函数的最值问题，通过求函数的最值得出的取值范围。一般地，证明不等式通常转化为证明从而将问题转化为问题。
3.在求函数闭区间上的函数的最值的方法：在求得函数值的基础上，将其与端点处的函数值加以比较，最大者即为所求最大值，最小者即为所求最小值。在生产建设和科学技术中，“用料最省”、“体积最大”等实际问题，常常可以用求函数的最大值与最小值的方法解决。解决问题的关键是分析实际问题得出函数解析式，利用导数工具加以解决，进而得出符合实际问题的解。
4. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
【直击高考】
1. 定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
2. 函数的图像大致为( ).
3. 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是( )
A． B． C． D．
4. 若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( )
A．或 B．或 C．或 D．或
5．设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是( )
A．[-1，2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）
6. 设函数，对任意, 恒成立，则实数m的取值范围是 。
7. 已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
8.(2011年高考山东卷理科21)某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
数学专题四 函数与导数
【直击高考】
1. 解析：用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).即①与③成立故答案：C。
2.解析:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
3.解析：由得，
即，∴∴，∴切线方程为
，即选A
4.解析：设过的直线与相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
5．解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.
6. 解析：由题意知：在上恒成立，在上恒成立，
当时，函数取得最小值，
所以，即解得或。
7. 解析：（Ⅰ）
令=0,得。
因为，随的变化而变化如下表：
0
+ 0 -
↗ 极大 ↘
由表可知必为最大值,∴，即，
，即，
∴，。
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，解得，
故所求实数的取值范围是。
8.解析:（Ⅰ）设容器的容积为V，
由题意知
故,由于,因此
所以建造费用
因此
（Ⅱ）由（I）得
由于,当,令
所以
（1）当时，当r=m时，y′=0；当r∈(0,m)时，y′＜0；
当r∈(m,2)时，y′＞0.所以是函数y的极小值点，也是最小值点。
（2）当即时，
当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
数学专题五 三角函数与解三角形
【考点精要】
考点一. 常见的几个三角关系式。（1）若，则.(2) 若，则.(3) .
考点二. 三角函数的诱导公式。考查三角函数的诱导公式的灵活变形。正弦、余弦的诱导公式
考点三. 正余弦定理的变形与应用。
正弦定理.
余弦定理;
;
.
考点四. 考查三角函数的图像与性质。如：将函数的图象按向量平移后所得图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为( )
A． B． C． D．
考点五. 三角公式与变换。三角公式与变换.在三角变换中“1”的变换非常巧妙。如：=。考查角的巧妙变换。如: 等，这些是利用和、差角公式求解问题中经常用到的变形。
考点六. 三角形中的边角关系,根据条件解三角形。已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（），＝（cosA,sinA）.若，且acosB + bcosA =csinC，则角B＝ .
巧点妙拨
1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.
2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从2008年至2011年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。
3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
4. 三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦，降幂公式，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名．高次化低次等．
5．解斜三角形中需熟练运用正、余弦定理，掌握正、余弦定理适用的情况，合理进行边角互化，正确处理多解问题，并熟练结合使用三角形中的结论如：A+B+C=，,若ABC为锐角三角形，则A+B>,等．
6．在解三角形时已知三边，用余弦定理求解时，只有一解；已知两边及夹角用余弦定理求解时，必有一解。
【典题对应】
例1.（2010·山东理17）已知函数（，其图像过点。（1）求的值；（2）将函数的图像上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值。
命题意图：本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图像变换以及三角函数的最值问题，分析问题解决问题的能力。
解析：（1）因为已知函数图像过点，
所以有，
既有+
，所以，解得
（2）由（1）知：所以=
，所以，因为，所以所以当=时，取最大值，当=时，取最小值。
名师坐堂：三角函数式的化简、诱导公式的灵活应用、二倍角公式的应用，图像变换、三角函数的最值在本题中得到综合考查，题目难度不大但知识涵盖面广，即考查数形结合又考查分类讨论，若有一处考虑欠佳都将影响整体效果。
例2.（2011·山东理17）在中，内角的对边分别为，已知。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积。
命题意图：本题考查正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，进而考查学生分析问题解决问题的能力。
解析：（Ⅰ）由正弦定理，
设，
则，
所以
。即，
化简可得。又，
所以。因此。
（Ⅱ）由得。由余弦定理，，，得。解得因此。又因为，且所以因此。
名师坐堂：在应用正弦定理时，要注意巧妙利用其比值为同一个值，同时应注意三角形的内角和，此类题目总体难度不大，但应学会借助三角公式进行化简。
【授之以渔】
1.三角函数是高考的重点内容，高考对三角函数主要考查以下三个方面：
（1）三角函数的图象和性质，重在考查三角函数的值域、单调性、周期性、奇偶性、最值等；（2）是三角函数的恒等变换；（3）是三角函数的最值与求值问题．而三角函数的图象和性质是高考的热点之一；解三角形主要考查正、余弦定理的直接应用、变形应用，以及利用正、余弦定理解斜三角形．其中两类斜三角形的求解、三角形面积公式的应用是重点．与实际问题相联系，考查高度、角度的测量等是高考考查的一个新热点，以平面向量为载体考查三角函数的基础知识，把平面向量、三角函数、解三角形等知识有机结合，题目精而巧．正在成为近年高考的热点．
2. 重视数学思想方法的复习，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋ （k∈Z），对称中心为（kπ，0），（k∈Z）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果.
【直击高考】
1. 函数的一个单调增区间是( )
A． B． C D．
2. 函数y=－x·cosx的部分图象是( )
.
3.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．21世纪教育网
4. 函数f(x)=在［－π，π］上的单调减区间为_________.
5. 设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－］上单调递增，则ω的取值范围是_________.
6.已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________
7.设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sin)≥0和f(2+cos)≤0.
（1）求证：b+c=－1；（2）求证c≥3；（3）若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值.
8. 在中，角的对边分别为，。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.
数学专题五 三角函数与解三角形
【直击高考】
1. 解析：函数=，从复合函数的角度看，原函数看作，，对于，当时，为减函数，当时，为增函数，当时，减函数，且，∴原函数此时是单调增，选A。
2.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, )时，y＜0。答案：D
3. 解析：若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C.
4. 解析：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－,0］及［,π］.而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－,0］及［,π］为f(x)的递减区间.
5. 解析：由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－,］，由题设得
6.解析：设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.
7.解析：(1)∵－1≤sin≤1且f(sin)≥0恒成立，∴f(1)≥0，∵1≤2+cos≤3,且f(2+cos)≤0恒成立.∴f(1)≤0.从而知f(1)=0，∴b+c+1=0.
(2)由f(2+cos)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.
(3)∵f(sin)=sin2+(－1－c)sin+c=(sin－)2+c－()2,
当sin=－1时，［f(sin)］max=8,由解得b=－4,c=3.
8. 解析：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得
ABC的面积。
数学专题六 解析几何
【考点精要】
考点一. 直线的倾斜角、斜率与方程。会用直接法、待定系数法、轨迹法等求直线方程。如：已知直线过（1，2）点，且在两坐标轴的截距相等，则此直线的方程为 。
考点二. 点、直线、直线与直线的位置关系。重点考查点与直线的距离，直线与直线的距离公式、位置关系，直线与直线的夹角。如：若直线通过点，则( )
A． B． C． D．
考点三. 直线与圆，圆与圆的位置关系。重点考查直线与圆的相关性质、圆与圆的相关性质。过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为( )
A． B． C． D．
考点四. 椭圆及其标准方程。椭圆的简单的几何性质，椭圆的参数方程的应用。双曲线及其标准方程，抛物线的简单的几何性质及其标准方程，抛物线的简单的几何性质。如：设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A． B． C． D．
考点五. 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交点（向量的数量积）、截取的线段。如：已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=( )
A． B． 2 C． D． 3
考点六. 圆锥曲线的离心率。一般考查两个方面：一是求离心率的值，另一个是根据题目条件求离心率的范围问题。求解时或根据题意巧设参数，或利用直线与圆锥曲线的交点得到不等量关系进而求出离心率的范围。如：已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
考点七. 圆锥曲线的轨迹方程。借助代数、几何、平面向量等求圆锥曲线的轨迹方程问题，一般运用代入法、交规法，参数法、设而不求法等。如：已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。
考点八. 圆锥曲线的最值。以圆锥曲线知识为依托，注重考查对称为题、参数问题、最值问题、存在性问题等，这类问题入手点难，运算量大，题目往往涉及的知识多，层次复杂，多以大题出现。
巧点妙拨
1．直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)中，仅有一般式可以表示坐标平面内的任意直线，其他四种形式都有局限性，故在使用是尽量使用一般式．
2．处理直线与圆的位置关系问题的常规思路有两个：其一，通过方程，利用判别式；其二，根据几何性质，借助圆心到直线的距离进行求解．
3．在求解直线与圆锥曲线的位置关系时，经常用到一些特殊技巧．比如：设而不求、整体运算等．这些运算都有一个公共的前提：△≥0．求解后切莫忘记验证．
【典题对应】
例1.(2009·山东理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
命题意图：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能。
解析:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故选D.
名师坐堂：解决双曲线问题时应结合图形进行思考，若直线与双曲线有一个交点时△=0就未必可以。同时在双曲线中也是至关重要的。
例2.（2009·山东理)设椭圆E：（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。
命题立意:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
解析:（1）因为椭圆E：（a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设
该圆的切线方程为,解方程组得,即
,
则△=,即
要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,所以,
所以当且仅当时取”=”
②当时,.
③当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上,|AB|的取值范围为即：
名师坐堂：1、待定系数法求方程是一种常用且较为有效的方法；2、在设直线方程式若设成斜截式应充分考虑到斜率是否存在；3、两直线垂直的充要条件:；4、求函数值域是要考虑自变量的取值范围。
【授之以渔】
（1）已知圆．①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
（2）已知圆．①过圆上的点的切线方程为;②斜率为的圆的切线方程为.焦点三角形：P为椭圆上一点，则三角形的面积S=特别地，若此三角形面积为；
（3）在椭圆上存在点P，使的条件是c≥b,即椭圆的离心率e的范围是。
【直击高考】
1. 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )
A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
2. 与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.
