3.3.2 抛物线的简单几何性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.3.2 抛物线的简单几何性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 87.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-09 22:40:34 | ||
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文档简介
抛物线的简单几何性质同步练习
一、选择题
抛物线的准线方程是y=12，则其标准方程是（ ）
A. y2=2x B. x2=?2y C. y2=?x D. x2=?y
已知以圆C:x?12+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于点A，点B是抛物线C2:x2=8y上任意一点，BM与直线y=?2垂直，垂足为点M，则BM?AB的最大值为(????????????? )
A. ?1 B. 2 C. 1 D. 8
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=π2.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则|AB||MN|的最小值是（ ）
A. 3 B. 32 C. 2 D. 2
设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:=2px(p>0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为(? ? )
A. (，0) B. (，0) C. (1,0) D. (2,0)
抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为? (??? )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
若抛物线y2=12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|PF|等于（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若FP+3FQ=0，则△OPQ的面积为（ ）
A. 233 B. 3 C. 433 D. 23
设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A. (14,0) B. (12,0) C. (1,0) D. (2,0)
已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=(????)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A. 5 B. 22 C. 23 D. 33
已知抛物线C：y=3x2，则焦点到准线的距离是（ ）
A. 16 B. 32 C. 3 D. 13
设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）
A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP
已知抛物线x2=4y焦点为F，经过F的直线交抛物线与A(x1,y1)，B(x2,y2)，点A、B在抛物线准线上的投影分别为A1，B1，以下四个结论：①x1x2=?4，②|AB|=y1+y2+1，③∠A1FB1=π2，④AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
设双曲线C的方程为x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A. x24?y24=1 B. x2?y24=1 C. x24?y2=1 D. x2?y2=1
二、填空题
从抛物线y=14x2上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM=5.设抛物线的焦点为F，则?MPF的面积为________．
如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使OA=AC，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则EG的最小值为_______．
设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q，则S△ABQS△ABO=______．
已知抛物线C：x2=4y，点P(3,m)在抛物线上，则该抛物线的焦点F的坐标为______，点P到准线的距离为______．
若直线2x+4y+m=0经过抛物线y=2x2的焦点，则m=______．
三、解答题
已知抛物线G：y2=2px(p>0)，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．
(1)当直线l的倾斜角为π4时，|AB|=16.求抛物线G的方程；
(2)对于(1)问中的抛物线G，若点N(3,0)，求证：|AB|?2|MN|为定值，并求出该定值．
如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(Ⅰ)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离．
已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10．