3. 双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则b2=_________.
4. 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
5. 已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)。(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
6. 已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.
(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？
数学专题六 解析几何
【直击高考】
1. 解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的整数点共有12个，分别为，，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有条，选A
2.解析：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。
3.解析：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2，∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.
4.解析：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.
由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)，设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4.点A到直线l的距离为d=.S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号。故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.
5.解析：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0。(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程有一个根，l与C有一个交点。(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时，Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)，①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.②当Δ＞0,即
k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)，又∵x1+x2=2,y1+y2=2，2(x1－x2)=y1－y1，即kAB==2，但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
6. 解析：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,，圆k的半径R=|AK|=
∴|MN|=2=2a(定值)，弦MN的长不随圆心k的运动而变化.
(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0，∴y1y2=y02－a2
∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项，∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.，又|MN|=|y1－y2|=2a，∴|y1|+|y2|=|y1－y2|，∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.，x0≤，圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a。且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.
数学专题七 立体几何与向量（理科）
【考点精要】
考点一. 求棱锥、棱台中的高、斜高。在正棱锥、棱台中利用几个直角三角形（高、斜高以及底面边心距组成的直角三角形，高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形等）进行相关的计算。
考点二. 斜二测画法的相关计算。斜二测画法的相关计算，重点考查直观图的定点与其他关键点，计算时尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上。
考点三. 三视图及相关面积、体积的计算。三视图及相关面积、体积的计算，注意掌握三视图之间的规律：正俯长相同、正侧高平齐，俯侧宽相同。
考点四. 柱体、锥体、台体的侧面积、表面积、体积的运算。注意运用割补法、等体积转化法求解相关体积。
考点五. 空间中点、线、面的位置关系以及直线、平面平行的判定与性质。近几年来加强了线面之间的距离、异面直线间的夹角、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直、线线垂直、线面角的考查。
考点六. 运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标。
巧点妙拨
1、垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：
（1）平行转化
（2）垂直转化
每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.
2．求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.
【典题对应】
例1.（2009·山东4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A. B. C. D.
命题意图：本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地
计算出.几何体的体积.
解析：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,
圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面
边长为，高为，所以体积为
所以该几何体的体积为.答案:C
名师坐堂：解决三视图问题的关键是能将三视图还原回
原几何体，还原过程中注意各种量的变化，尤其是正视图与
侧视图的各个量的变化。本题还原回原几何体后集合体为组
合体，上面是圆锥，下面是圆柱，求体积时采用分割求解即可。
例2.（2011·山东19）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，．
（Ⅰ）若是线段的中点，求证：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的大小．
命题意图：本题考查了立体几何中的线面平行的判定，以及二面
角的判断与求解。解答此题入口较多，学生既可以利用几何法又可以
利用坐标法，借以充分发挥学生的空间想象能力。
解析：几何法：
证明：（Ⅰ），可知延长交于点，而，，
则平面平面，即平面平面，
于是三线共点，，若是线段的中点，而,
则，四边形为平行四边形，则，又平面，
所以平面；
（Ⅱ）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角。若，设，则，，为的中点，，，
，在中,
则，即二面角的大小为。
坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，设，则,.
由可得，
由可得,
，则，，而平面，
所以平面；
（Ⅱ）（Ⅱ）若，设，则，
,则,,
,设分别为平面与平面的法向量。
则，令，则，；
，令，则，。
于是，则，
即二面角的大小为。
名师坐堂：1、研究线与面通常是转化成线与线的关系，或利用判定定理或利用向量予以解决；2、解决二面角的问题时往往要做到一作二证三求。首先应考虑做辅助线，然后证明某角为二面角的平面角，最后在求解。
【授之以渔】
1．立体几何中最重要的最常用的思想方法是化归与转化的思想．由转化思想，可建立空间中线线、线面、面面位置关系之间的联系，常用的转化方向有：①线线平行则线面平行，面面平行则线线平行；②线线垂直则线面垂直；③将空闻几何问题转化为平面几何问题．
2．求空间几何体体积常用的方法有直接套用公式法、转换法、分割和补体法等多种方法．转换法一般用于求棱锥的体积，分割法和补体法多用于不规则几何体的体积的求解．
3．三视图、图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势．解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分清变化前后．点、线、面的位置变化．
4．利用空间向量解决空间位置关系以及求角和距离等问题时．一是利用向量的分解与运算．二是利用向量的坐标运算，此时应注意建立适当的坐标系且运算要正确．
【直击高考】
1.若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .
2. 在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是( )
A． B． C． D．
3. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( )A. B. C. D.
4.如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是( )
A．点是的垂心，B．垂直平面
C．的延长线经过点，D．直线和所成角为
5. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号） ..①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
6. 如图，已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1.
（Ⅰ）求证：是定值；
（Ⅱ）已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，
使异面直线OP与BQ所成的角为90°？若存在，请给出证明，并求出AQ
的长，若不存在，请说明理由.
7. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F分别是AD,PC的中点.
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
数学专题七 立体几何与向量
【直击高考】1.解析：，，由
得，即，解得
2.解析：C 取BC的中点E，则面，，
因此与平面所成角即为，设，则，，即有． 3. 解析：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，，选A。
4. 解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；根据对称性知C正确。选D
5.解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。
6. 证明：（Ⅰ）在△SDC内，作SE⊥CD交CD于E，连结OE.
∵SO⊥平面ABCD， ∴SO⊥CD，∵CD平面SOE，∵CD⊥OE，
∴OE//AD，∴DE=1，从而CE=3。
。
是定值.
（Ⅱ）以O为坐标原点，以OS所在直线为Oz轴，以过O且平行于AD的直线
为Ox轴，以过O且平行于AB的直线为Oy轴，建立如图所示的空间直角坐标系.于
是，A（2，－1，0），B（2，3，0），C（－2，3，0），S（0，0，3），。设点Q（x，y，z），则存在（这是关键！将点的坐标用一个变量表示），即，
得
得，由。
7. 解析：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵AP=AB=2， BC=，四边形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0),F(1，，1).
∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0, 1），
∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，∴PC⊥BF,PC⊥EF, ,∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为，
则
∴， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为。
数学专题八 计数原理 概率与统计
【考点精要】
考点一. 概率的有关概念及等可能事件的概率。如：从｛1，2，3，4，5｝中随机选取一个数a，从｛1，2，3｝中随机选取一个数b,则b>a的概率是 。
考点二. 几何概型。主要考查几何概型的长度。如：在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).
A. B. C. D.
考点三. 相互独立事件同时发生的概率，以及有关概率的计算。如：两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（B）
A. B. C. D.
考点四. 排列组合。考查排列组合的相关知识，重点考查两个原理。如：某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种
考点五. 用样本的平均数、方差或标准差来估计总体的平均数、方差或标准差。如：样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若样本的平均值为1，则样本方差为 。
考点六. 考查分层抽样、随机抽样、系统抽样等，掌握各种抽样的特征与方法。如：一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6
考点七. 中位数、茎叶图的相关知识及频率分布直方图。考查频率分布直方图的基础知识，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率。如：将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。
考点八. 离散型随机变量的分布列与数学期望。如：设S是不等式的解集，整数，记使得“成立的有序数组”为事件A,（1）试列举A包含的基本事件；（2）记，求的分布列及数学期望。( )
巧点妙拨
1.排列与组合
⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.
⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.
2.二项式系数的性质
（1）在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 (r=0,1,2,…,n).
（2）所有二项式系数和等于，即.
3.概率
（1）基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．
（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．
（3）注意理解互斥事件与对立事件发生的条件。
（4）古典概型与几何概型：
古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．
几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．
两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．
【典题对应】
例1.（2010·山东5）已知随机变量Z服从正态分布，若，则=( )
A. 0.477 B. 0.625 C. 0.954 D. 0.977
命题意图：本题重点考查正态分布的基础知识，掌握其基础知识是解答好本题的关键。
解析：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线x=0对称，又，所以，，=，故选C。
名师坐堂：在正态分布中，数值计算问题是高考考查的一个热点，但考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无人下手或计算错误．若随机变量服从正态分布，那么随机变量在区间内取值的概率分别约为0．683、0．954、0．997，应熟练掌握这几个概率值，在解决正态分布问题时，经常用到这类数值的计算问题．
例2.(2011·山东理7) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元
命题意图：本题主要考查线性回归方程、平均数的相关知识。
解析：由表可计算，因为点在回归直线，且为9.4，所以，解得，故回归方程为，令得，选B。
名师坐堂：线性回归方程是新课程的内容，因线性回归方程的公式较为复杂，往往会被忽视，尤其是也在线性回归方程上，应注意灵活应用。
【授之以渔】
1．运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分.
2.计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式，以便准确计算事件A所包含的基本事件的个数和总的基本事件个数；计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题（如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题，及准确计算事件A所包含的基本事件对应的区域的长度、面积或体积．
3.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
4.二项分布是高中概率中最重要的概率分布，是近年高考非常注重的一个考点．二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又是在相同的条件之下重复发生．要记住二项分布概率模型的这个特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决．有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况．
【直击高考】
1. 通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由算得，.
附表：
21世纪教育网 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是
A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
2. 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为( )
A． B． C． D．
3. ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为
A. B. C. D.
4．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
5. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
6. 某班有学生36人，血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.
7. 在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，有什么方法最有说服力( )
A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性实验 D.概率
8. 为2010年上海世博会挑选志愿者，大会组委会决定从上海某高级中学中选拔部分学生参加，该高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
高一 高二 高三
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？
（Ⅱ）已知求高三年级女生比男生多的概率.
数学专题八 计数原理 概率与统计
【直击高考】
1. 解析：因为，由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”，故选C。
2.解析：故选D
3. 解析：长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为。
4． 解析：依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故=0.75。
5.解析：由题意得父亲和儿子的身高组成了三个坐标（173,170）、（170,176）、（176,182），其中前面的是父亲的身高，所以，，
，所以孙子的身高为cm.
6. 解析:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A型)＋P(两人血型均为B型)＋P(两人血型均为AB型)＋P(两人血型均为O型)＝.所以，P(两人血型不同)＝1－.
7. 解析：由于参加调查的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况，认为有关与无关，符合22列联表的要求，故用独立性检验最有说服力。
8. 解析：（Ⅰ）
高三年级人数为现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为(人).
（Ⅱ）设“高三年级女生比男生多”为事件，高三年级女生、男生数记为.
由（Ⅰ）知且则所有的基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），
（248，252），（249，251），（250，250），（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个, 事件包含的基本事件有（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共5个，
,故高三年级女生比男生多的概率为。
数学专题九 算法初步 复数 推理与证明
【考点精要】
考点一. 程序框图的结构，以及有关的简单运算。
考点二. 复数的运算和复数性质。如：设（是虚数单位），则( )A． B． C． D．
考点三. 复数在坐标系数内与点的对应关系.如：在复平面内，复数对应的点位第 象限。考点四. 考查复数的除法运算以及共轭复数的有关知识。如：复数等于 。
考点五. 归纳推理。以数列、函数等知识为依托考查归纳推理。如：在数列中，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由。
考点六. 类比推理。通过对点与线，线与面，圆与球，三角形与三棱锥，角与二面角等的类比进而考查类比推理。如：已知O是内任意一点，连结并延长交对边于，则，请运用类比思想，对于空间中的四面体，存在什么类似的结论？
考点七. 演绎推理。以函数知识为载体，利用函数的相关知识考查演绎推理。如：已知函数，其中，试确定的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性。
考点八. 分析法、综合法、反证法。考查分析法、综合法、反证法等的证明方法，体会数学证明的思考过程及特点，提升综合解决问题的能力。
巧点妙拨
1．算法的特征：（1）确定性；（2）有穷性；（3）可行性．
2．基本的程序框有起始框，输入、输出框，处理框，判断框．其中起始框是任何流程都不可缺少的，而输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．
3．掌握基本的算法语句，算法是计算机科学的基础，本部分要学习的算法语句，是为了将算法转换为计算机能够理解的程序语言和能在计算机上实现的程序所需要的语句，其作用就是实现算法与计算机的转换．主要有：（1）赋值语句（2）输入语句（3）输出语句（4）条件语句（5）循环语句。
4．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。
【典题对应】
例1.（2008·山东）执行右边的程序框图，若，则输出的 ．
命题意图: 考查程序框图的知识经常出现在高考的选择题或填空题中，理解程序框图中，程序的流向，执行步骤。难度属中等。
解析：循环的第一步：S＝，n＝2，
循环的第二步：S＝＋，n＝3，
循环的第三步：S＝，n＝4，
因此输出
名师坐堂：这是一个当型循环结构的程序框图，解法还是一样，从第一步开始写，直到循环的条件不成立时，结束循环，输出结果。
例2.(2011·山东2)复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）.
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
命题意图：本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.
解析：,故选D。
名师坐堂：复数知识较为单一，主要有复数的定义，复数相等，共轭复数，复数的乘法与除法运算等，学习时注意掌握并注意虚数的特性。
例3.（2011·山东理15）设函数，观察：
，，，
，……
根据上述事实，由归纳推理可得：
当，且时， 。
命题意图：本题主要考察学生运用归纳推理求函数的解析式，在运用归纳推理时考查学生对于数列通项公式的掌握与运用，考查学生分析问题、解决问题的能力。
解析：运用归纳推理很容易发现1、3、7、15的规律，同时2、4、8、16的规律更容易找寻，故答案为：。
名师坐堂：归纳推理的关键是归纳，应遵循从特殊到一般，重点是推理，推理要有根有据，推理不是猜测，根据归纳进行推理，运用推理验证归纳。
【授之以渔】
1．算法与复数是试卷中必考内容，试题以选择题或填空题的形式出现，主要考查程序框图和基本算法语句；复数的有关概念及复数相等；复数的几何意义等．推理与证明贯穿整个高考试卷的始终，也出现了专门考查归纳推理、类比推理，反证法和数学归纳法(理)证明的试题，随着新课标高考的深入，对推理与证明的考查会更加科学，特别在合情推理的考查方面定会有新的试题出现．
2．推理与证明贯穿高中数学的每一章节，是中学数学的重要内容，通过培养学生的观察、分析、比较、联想的能力，熟练进行归纳推理和类比推理，特别是与数列、不等式、立体几何、解析几何相结合的题目，把握“归纳一猜想一证明”类问题的解题思路以及类比推理中的“类比点”．
3．表达算法时要注意先有自然语言、再画流程图，最后才能写出基本算法语句，即程序。
【直击高考】
1. 执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的是( )
A. 120 B. 720
C. 1440 D. 5040
2.把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=
A. B. C. D.
3. 观察下列式子：…则可归纳出_________.
4. 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为( )
A. B. C. D.
5. 在中，于，有，那么在四面体中，类比以上结论，能得到什么样的猜想 。
6.等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记 ，
证明：对任意的 ，不等式成立。
数学专题九 算法初步 复数 推理与证明
【直击高考】
1. 解析：B按照算法的程序化思想，有程序框图执行下面的计算可得：
，
此时，按终止条件结束，输出
2. 解析： 故选A
3.解析：
，
(n∈N*)
4. 解析：因为为实数，所以故则可以取1、26，共6
种可能，所以，故选C。
5.解析：猜想：类比，猜想四面体中，两两垂直，平面，则。
证明如下：如图，连接BE交CD于F，连结AF。
,平面ACD.而AF平面ACD,
.在中在中，.所以，故猜想成立。
6. 解析：因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,
（2）当b=2时，,
则,所以
下面用数学归纳法证明不等式成立.
①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
②假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=
所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.
数学专题十 圆锥曲线及其应用
【考点精要】
考点一. 椭圆、双曲线、抛物线的离心率。如：设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B. 2 C. D.
考点二. 圆锥曲线的第一或第二定义。如：已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( )
a. b. 2 C. D. 3
考点三. 圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系。直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如：设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.
考点四. 圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径。将圆锥曲线的相关知识与向量等知识相结合，考查圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径等知识。
考点五. 圆锥曲线中有关角、线段、面积。以圆锥曲线为依托，借助点与线的关系，考查圆锥曲线中有关角、线段、面积等知识，考查综合运算能力。如：设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=( )
A. B. C. D.
考点六. 圆锥曲线中有关的距离最短、距离之和最小。利用圆锥曲线与直线的特殊关系，研究有关的距离最短、距离之和最小等，考查学生分析问题、解决问题以及数形结合的能力。如：已知直线和，抛物线上一动点到和的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
考点七. 待定系数法求曲线方程。能用待定系数法求曲线方程，处理直线与圆锥曲线的相关问题以及有关对称问题。此类问题多属于中档或高档题。如：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.
考点八. 求圆锥曲线方程的方法。能运用多种方法（如：直接法、定义法、几何法、代入法、参数法、交规法等）求圆锥曲线的方程，求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹性。
巧点妙拨
1. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.
2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
3. 求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值。
【典题对应】
例1.(2009·山东)设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线与圆C:(1命题意图：本题主要考查直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题。
解析：（1）因为,,,所以, 即.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时,方程表示的是圆;当且时,方程表示的是椭圆；当时,方程表示的是双曲线.
(2)当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E
恒有两个交点A,B,则使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两
数学专题一 集合 简易逻辑与命题
【考点精要】
考点一. 集合中元素的意义。集合中的元素有的是数，有的是点，有的是范围等，研究集合元素时应引起重视。如：集合A=，集合B=，集合A中的元素是点而集合B中的元素是数。
考点二. 元素与集合、集合与集合之间的关系.以及与是两组极易混淆的概念.表示元素与集合之间的关系，表示集合与集合之间的关系.一般地表示一个元素，表示只含有一个元素的集合.
考点三. 集合中元素的互异性.例如集合，集合，且P=Q,求实数a,b的值.在利用两集合相等求解时，共得到三种结果：（1）a=1,b=0,（2）a=-1,b=0,(3)a=1,b=1.确定最后的答案时一定注意验证.
考点四. 空集的特殊性.空集是不含任何元素的集合，是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集，空集与任何集合的交集都是空集，例如集合求的取值范围.解答此题首先要考虑到B是空集的情况.
考点五. 命题的否定与否命题的区别.对于一个命题，命题的否定只是否定它的结论，而否命题则是即否定题设也否定结论.对于命题“若P则q”，其命题的否定是“若p则”，其否命题是“若则”.
考点六. 充要条件.注意从集合角度掌握充分条件、必要条件,已知
，有的必要条件，求实数a的取值范围.
考点七. 数形结合思想的运用.注意运用数形结合思想，数形结合思想作为一种重要的数学思想在解决集合等比较抽象的问题时尽可能借助韦恩图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题具体化.如：设A、B、I均为非空集合，且满足，则下列各式中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
解析：利用韦恩图可知，选B
考点八. 逻辑联结词“或”的意义.“或”这个逻辑联结词，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”，是指a，b中的某一个，但不是两者，日常生活中常采用这种解释。而课本中一般采用另一种解释：“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两者。例如“或”是指x可能属于A但不属于B；x也可能不属于A但属于B；x还可能既属于A又属于B.
巧点妙拨
1.集合中的元素三个基本特性的应用
（1）确定性：任意给定一个对象，都可以判断它是不是给定集合的元素，即给定集合必须有明确的条件，依此条件可以明确地判定某一对象是否是这个集合的元素，如“较大的数”“著名科学家”等均不能构成集合。
（2）互异性：集合中任何两个元素都应该是不同的，特别是含有字母的问题，解题后需进行检验。
（3）无序性：集合中元素排列没有顺序。
2．简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，如果在解答题中出现，则只会是中低档题．
3．集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现．
【典题对应】
一 、集合与绝对值不等式的结合
例1.（2010·山东1）已知全集U=R，集合，则( )
A. B. C. D.
命题意图:本题主要考查集合、绝对值不等式以及利用韦恩图解题，多年来此种类型的题目考查已成常态化、程式化，要引起重视。
解析：化简集合M=,,故选C.
名师坐堂： 这种类型的选择题应首先准确解出集合M的解集，利用子集、交集、并集、补集的概念求出M的补集。
二、集合与充要条件的结合
例2. （2010·山东9）设是等比数列，则“”是“数列是递增数列”的( )
A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
命题意图：本题主要考查充分必要条件、等比数列的相关性质，以数列的相关性质为依托，考查考生分析问题、解决问题以及推理能力。
解析：为等比数列，=，由得故选C.
名师坐堂：解决充要条件问题一定要弄清命题的已知与结论的关系，考察是正推还是逆推，无论是正推还是逆推都要符合逻辑推理原则。
三、集合与一元二次不等式的结合
例3.(2011·山东1)设集合 M ={x|}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =( ).A. [1,2) B. [1,2] C. ( 2,3] D. [2,3]
命题意图:本题主要考查集合、一元二次不等式以及利用数轴解题，多年来此种类型的题目考查已成常态化、程式化，要高度引起重视。
解析：M ={x|，所以所以选A。
名师坐堂：这种类型的选择题应首先准确解出集合M的解集，利用交集的概念求出。
名师坐堂: （1）全称命题：含有全称量词的命题。“对xM，有p（x）成立”简记成“xM，p（x）”。
（2）特称命题：含有存在量词的命题。“xM，有p（x）成立” 简记成“xM，p（x）”。
【授之以渔】
1．题型分析：选择题—做选择题时主要考虑一下几个方面：一、直推法，运用逻辑推理将已知条件进行推导直接得出 。二、倒推法，由结论入手向已知条件递推。三、验证法，将所给的答案逐一代入验证，符合已知的即为答案。三、数形结合法，将已知条件转化成图形通过计算观察得出结论。四、猜测法（排除法），对题目的已知条件进行适当类比，估测出相应答案。
2．在复习中首先把握基础性知识，深刻理解本单元的基本知识点、基本数学思想和基本数学方法．重点掌握集合、充分条件与必要条件的概念和运算方法．要真正掌握数形结合思想——用文氏图解题．
3．涉及本单元知识点的高考题，综合性大题不多．所以在复习中不宜做过多过高的要求，只要灵活掌握小型综合题型(如集合与映射，集合与自然数集，集合与不等式，集合与方程等，充分条件与必要条件与三角、立几、解几中的知识点的结合等) 映射的概念以选择题型出现，难度不大。
4．活用“定义法”解题。定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点。利用定义，可直接判断所给的对应是否满足映射或函数的条件，证明或判断函数的单调性与奇偶性并写出函数的单调区间等。
5．重视“数形结合”渗透。“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。当研究的问题较为抽象时，当思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议便是：画个图!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题。
6．实施“定义域优先”原则。函数的定义域是函数最基本的组成部分，任何对函数性质的研究都离不开函数的定义域。例如，求函数的单调区间，必须在定义域范围内；通过求出反函数的定义域，可得到原函数的值域；定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要条件。为此，应熟练掌握求函数定义域的原则与方法，并贯彻到解题中去。
【直击高考】
1. 已知函数的定义域为M，的定义域为N，则M( )
A. B. C. D.
2. 设集合A=，B=，则满足的集合M的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3. 若集合，则A∩B=
4. 集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩( UT)等于( )
A．{1,4,5,6} B．{1,5} C．{4} D．{1,2,3,4,5}
5. 设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S A且S∩B≠ 的集合S的个数是( )
A．57 B．56 C．49 D．8
6. 已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)
C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
7. i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则( )
A．i∈S B．i2∈S C．i3∈S D.∈S
数学专题一 集合 简易逻辑与命题
【直击高考】
1. 解析：C。 函数的定义域为，要注意分母不能为零，函数的定义域为，由交集的定义可知选C。
2. 解析：C。 应先求出A与B的交集，的个数有2个，即和。
3.解析：∵，∴当x=1时，，∴，当x=-1时，，∴，∴。
4.解析： S∩( UT)＝{1,4,5} ∩{1,5,6}＝{1,5}．选B。
5.解析：集合S的个数为26－23＝64－8＝56.选B。
6.解析：由P∪M＝P，可知M P，而集合P＝{x|－1≤x≤1}，所以－1≤a≤1，故选C.
7.解析：由i2＝－1，而－1∈S，故选B.
数学专题二 数列、函数与方程
【考点精要】
考点一. 等差、等比数列的定义。等差数列的前n项和在公差不为0时是关于n的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列的前n项和。则数列为等差数的充要条件是c=0”；在等差数列中,是等差数列。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注。如是等比数列，则就不一定是等比数列。
考点二. 数列的递推关系。解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行交换。把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理。转化的常用方法有：(1)待定系数法。如可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列。(2)取倒数法，如对的基本变换思想是先取倒数，再通过待定系数法变换为。(3)观察变换法，如，可以变换为，转化为等比数列，还有取对数法等．解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、不能出错．
考点三. 数列与分段函数。通过考查分段函数进而明晰数列n在不同的范围内赋予不同的意义。如：数列中， 求。
考点四. 数列的通项公式以及前n项和。数列的通项公式以及前n项和公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性。高考中诸多题目均能涉及。如：设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则__________.
考点五. 函数、导数、方程、数列的综合应用。以函数、导数、方程、数列等知识为载体，考查学生综合运用观察、归纳、猜想、证明等分析问题、解决问题的能力，考查学生对函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等思想的运用。
考点六．等差数列前n项和最值的求法：
⑴ ；⑵利用二次函数的图象与性质。
巧点妙拨
1．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳； 掌握数列通项与前n项和之间的关系。
2．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；注意掌握一些数列求和的方法，如：(1)分解成特殊数列的和，(2)裂项求和，(3)错位相减法求和等。
3．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．
4. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。
5. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩法，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。
6. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。
【典题对应】
一、等差、等比数列的概念与性质
例1. （2008·深圳模拟）已知数列的前n项和
（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和。
解：（1）当；、
当，
、
（2）令
当；
当
综上，
二、求数列的通项与求和
例2．(2011·山东理20) 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.
命题意图：主要考察分类讨论的思想及数列求和的方法。
解析：（Ⅰ）当时，不合题意；
当时，当且仅当时，符合题意；
当时，不合题意。
因此
所以公式q=3，
故
（Ⅱ）因为
所以 所以、当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上所述，
名师坐堂：归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。
三、数列与不等式的联系
例3.（２００９·湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足且。又已知成等差数列。
（1）求数列的通项；
（2）令，求证：对于任意，都有。
命题意图：主要考察数列与不等式的结合。
解析：（1）解：∵ ∴ ∴
∵且 ∴ ∴。
（2）证明：∵ ，
∴
名师坐堂：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。
四、数列与函数、概率等的联系
例4. (2008·福建理) 已知函数.
（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点 (n∈N*)在函数
y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.
命题意图：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.
（Ⅰ）证明：因为所以′(x)=x2+2x, 由点 (n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，又所以
所以,又因为′(n)=n2+2n,所以, 故点也在函数y=f′(x)的图象上.
（Ⅱ）解:,
由得.
当x变化时,﹑的变化情况如下表:
注意到,从而
①当,此时无极小值；
②当的极小值为,此时无极大值；
③当既无极大值又无极小值.
名师坐堂: 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题。
例5 .（２００７·江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
命题意图：主要考察数列与概率的结合。
解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B。
名师坐堂：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。
【授之以渔】
1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，主要加大了对“递推公式”的考查。
2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.
等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。
求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.
将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.
有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的更突出。
数列与程序框图的综合题应引起高度重视。
3. 在题型设计方面、选择题和填空题主要考查数列的概念．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果。等差与等比数列的基础知识与基本技能，突出“小、巧、活”的特点；解答题常把数列、函数、不等式等知识结合．在知识交汇处命题．综合考查应用意识、推理能力和数学思想方法。
【直击高考】
1. 如果数列满足，，且(≥2)，则第10项等于( )
A. B. C. D.
2. 若数列满足，则等于( )
A．1 B．2 C． D．
3. 等差数列{an}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于( )
A． B．12 C． D．6
4. 将数列按第n组有n个数的规则分组如下：（1），（3,9），（27,81,243），……，则第100组中的第一个数是( )
A． B． C． D．
5. 数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则( )
A．0 B．3 C．8 D．11
6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升
7.设平面内有n条直线（n≥2），其中任意两条直线都相交且交点不同；若用f(n)表示这n条直线把平面分成的区域个数，则f(2)= ，f(3)= ，f(4)= ，当n＞4时，f(n)= .
8. 已知函数图象上的两点，横坐标为的点P满足（O为坐标原点）.
（Ⅰ）问是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
（Ⅱ）若。
9. 已知数列{an}和{bn}满足a1=b1，且对任意n∈N*都有an+bn=1，.
求数列{an}和{bn}的通项公式。
数学专题二 数列、函数与方程
【直击高考】
1. 解析：由得：，所以｛｝为等差数列，故应选D.
2. 解析：由已知得：，所以数列是一个周期数列，故应选B.
3.解析：因为，所以选D.
4．解析：A 由“第n人数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有个，故第100组中的第1个数是。
5.解析：由已知知由叠加法既得.选B。
6. 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.
7.解析：由画图可知f(2)=4,f(3)=7,f(4)=11,f(n)=f(n-1)+n,即f(n)=n+(n-1)+(n-2)+…+3+f(n)=。
8. 解析：（Ⅰ）是定值，等于1。由已知可得，，
∴P是MN的中点，有x1 + x2 = 1.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知当
相加得
9. 解析：∵对任意n∈N*都有an+bn=1，.
∴，∴，即.
∴数列是首项为，公差为1的等差数列。
a1=b1，且an+bn=1，∴.由(1)知，∴， 。
数学专题三 函数与不等式
【考点精要】
考点一. 一元二次不等式及其应用。主要考查一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程“三个二次”的关系。特别当一元二次不等式的解集是和R的情况的等价命题：的解集是R或。如：设为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同实根，则的最小值为（D）
A．-8 B. 8 C.12 D.13
考点二. 绝对值不等式。。解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；
如: (2011年高考山东卷理科4)不等式的解集为
A．[-5.7] B．[-4,6]
C． D．
解答:D
考点三. 二元一次不等式组与简单的线性规划问题。了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等知识点。考查用线性规划的方法解决两种重要的实际问题：一是给定一定数量的人力、物力资源，怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小。如：设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是
A．14 B．16 C．17 D．19
【答案】 B
考点四. 不等式的性质。一般不直接单独命题，往往与指数函数、对数函数、幂函数等结合进行考查。
如：（2009·湖南1）若，则（ ）
A. B. C. D.
考点五. 利用不等式考查函数的性质。利用不等式的性质考查函数的性质如单调性、周期性、参数的范围等。此类题既可以是选择题、填空题也可以是解答题，考查的范围比较广。如：（2010·江苏11）已知函数，则满足不等式的取值范围是 。
考点六. 函数的最值。通过考查函数的最值进而考查学生对不等式的性质、函数的性质的理解和掌握。此类问题综合性较强，多以解答题的形式进行考查，需要学生具备较好的基础知识，并且具有灵活分析问题、解决问题的能力。如：（2009·宁夏银川）已知,其中。（1）当时，求函数的最大值与最小值；（2）求取值范围，使在区间上是单调函数。
考点七. 无理不等式的解法。通常以不等式的性质为依据，等价转化为有理不等式组，对于某些特殊的无理不等式，可以考虑用数形结合的方法求解。如函数及等的图像与性质。
考点八. 利用函数的单调性、恒成立问题解不等式。利用函数的单调性、恒成立问题解不等式。此类问题多出现解答题中，这类问题较难把握，其关键是找到（列出）不等式（组），再解不等式（组），其中参变量是一种常用的策略：恒成立。
考点九.分式不等式的解法.一般是将分式不等式转化为整式不等式,如一元二次不等式组,在一些选择题和填空题中,有时也用穿根法解.即：
，
，
用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．如:（2011年高考上海卷理科4)不等式的解为 。
【答案】或
考点十.基本不等式的应用. 基本不等式这几年在高考题中时常出现,主要是求一些函数的最值,注意一正、二定、三相等。特别注意的是，当等号不能成立时，用对号函数（有的资料叫勾函数）的单调性。如：若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．
巧点妙拨
1．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．
2．强化不等式的应用,突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识．高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．
【典题对应】
一、线性规划与基本不等式
例1.(2009·山东理12)设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则的最小值为( ).
A. B. C. D. 4
命题意图：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.，要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值。
解析：A 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z（a>0，b>0），过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A.
名师坐堂：本题应先画出可行域，根据条件求出2a+3b=6,利用均值不等式求出最小值。求线性目标函数的最值关键是将目标函数进行平移，以确定最优解所对应的点的坐标。
二、含绝对值不等式的解法
例2. (2011年高考广东卷理科9)不等式的解集是______.
命题意图：本题综合考查了含绝对值不等式的解法及去掉绝对值号的方法，并会解答简单的一元二次不等式。
解析：。由题得 所以不等式的解集为。
名师坐堂：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．运用零点讨论法时，要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．
三、分式不等式的解法
例3.解下列分式不等式：
；
命题意图：主要考查分式不等式与其他不等式的转化，主要转化为一元二次不等式组，特别在一些选择和填空题中也可运用穿根法。
解析：原不等式等价于
用“穿根法”其解集如下图的阴影部分：
∴原不等式解集为．
名师坐堂：当分式不等式化为时，要注意它的等价变形
①
②
【授之以渔】
1. 不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化
为最值问题来解：恒成立；恒成立。
2. 由求的取值范围，可利用待定系数法，
即设，用恒等变形求得，再利用不等式的性质求得的范围。
【直击高考】
1．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y=的最小值是( )
A． B．4 C． D．5
2．设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是( )A．14 B．16 C．17 D．19
3．设函数，则满足的x的取值范围是( )
A．[—1,2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）
4．（安徽理4）设变量的最大值和最小值分别为( )A．1，－1 B．2，－2 C． 1，－2 D．2，－1
5． 设a＞1,且,则的大小关系为( )
A．n＞m＞p B．m＞p＞n
C．m＞n＞p D．p＞m＞n
6．不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．（-∞，-1] B．[-∞，-2）∪[5，+∞）
C．[1，2] D．（-∞，1]∪[2，+∞）
7．(湖北理17） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当时，求函数的表达式;
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）。
数学专题三 函数与不等式
【直击高考】
1.解析：，故选C. 2.解析：根据题意划出可行域，注意可行域不是面而是一系列的点，根据线性规划求最值的方法易求得答案为B.
3.解析：分两种情况讨论最后求并集，答案为D.
4.解析：根据题意划出可行域，根据线性规划求最值的方法易求得答案为B.
5． 解析：设a＞1,
∴ ，，,∴ 的大小关系为m＞p＞n，选B。
6． 解析：函数的最大值为4，由已知条件，即，解得，或，选A。
7． 解析：（Ⅰ）由题意：当；当
再由已知得
故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；
当时，
当且仅当，即时，等号成立。
所以，当在区间[20，200]上取得最大值
综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
数学专题四 函数与导数
【考点精要】
考点一. 函数定义域。考查函数的概念、单调性、解不等式等，借此考查计算能力。如求函数的定义域。
考点二. 函数的解析式。通过两种形式考查函数的解析式：一种是客观题中通过分段函数考查函数性质，另一种是主观题中通过解析式的设问，考查函数的性质。如：定义运算为：，如：则函数的值域为（ ）A.R B.（0， C.（0，1] D.[1,+
考点三. 函数的定义与函数的奇偶性。利用函数的定义与函数的奇偶性考查函数的相关性质。如设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图像关于直线对称，则 。
考点四. 导数及函数的综合性质。以函数的单调性为重点，考查导数及函数的综合性质。如：（福建）已知函数的图像在点处的切线方程为，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间。
考点五. 函数的奇偶性、对称性。以函数的周期性为依托，综合考查函数的奇偶性、对称性等各种性质，以及对思维能力、推理能力、运算能力的考查。（广东卷）设函数在上满足，，且在闭区间上，只有。（Ⅰ）试判断函数的奇偶性；（Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。
考点六. 函数与导数的综合应用。以指数式、对数式的运算和指数函数与对数函数的性质等基础知识为考点，考查分析运用条件、探索运算方向、选择运算公式、确定运算程序的思维能力和运算能力。（全国卷）若，则（ ）
A. B. C. D.
考点七. 导数、函数的单调性。以函数的值域、极值与最值为考点，考查导数、函数的单调性等性质。如：已知函数，（Ⅰ）求的单调区间和值域；设，函数若对任意，总存在，使成立，求的取值范围。
考点八. 函数或导数的模式构建。以函数知识为平台，以向量知识为工具，借助其他知识，考查学生思维能力、逻辑推理能力、模式构建能力与运算能力。如：在直角坐标平面中，已知点，其中n是正整数，对平面上任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，…，为关于点的对称点。对任意偶数n，用n表示向量的坐标。
巧点妙拨
1．讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.?
对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a＝0和a≠0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a＞1和0＜a＜1分两种情况讨论.?
2．在理解极值概念时要注意以下几点：①极值点是区间内部的点，不会是端点；②若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；③极大值与极小值没有必然的大小关系；④一般的情况，当函数在［a，b］上连续且有有限个极值点时，函数在［a，b］内的极大值点和极小值点是交替出现的；⑤导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.?
求函数的最值可分为以下几步：①求出可疑点，即＝0的解x0；②用极值的方法确定极值；③将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.?
3．利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：①＞0是递增的充分条件而非必要条件（＜0亦是如此）；②求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据＞0（或＜0）解出在定义域内相应的x的范围；③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.
函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.
【典题对应】
例1.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km．
（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；
②设OP(km) ，将表示成x的函数关系式．
（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．
命题意图：主要考察函数最值、导数的实际应用。
解析： （Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，
则, 故，又OP＝10－10ta，所以，
所以函数关系式为。
②若，则，所以，所求函数关系式为。
（Ⅱ）选择函数模型①，，令得，因为，所以，
当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当时，。这时点位于线段的中垂线上，且距离边处。
名师坐堂：此类试题主要是利用函数、不等式与导数相结合设计实际应用问题，旨在考查考生在数学应用方面阅读、理解陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点. 解答类似于本题的问题时，可从给定的数量关系中选取一个恰当的变量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征(非常规函数)，确定运用导数最值理论去解决问题.
例2.(2009·山东理)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
命题意图：本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.
解析:（1）如图,由题意知AC⊥BC,,
其中当时，y=0.065,所以k=9
所以y表示成x的函数为
（2）,
,
令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
名师坐堂：求函数的最值问题当不能巧妙应用均值不等式、二次函数、三角函数的有界性、函数的单调性时，这时往往要借助导函数进行求解，利用导函数求解时要注意定义域、导函数方程的解、以及实际问题中自变量的取值。
授之以渔
1. 数学思想能够把具体问题中数量间的关系用函数关系表示出来，转化为关于函数的最值或性质问题。在进行转化时切忌转化不全面，在求解时往往忽视实际问题对变量参数的限制条件。
2. 不等式恒成立问题，常转化为函数的最值问题，通过求函数的最值得出的取值范围。一般地，证明不等式通常转化为证明从而将问题转化为问题。
3.在求函数闭区间上的函数的最值的方法：在求得函数值的基础上，将其与端点处的函数值加以比较，最大者即为所求最大值，最小者即为所求最小值。在生产建设和科学技术中，“用料最省”、“体积最大”等实际问题，常常可以用求函数的最大值与最小值的方法解决。解决问题的关键是分析实际问题得出函数解析式，利用导数工具加以解决，进而得出符合实际问题的解。
4. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
注：函数的极值点一定有意义.
【直击高考】
1. 定义在区间(－∞,+∞)的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间［0，+∞)的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0,给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)
2. 函数的图像大致为( ).
3. 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是( )
A． B． C． D．
4. 若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( )
A．或 B．或 C．或 D．或
5．设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是( )
A．[-1，2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）
6. 设函数，对任意, 恒成立，则实数m的取值范围是 。
7. 已知定义在上的函数在区间上的最大值是5，最小值是.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
8.(2011年高考山东卷理科21)某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
数学专题四 函数与导数
【直击高考】
1. 解析：用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).即①与③成立故答案：C。
2.解析:函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A.
3.解析：由得，
即，∴∴，∴切线方程为
，即选A
4.解析：设过的直线与相切于点，所以切线方程为
即，又在切线上，则或，
当时，由与相切可得，
当时，由与相切可得，所以选.
5．解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.
6. 解析：由题意知：在上恒成立，在上恒成立，
当时，函数取得最小值，
所以，即解得或。
7. 解析：（Ⅰ）
令=0,得。
因为，随的变化而变化如下表：
0
+ 0 -
↗ 极大 ↘
由表可知必为最大值,∴，即，
，即，
∴，。
（Ⅱ）∵，∴等价于，
令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，解得，
故所求实数的取值范围是。
8.解析:（Ⅰ）设容器的容积为V，
由题意知
故,由于,因此
所以建造费用
因此
（Ⅱ）由（I）得
由于,当,令
所以
（1）当时，当r=m时，y′=0；当r∈(0,m)时，y′＜0；
当r∈(m,2)时，y′＞0.所以是函数y的极小值点，也是最小值点。
（2）当即时，
当函数单调递减，所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时
当时，建造费用最小时
数学专题五 三角函数与解三角形
【考点精要】
考点一. 常见的几个三角关系式。（1）若，则.(2) 若，则.(3) .
考点二. 三角函数的诱导公式。考查三角函数的诱导公式的灵活变形。正弦、余弦的诱导公式
考点三. 正余弦定理的变形与应用。
正弦定理.
余弦定理;
;
.
考点四. 考查三角函数的图像与性质。如：将函数的图象按向量平移后所得图象关于点中心对称，则向量的坐标可能为( )
A． B． C． D．
考点五. 三角公式与变换。三角公式与变换.在三角变换中“1”的变换非常巧妙。如：=。考查角的巧妙变换。如: 等，这些是利用和、差角公式求解问题中经常用到的变形。
考点六. 三角形中的边角关系,根据条件解三角形。已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量＝（），＝（cosA,sinA）.若，且acosB + bcosA =csinC，则角B＝ .
巧点妙拨
1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.
2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从2008年至2011年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题。
3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
4. 三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切割化弦，降幂公式，用三角公式转化出现特殊角，异角化同角，异名化同名．高次化低次等．
5．解斜三角形中需熟练运用正、余弦定理，掌握正、余弦定理适用的情况，合理进行边角互化，正确处理多解问题，并熟练结合使用三角形中的结论如：A+B+C=，,若ABC为锐角三角形，则A+B>,等．
6．在解三角形时已知三边，用余弦定理求解时，只有一解；已知两边及夹角用余弦定理求解时，必有一解。
【典题对应】
例1.（2010·山东理17）已知函数（，其图像过点。（1）求的值；（2）将函数的图像上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值。
命题意图：本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图像变换以及三角函数的最值问题，分析问题解决问题的能力。
解析：（1）因为已知函数图像过点，
所以有，
既有+
，所以，解得
（2）由（1）知：所以=
，所以，因为，所以所以当=时，取最大值，当=时，取最小值。
名师坐堂：三角函数式的化简、诱导公式的灵活应用、二倍角公式的应用，图像变换、三角函数的最值在本题中得到综合考查，题目难度不大但知识涵盖面广，即考查数形结合又考查分类讨论，若有一处考虑欠佳都将影响整体效果。
例2.（2011·山东理17）在中，内角的对边分别为，已知。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若的面积。
命题意图：本题考查正余弦定理的应用、三角形面积公式的应用，进而考查学生分析问题解决问题的能力。
解析：（Ⅰ）由正弦定理，
设，
则，
所以
。即，
化简可得。又，
所以。因此。
（Ⅱ）由得。由余弦定理，，，得。解得因此。又因为，且所以因此。
名师坐堂：在应用正弦定理时，要注意巧妙利用其比值为同一个值，同时应注意三角形的内角和，此类题目总体难度不大，但应学会借助三角公式进行化简。
【授之以渔】
1.三角函数是高考的重点内容，高考对三角函数主要考查以下三个方面：
（1）三角函数的图象和性质，重在考查三角函数的值域、单调性、周期性、奇偶性、最值等；（2）是三角函数的恒等变换；（3）是三角函数的最值与求值问题．而三角函数的图象和性质是高考的热点之一；解三角形主要考查正、余弦定理的直接应用、变形应用，以及利用正、余弦定理解斜三角形．其中两类斜三角形的求解、三角形面积公式的应用是重点．与实际问题相联系，考查高度、角度的测量等是高考考查的一个新热点，以平面向量为载体考查三角函数的基础知识，把平面向量、三角函数、解三角形等知识有机结合，题目精而巧．正在成为近年高考的热点．
2. 重视数学思想方法的复习，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋ （k∈Z），对称中心为（kπ，0），（k∈Z）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果.
【直击高考】
1. 函数的一个单调增区间是( )
A． B． C D．
2. 函数y=－x·cosx的部分图象是( )
.
3.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．21世纪教育网
4. 函数f(x)=在［－π，π］上的单调减区间为_________.
5. 设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－］上单调递增，则ω的取值范围是_________.
6.已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积为_______________
7.设二次函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知不论α、β为何实数恒有f(sin)≥0和f(2+cos)≤0.
（1）求证：b+c=－1；（2）求证c≥3；（3）若函数f(sin)的最大值为8，求b，c的值.
8. 在中，角的对边分别为，。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.
数学专题五 三角函数与解三角形
【直击高考】
1. 解析：函数=，从复合函数的角度看，原函数看作，，对于，当时，为减函数，当时，为增函数，当时，减函数，且，∴原函数此时是单调增，选A。
2.解析：函数y=－xcosx是奇函数，图象不可能是A和C，又当x∈(0, )时，y＜0。答案：D
3. 解析：若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C.
4. 解析：在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－,0］及［,π］.而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－,0］及［,π］为f(x)的递减区间.
5. 解析：由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－,］，由题设得
6.解析：设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得，则，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.
7.解析：(1)∵－1≤sin≤1且f(sin)≥0恒成立，∴f(1)≥0，∵1≤2+cos≤3,且f(2+cos)≤0恒成立.∴f(1)≤0.从而知f(1)=0，∴b+c+1=0.
(2)由f(2+cos)≤0,知f(3)≤0,∴9+3b+c≤0.又因为b+c=－1,∴c≥3.
(3)∵f(sin)=sin2+(－1－c)sin+c=(sin－)2+c－()2,
当sin=－1时，［f(sin)］max=8,由解得b=－4,c=3.
8. 解析：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且，，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得
ABC的面积。
数学专题六 解析几何
【考点精要】
考点一. 直线的倾斜角、斜率与方程。会用直接法、待定系数法、轨迹法等求直线方程。如：已知直线过（1，2）点，且在两坐标轴的截距相等，则此直线的方程为 。
考点二. 点、直线、直线与直线的位置关系。重点考查点与直线的距离，直线与直线的距离公式、位置关系，直线与直线的夹角。如：若直线通过点，则( )
A． B． C． D．
考点三. 直线与圆，圆与圆的位置关系。重点考查直线与圆的相关性质、圆与圆的相关性质。过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为( )
A． B． C． D．
考点四. 椭圆及其标准方程。椭圆的简单的几何性质，椭圆的参数方程的应用。双曲线及其标准方程，抛物线的简单的几何性质及其标准方程，抛物线的简单的几何性质。如：设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A． B． C． D．
考点五. 直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的交点（向量的数量积）、截取的线段。如：已知椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。若,则=( )
A． B． 2 C． D． 3
考点六. 圆锥曲线的离心率。一般考查两个方面：一是求离心率的值，另一个是根据题目条件求离心率的范围问题。求解时或根据题意巧设参数，或利用直线与圆锥曲线的交点得到不等量关系进而求出离心率的范围。如：已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
考点七. 圆锥曲线的轨迹方程。借助代数、几何、平面向量等求圆锥曲线的轨迹方程问题，一般运用代入法、交规法，参数法、设而不求法等。如：已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。
考点八. 圆锥曲线的最值。以圆锥曲线知识为依托，注重考查对称为题、参数问题、最值问题、存在性问题等，这类问题入手点难，运算量大，题目往往涉及的知识多，层次复杂，多以大题出现。
巧点妙拨
1．直线方程的五种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)中，仅有一般式可以表示坐标平面内的任意直线，其他四种形式都有局限性，故在使用是尽量使用一般式．
2．处理直线与圆的位置关系问题的常规思路有两个：其一，通过方程，利用判别式；其二，根据几何性质，借助圆心到直线的距离进行求解．
3．在求解直线与圆锥曲线的位置关系时，经常用到一些特殊技巧．比如：设而不求、整体运算等．这些运算都有一个公共的前提：△≥0．求解后切莫忘记验证．
【典题对应】
例1.(2009·山东理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
命题意图：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能。
解析:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故选D.
名师坐堂：解决双曲线问题时应结合图形进行思考，若直线与双曲线有一个交点时△=0就未必可以。同时在双曲线中也是至关重要的。
例2.（2009·山东理)设椭圆E：（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。
命题立意:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
解析:（1）因为椭圆E：（a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设
该圆的切线方程为,解方程组得,即
,
则△=,即
要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,
,
①当时
因为所以,所以,
所以当且仅当时取”=”
②当时,.
③当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上,|AB|的取值范围为即：
名师坐堂：1、待定系数法求方程是一种常用且较为有效的方法；2、在设直线方程式若设成斜截式应充分考虑到斜率是否存在；3、两直线垂直的充要条件:；4、求函数值域是要考虑自变量的取值范围。
【授之以渔】
（1）已知圆．①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．
③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．
（2）已知圆．①过圆上的点的切线方程为;②斜率为的圆的切线方程为.焦点三角形：P为椭圆上一点，则三角形的面积S=特别地，若此三角形面积为；
（3）在椭圆上存在点P，使的条件是c≥b,即椭圆的离心率e的范围是。
【直击高考】
1. 已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )
A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
2. 与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.
3. 双曲线=1(b∈N)的两个焦点F1、F2，P为双曲线上一点，|OP|＜5，|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等比数列，则b2=_________.
4. 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
5. 已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)。(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
6. 已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.
(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？
数学专题六 解析几何
【直击高考】
1. 解析：可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的整数点共有12个，分别为，，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有条，选A
2.解析：曲线化为，其圆心到直线的距离为所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。
3.解析：设F1(－c,0）、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)＜2(52+c2),即|PF1|2+|PF2|2＜50+2c2,又∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|－|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|,依双曲线定义，有|PF1|－|PF2|=4,依已知条件有|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2，∴16+8c2＜50+2c2,∴c2＜,又∵c2=4+b2＜,∴b2＜,∴b2=1.
4.解析：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.
由方程组,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,
解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)，设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,
∴|MN|=4.点A到直线l的距离为d=.S△=2(5+m),从而S△2=4(1－m)(5+m)2
=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.S△≤8,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号。故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8.
5.解析：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0。(ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程有一个根，l与C有一个交点。(ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时，Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)，①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.②当Δ＞0,即
k＜,又k≠±,故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.综上知：当k=±,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当＜k＜,或－＜k＜,或k＜－时，l与C有两个交点；当k＞时，l与C没有交点.
(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)，又∵x1+x2=2,y1+y2=2，2(x1－x2)=y1－y1，即kAB==2，但渐近线斜率为±,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
6. 解析：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,，圆k的半径R=|AK|=
∴|MN|=2=2a(定值)，弦MN的长不随圆心k的运动而变化.
(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0，∴y1y2=y02－a2
∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项，∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.，又|MN|=|y1－y2|=2a，∴|y1|+|y2|=|y1－y2|，∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.，x0≤，圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a。且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.
数学专题七 立体几何与向量（理科）
【考点精要】
考点一. 求棱锥、棱台中的高、斜高。在正棱锥、棱台中利用几个直角三角形（高、斜高以及底面边心距组成的直角三角形，高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形等）进行相关的计算。
考点二. 斜二测画法的相关计算。斜二测画法的相关计算，重点考查直观图的定点与其他关键点，计算时尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上。
考点三. 三视图及相关面积、体积的计算。三视图及相关面积、体积的计算，注意掌握三视图之间的规律：正俯长相同、正侧高平齐，俯侧宽相同。
考点四. 柱体、锥体、台体的侧面积、表面积、体积的运算。注意运用割补法、等体积转化法求解相关体积。
考点五. 空间中点、线、面的位置关系以及直线、平面平行的判定与性质。近几年来加强了线面之间的距离、异面直线间的夹角、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直、线线垂直、线面角的考查。
考点六. 运用坐标法求空间中两点之间的距离以及点关于平面对称点的坐标。
巧点妙拨
1、垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：
（1）平行转化
（2）垂直转化
每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.
2．求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.
【典题对应】
例1.（2009·山东4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A. B. C. D.
命题意图：本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地
计算出.几何体的体积.
解析：该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,
圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面
边长为，高为，所以体积为
所以该几何体的体积为.答案:C
名师坐堂：解决三视图问题的关键是能将三视图还原回
原几何体，还原过程中注意各种量的变化，尤其是正视图与
侧视图的各个量的变化。本题还原回原几何体后集合体为组
合体，上面是圆锥，下面是圆柱，求体积时采用分割求解即可。
例2.（2011·山东19）在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，．
（Ⅰ）若是线段的中点，求证：平面；
（Ⅱ）若，求二面角的大小．
命题意图：本题考查了立体几何中的线面平行的判定，以及二面
角的判断与求解。解答此题入口较多，学生既可以利用几何法又可以
利用坐标法，借以充分发挥学生的空间想象能力。
解析：几何法：
证明：（Ⅰ），可知延长交于点，而，，
则平面平面，即平面平面，
于是三线共点，，若是线段的中点，而,
则，四边形为平行四边形，则，又平面，
所以平面；
（Ⅱ）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角。若，设，则，，为的中点，，，
，在中,
则，即二面角的大小为。
坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形为平行四边形， ，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为建立直角坐标系，设，则,.
由可得，
由可得,
，则，，而平面，
所以平面；
（Ⅱ）（Ⅱ）若，设，则，
,则,,
,设分别为平面与平面的法向量。
则，令，则，；
，令，则，。
于是，则，
即二面角的大小为。
名师坐堂：1、研究线与面通常是转化成线与线的关系，或利用判定定理或利用向量予以解决；2、解决二面角的问题时往往要做到一作二证三求。首先应考虑做辅助线，然后证明某角为二面角的平面角，最后在求解。
【授之以渔】
1．立体几何中最重要的最常用的思想方法是化归与转化的思想．由转化思想，可建立空间中线线、线面、面面位置关系之间的联系，常用的转化方向有：①线线平行则线面平行，面面平行则线线平行；②线线垂直则线面垂直；③将空闻几何问题转化为平面几何问题．
2．求空间几何体体积常用的方法有直接套用公式法、转换法、分割和补体法等多种方法．转换法一般用于求棱锥的体积，分割法和补体法多用于不规则几何体的体积的求解．
3．三视图、图形的展开、折叠、切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势．解决此类问题的关键是弄清图形变化前后的点、线、面的对应关系，并分清变化前后．点、线、面的位置变化．
4．利用空间向量解决空间位置关系以及求角和距离等问题时．一是利用向量的分解与运算．二是利用向量的坐标运算，此时应注意建立适当的坐标系且运算要正确．
【直击高考】
1.若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .
2. 在三棱柱中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是( )
A． B． C． D．
3. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于( )A. B. C. D.
4.如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是( )
A．点是的垂心，B．垂直平面
C．的延长线经过点，D．直线和所成角为
5. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号） ..①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
6. 如图，已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1.
（Ⅰ）求证：是定值；
（Ⅱ）已知P是SC的中点，且SO=3，问在棱SA上是否存在一点Q，
使异面直线OP与BQ所成的角为90°？若存在，请给出证明，并求出AQ
的长，若不存在，请说明理由.
7. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F分别是AD,PC的中点.
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。
数学专题七 立体几何与向量
【直击高考】1.解析：，，由
得，即，解得
2.解析：C 取BC的中点E，则面，，
因此与平面所成角即为，设，则，，即有． 3. 解析：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，，选A。
4. 解析：因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；根据对称性知C正确。选D
5.解析：在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。
6. 证明：（Ⅰ）在△SDC内，作SE⊥CD交CD于E，连结OE.
∵SO⊥平面ABCD， ∴SO⊥CD，∵CD平面SOE，∵CD⊥OE，
∴OE//AD，∴DE=1，从而CE=3。
。
是定值.
（Ⅱ）以O为坐标原点，以OS所在直线为Oz轴，以过O且平行于AD的直线
为Ox轴，以过O且平行于AB的直线为Oy轴，建立如图所示的空间直角坐标系.于
是，A（2，－1，0），B（2，3，0），C（－2，3，0），S（0，0，3），。设点Q（x，y，z），则存在（这是关键！将点的坐标用一个变量表示），即，
得
得，由。
7. 解析：（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵AP=AB=2， BC=，四边形ABCD是矩形.
∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0，，0)，P(0,0,2)
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0),F(1，，1).
∴=（2，，-2）=（-1，，1）=（1,0, 1），
∴·=-2+4-2=0，·=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，∴PC⊥BF,PC⊥EF, ,∴PC⊥平面BEF
（II）由（I）知平面BEF的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF与平面BAP的夹角为，
则
∴， ∴ 平面BEF与平面BAP的夹角为。
数学专题八 计数原理 概率与统计
【考点精要】
考点一. 概率的有关概念及等可能事件的概率。如：从｛1，2，3，4，5｝中随机选取一个数a，从｛1，2，3｝中随机选取一个数b,则b>a的概率是 。
考点二. 几何概型。主要考查几何概型的长度。如：在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为( ).
A. B. C. D.
考点三. 相互独立事件同时发生的概率，以及有关概率的计算。如：两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（B）
A. B. C. D.
考点四. 排列组合。考查排列组合的相关知识，重点考查两个原理。如：某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A. 36种 B. 42种 C. 48种 D. 54种
考点五. 用样本的平均数、方差或标准差来估计总体的平均数、方差或标准差。如：样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3，若样本的平均值为1，则样本方差为 。
考点六. 考查分层抽样、随机抽样、系统抽样等，掌握各种抽样的特征与方法。如：一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6
考点七. 中位数、茎叶图的相关知识及频率分布直方图。考查频率分布直方图的基础知识，在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率。如：将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。
考点八. 离散型随机变量的分布列与数学期望。如：设S是不等式的解集，整数，记使得“成立的有序数组”为事件A,（1）试列举A包含的基本事件；（2）记，求的分布列及数学期望。( )
巧点妙拨
1.排列与组合
⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.
⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.
2.二项式系数的性质
（1）在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 (r=0,1,2,…,n).
（2）所有二项式系数和等于，即.
3.概率
（1）基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．
（2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．
（3）注意理解互斥事件与对立事件发生的条件。
（4）古典概型与几何概型：
古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型．
几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．
两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．
【典题对应】
例1.（2010·山东5）已知随机变量Z服从正态分布，若，则=( )
A. 0.477 B. 0.625 C. 0.954 D. 0.977
命题意图：本题重点考查正态分布的基础知识，掌握其基础知识是解答好本题的关键。
解析：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线x=0对称，又，所以，，=，故选C。
名师坐堂：在正态分布中，数值计算问题是高考考查的一个热点，但考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无人下手或计算错误．若随机变量服从正态分布，那么随机变量在区间内取值的概率分别约为0．683、0．954、0．997，应熟练掌握这几个概率值，在解决正态分布问题时，经常用到这类数值的计算问题．
例2.(2011·山东理7) 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x（万元） 4 2 3 5
销售额y（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元
命题意图：本题主要考查线性回归方程、平均数的相关知识。
解析：由表可计算，因为点在回归直线，且为9.4，所以，解得，故回归方程为，令得，选B。
名师坐堂：线性回归方程是新课程的内容，因线性回归方程的公式较为复杂，往往会被忽视，尤其是也在线性回归方程上，应注意灵活应用。
【授之以渔】
1．运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分.
2.计算古典概型问题的关键是怎样把一个事件划分为基本事件的和的形式，以便准确计算事件A所包含的基本事件的个数和总的基本事件个数；计算几何概型问题的关键是怎样把具体问题（如时间问题等）转化为相应类型的几何概型问题，及准确计算事件A所包含的基本事件对应的区域的长度、面积或体积．
3.几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．
4.二项分布是高中概率中最重要的概率分布，是近年高考非常注重的一个考点．二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又是在相同的条件之下重复发生．要记住二项分布概率模型的这个特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决．有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况．
【直击高考】
1. 通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由算得，.
附表：
21世纪教育网 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是
A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
2. 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐种卡片可获奖，现购买该种食品袋，能获奖的概率为( )
A． B． C． D．
3. ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为
A. B. C. D.
4．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
5. 某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
6. 某班有学生36人，血型分别为A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率.
7. 在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2548名男性中有1560名持反对意见，2452名女性中有1200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，有什么方法最有说服力( )
A.平均数与方差 B.回归直线方程 C.独立性实验 D.概率
8. 为2010年上海世博会挑选志愿者，大会组委会决定从上海某高级中学中选拔部分学生参加，该高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：
高一 高二 高三
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.
（Ⅰ）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？
（Ⅱ）已知求高三年级女生比男生多的概率.
数学专题八 计数原理 概率与统计
【直击高考】
1. 解析：因为，由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”，故选C。
2.解析：故选D
3. 解析：长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为。
4． 解析：依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故=0.75。
5.解析：由题意得父亲和儿子的身高组成了三个坐标（173,170）、（170,176）、（176,182），其中前面的是父亲的身高，所以，，
，所以孙子的身高为cm.
6. 解析:P(两人血型相同)＝P(两人血型均为A型)＋P(两人血型均为B型)＋P(两人血型均为AB型)＋P(两人血型均为O型)＝.所以，P(两人血型不同)＝1－.
7. 解析：由于参加调查的公民按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况，认为有关与无关，符合22列联表的要求，故用独立性检验最有说服力。
8. 解析：（Ⅰ）
高三年级人数为现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为(人).
（Ⅱ）设“高三年级女生比男生多”为事件，高三年级女生、男生数记为.
由（Ⅰ）知且则所有的基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），
（248，252），（249，251），（250，250），（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个, 事件包含的基本事件有（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共5个，
,故高三年级女生比男生多的概率为。
数学专题九 算法初步 复数 推理与证明
【考点精要】
考点一. 程序框图的结构，以及有关的简单运算。
考点二. 复数的运算和复数性质。如：设（是虚数单位），则( )A． B． C． D．
考点三. 复数在坐标系数内与点的对应关系.如：在复平面内，复数对应的点位第 象限。考点四. 考查复数的除法运算以及共轭复数的有关知识。如：复数等于 。
考点五. 归纳推理。以数列、函数等知识为依托考查归纳推理。如：在数列中，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由。
考点六. 类比推理。通过对点与线，线与面，圆与球，三角形与三棱锥，角与二面角等的类比进而考查类比推理。如：已知O是内任意一点，连结并延长交对边于，则，请运用类比思想，对于空间中的四面体，存在什么类似的结论？
考点七. 演绎推理。以函数知识为载体，利用函数的相关知识考查演绎推理。如：已知函数，其中，试确定的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性。
考点八. 分析法、综合法、反证法。考查分析法、综合法、反证法等的证明方法，体会数学证明的思考过程及特点，提升综合解决问题的能力。
巧点妙拨
1．算法的特征：（1）确定性；（2）有穷性；（3）可行性．
2．基本的程序框有起始框，输入、输出框，处理框，判断框．其中起始框是任何流程都不可缺少的，而输入、输出框可以用在算法中任何需要输入、输出的位置．
3．掌握基本的算法语句，算法是计算机科学的基础，本部分要学习的算法语句，是为了将算法转换为计算机能够理解的程序语言和能在计算机上实现的程序所需要的语句，其作用就是实现算法与计算机的转换．主要有：（1）赋值语句（2）输入语句（3）输出语句（4）条件语句（5）循环语句。
4．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如：十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。
一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为：
，
而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数。
【典题对应】
例1.（2008·山东）执行右边的程序框图，若，则输出的 ．
命题意图: 考查程序框图的知识经常出现在高考的选择题或填空题中，理解程序框图中，程序的流向，执行步骤。难度属中等。
解析：循环的第一步：S＝，n＝2，
循环的第二步：S＝＋，n＝3，
循环的第三步：S＝，n＝4，
因此输出
名师坐堂：这是一个当型循环结构的程序框图，解法还是一样，从第一步开始写，直到循环的条件不成立时，结束循环，输出结果。
例2.(2011·山东2)复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）.
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
命题意图：本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.
解析：,故选D。
名师坐堂：复数知识较为单一，主要有复数的定义，复数相等，共轭复数，复数的乘法与除法运算等，学习时注意掌握并注意虚数的特性。
例3.（2011·山东理15）设函数，观察：
，，，
，……
根据上述事实，由归纳推理可得：
当，且时， 。
命题意图：本题主要考察学生运用归纳推理求函数的解析式，在运用归纳推理时考查学生对于数列通项公式的掌握与运用，考查学生分析问题、解决问题的能力。
解析：运用归纳推理很容易发现1、3、7、15的规律，同时2、4、8、16的规律更容易找寻，故答案为：。
名师坐堂：归纳推理的关键是归纳，应遵循从特殊到一般，重点是推理，推理要有根有据，推理不是猜测，根据归纳进行推理，运用推理验证归纳。
【授之以渔】
1．算法与复数是试卷中必考内容，试题以选择题或填空题的形式出现，主要考查程序框图和基本算法语句；复数的有关概念及复数相等；复数的几何意义等．推理与证明贯穿整个高考试卷的始终，也出现了专门考查归纳推理、类比推理，反证法和数学归纳法(理)证明的试题，随着新课标高考的深入，对推理与证明的考查会更加科学，特别在合情推理的考查方面定会有新的试题出现．
2．推理与证明贯穿高中数学的每一章节，是中学数学的重要内容，通过培养学生的观察、分析、比较、联想的能力，熟练进行归纳推理和类比推理，特别是与数列、不等式、立体几何、解析几何相结合的题目，把握“归纳一猜想一证明”类问题的解题思路以及类比推理中的“类比点”．
3．表达算法时要注意先有自然语言、再画流程图，最后才能写出基本算法语句，即程序。
【直击高考】
1. 执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的是( )
A. 120 B. 720
C. 1440 D. 5040
2.把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=
A. B. C. D.
3. 观察下列式子：…则可归纳出_________.
4. 投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为( )
A. B. C. D.
5. 在中，于，有，那么在四面体中，类比以上结论，能得到什么样的猜想 。
6.等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记 ，
证明：对任意的 ，不等式成立。
数学专题九 算法初步 复数 推理与证明
【直击高考】
1. 解析：B按照算法的程序化思想，有程序框图执行下面的计算可得：
，
此时，按终止条件结束，输出
2. 解析： 故选A
3.解析：
，
(n∈N*)
4. 解析：因为为实数，所以故则可以取1、26，共6
种可能，所以，故选C。
5.解析：猜想：类比，猜想四面体中，两两垂直，平面，则。
证明如下：如图，连接BE交CD于F，连结AF。
,平面ACD.而AF平面ACD,
.在中在中，.所以，故猜想成立。
6. 解析：因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,
（2）当b=2时，,
则,所以
下面用数学归纳法证明不等式成立.
①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.
②假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=
所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.
数学专题十 圆锥曲线及其应用
【考点精要】
考点一. 椭圆、双曲线、抛物线的离心率。如：设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B. 2 C. D.
考点二. 圆锥曲线的第一或第二定义。如：已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( )
a. b. 2 C. D. 3
考点三. 圆锥曲线的渐近线的方程和离心率等概念之间的关系。直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生对基本概念、基本方法和基本技能的掌握。如：设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.
考点四. 圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径。将圆锥曲线的相关知识与向量等知识相结合，考查圆锥曲线的的定义、线段长、焦半径等知识。
考点五. 圆锥曲线中有关角、线段、面积。以圆锥曲线为依托，借助点与线的关系，考查圆锥曲线中有关角、线段、面积等知识，考查综合运算能力。如：设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=( )
A. B. C. D.
考点六. 圆锥曲线中有关的距离最短、距离之和最小。利用圆锥曲线与直线的特殊关系，研究有关的距离最短、距离之和最小等，考查学生分析问题、解决问题以及数形结合的能力。如：已知直线和，抛物线上一动点到和的距离之和的最小值是( )
A.2 B.3 C. D.
考点七. 待定系数法求曲线方程。能用待定系数法求曲线方程，处理直线与圆锥曲线的相关问题以及有关对称问题。此类问题多属于中档或高档题。如：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.
考点八. 求圆锥曲线方程的方法。能运用多种方法（如：直接法、定义法、几何法、代入法、参数法、交规法等）求圆锥曲线的方程，求动点轨迹时应注意它的完备性和纯粹性。
巧点妙拨
1. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.
2. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.
3. 求圆锥曲线中的最值问题解决方法一般有两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来做非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值。
【典题对应】
例1.(2009·山东)设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知,设直线与圆C:(1
解析：（1）因为,,,所以, 即.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时,方程表示的是圆;当且时,方程表示的是椭圆；当时,方程表示的是双曲线.
(2)当时,轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,
要使切线与轨迹E
恒有两个交点A,B,则使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两
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