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|?|BQ|的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，
设抛物线标准方程为：x2=?2py(p>0)，
∵抛物线的准线方程为y=12，
∴p2=12，
∴p=1，
∴抛物线的标准方程为：x2=?2y．
故选B．
2.【答案】C
【解答】解：圆C:x?12+y2=4的圆心为1,0，以其为焦点的抛物线方程为y2=4x，
由y2=4x,x?12+y2=4,解得A1,2．
抛物线C2:x2=8y的焦点为F0,2，准线方程为y=?2，
则BM?AB=BF?AB≤AF=1，
当且仅当A,B,F(A在B,F之间)三点共线时，可得最大值为1．
3.【答案】C
【解答】
解：设|AF|=a，|BF|=b，A，B在准线上的射影点分别为Q，P，连接AQ，BP，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|2=a2+b2，整理得：|AB|2=(a+b)2?2ab，
又∵ab≤(a+b2)2，
∴(a+b)2?2ab≥(a+b)2?2×(a+b2)2=12(a+b)2，
(当且仅当a=b时取等号)，
则|AB|≥22(a+b)．
∴|AB||MN|≥22(a+b)12(a+b)=2，
即|AB||MN|的最小值为2．
故选C．
4.【答案】B
【解答】
解：根据题意，不妨设D(2,2p)，E(2,?2p)，
因为OD⊥OE，可得OD·OE=0，所以4?4p=0，故p=1，
所以抛物线C：y2=2x，所以抛物线的焦点坐标为(12,0)．
故选B．
5.【答案】D
【解答】解：因为y=4，所以x2=4·y=16，所以x=±4，所以A(±4,4)，
焦点坐标为(0,1)，所以所求距离为42+(4?1)2=25=5．
6.【答案】B
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，P=6，
由抛物线的定义可得：|PF|=xP+p2=3+62=6．
7.【答案】C
【解析】解：因为抛物线C：y2=4x的焦点为F，所以，设直线l的方程为x=ky+1，
将x=ky+1代入y2=4x，可得y2?4ky?4=0，设P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，则yP+yQ=4k，yPyQ=?4，
因为FP+3FQ=0，所以yP=?3yQ，
所以yP=6k，yQ=?2k，
所以?12k2=?4，即k2=13，
所以|yP?yQ|=|8k|=833，
所以△OPQ的面积S=12×1×|yP?yQ|=433，
故选：C．
设直线l的方程为x=ky+1，将x=ky+1代入y2=4x，设P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，利用韦达定理以及向量的关系，转化求解三角形的面积即可．
8.【答案】B
【解答】
解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2p，OD⊥OE，可得kOD?kOE=?1，
即2p2??2p2=?1，解得p=1，
所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(12,0)．
故选：B．
9.【答案】C
【解答】
解：A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，
点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：9+p2=12?p=6；
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点F(1,0)，且斜率为3的直线：y=3(x?1)，
过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l
可知：y2=4xy=3(x?1)，解得M(3,23).
可得N(?1,23)，NF的方程为：y=?3(x?1)，即3x+y?3=0，
则M到直线NF的距离为：|33+23?3|3+1=23．
11.【答案】A
【解析】解：根据题意，抛物线C：y=3x2，可得x2=13y，p=16，
焦点坐标为(0,112)，准线方程为y=?112，
该抛物线的焦点到准线的距离等于：16；
12.【答案】B
【解析】解：不妨设抛物线的方程为y2=4x，则F(1,0)，准线l为x=?1，
不妨设P(1,2)，
∴Q(?1,2)，
设准线为l与x轴交点为A，则A(?1,0)，
可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，
故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，
13.【答案】C
【解析】解：抛物线x2=4y焦点为F(0,1)，准线方程为y=?1，
可设过F的直线方程为y=kx+1，
代入抛物线方程可得x2?4kx?4=0，
即有x1+x2=4k，x1x2=?4，
|AB|=y1+y2+2；
AB的中点纵坐标为12(y1+y2)=12[k(x1+x2)+2]=1+2k2，
AB的中点到抛物线的准线的距离为2k2+2，k=0时，取得最小值2；
由F(0,1)，A1(x1,?1)，B1(x2,?1)，
可得kA1F?kB1F=2?x1?2?x2=4x1x2=?1，
即有∠A1FB1=π2，
综上可得①③④正确，②错误．
14.【答案】D
【解答】
解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，
则直线l的方程为y=?b(x?1)，
∵双曲线C的方程为x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b?ax，
∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，
∴?ba=?b，ba?(?b)=?1，
∴a=1，b=1，
∴双曲线C的方程为x2?y2=1，
故选：D．
15.【答案】10
【解答】解：由题意，得x2=4y，则抛物线的准线方程为y=?1.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，设Px0,y0，则由抛物线的定义知PM=y0+1，所以y0=4，所以x0=4，所以S?MPF=12×PM×x0=12×5×4=10．
16.【答案】4
【解答】
解：设点A(xA,yA)，B(xB,yB)，
由题意可知EG=OE+OG，
=2|yA|+12|yB|
?2(2|yA|)×(12|yB|)
=2|yAyB|，
当且仅当|yB|=4|yA|时等号成立，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y=k(x?1)，
联立y=k(x?1),y2=4x,
得ky2?4y?4k=0，
所以yA,B=2±21+k2k，
所以yAyB=?4，由此可知EG≥4，
即EG的最小值为4．
当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=1，此时A(1,?2)，B(1,2)，
所以C(2,?4)，D(12,1)，即G(0,1)，E(0,?4)，所以EG=5．
综上，EG的最小值为4．
故答案为4．
17.【答案】3
【解答】
解：如图所示：
联立方程组y=kxy2=2px，解得P(2pk2,2pk)，
联立方程组y=kxy2=8px，解得Q(8pk2,8pk)，
∴|OP|=4p2k4+4p2k2=2p1+k2k2，|PQ|=36p2k4+36p2k2=6p1+k2k2，
∴S△ABQS△ABO=|PQ||OP|=3．
故答案为：3．
18.【答案】(0,1)?134
【解析】解：由抛物线C：x2=4y可知，焦点F的坐标为(0,1)，
∵点P(3,m)在抛物线上，
∴9=4m，即m=94，
又准线方程为y=?1，
∴点P到准线的距离为94+1=134．
故答案为：(0,1)，134．
19.【答案】?12
【解析】解：y=2x2可化为x2=12y，焦点坐标为(0,18)，代入直线方程可得m=?12．
故答案为：?12．
求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程，求解即可．
20.【答案】解：(1)抛物线G：y2=2px(p>0)，知F(p2,0)，
设直线l的方程为x=ty+p2(t∈R)，A(y122p,y1),B(y222p,y2)，
由?y2=2pxx=ty+p2得：y2?2pty?p2=0，
△=4p2t2+4p2>0，显然成立．
可得y1+y2=2pt,y1y2=?p2，
(y1?y2)2=(y1+y2)2?4y1y2=4p2t2+4p2，
(y122p?y222p)2=14p2(y1?y2)2?(y1+y2)2=t2(4p2t2+4p2)，
可得|AB|=(y122p?y222p)2+(y1?y2)2=2p(t2+1)．
当直线l倾斜角为π4时，t=1，
|AB|=4p=16，得p=4，
所以抛物线G的方程为y2=8x．
(2)证明：由(1)知|AB|=8(t2+1)，M为线段AB的中点，
且y1+y2=8t，
可得xM=t2(y1+y2)+2=4t2+2，yM=4t，即M(4t2+2,4t)，
又N(3,0)，
若满足题意2|MN|=2(4t2+2?3)2+16t2=8t2+2，
此时|AB|?2|MN|=8(t2+1)?8t2?2=6．
综上|AB|?2|MN|为定值6．
21.【答案】解：(Ⅰ)证明：可设P(m,n)，A(y124,y1)，B(y224,y2)，
AB中点为M的坐标为(y12+y228,y1+y22)，
抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，
可得(n+y12)2=4?m+y1242，
(n+y22)2=4?m+14y222，
化简可得y1，y2为关于y的方程y2?2ny+8m?n2=0的两根，
可得y1+y2=2n，y1y2=8m?n2，
可得n=y1+y22，所以点M与P的纵坐标相同，
则PM垂直于y轴；
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点，
可得m2+n24=1，?1≤m<0，?2由(Ⅰ)可得y1+y2=2n，y1y2=8m?n2，
由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=12|PM|?|y1?y2|
=12(y12+y228?m)?(y1+y2)2?4y1y2
=[116?(4n2?16m+2n2)?12m]?4n2?32m+4n2
=324(n2?4m)n2?4m，
可令t=n2?4m=4?4m2?4m
=?4(m+12)2+5，
可得m=?12时，t取得最大值5；
m=?1时，t取得最小值2，
即2≤t≤5，
则S=324t3在2≤t≤5递增，可得S∈[62,15410]，
所以△PAB面积的取值范围为[62,15410].
22.【答案】解：(1)由y2=6x，准线方程为x=?1.5，焦点F(1.5,0)．
直线l的方程为y?0=tan60°(x?1.5)，即y=3x?332．
与抛物线方程联立，消y，整理得4x2?20x+9=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=5．
由抛物线的定义可知，|AB|=p+x1+x2=8．
所以，线段AB的长是8．
(2)|AB|=p+x1+x2=9，则|AB|2=4.5
∴线段AB的中点M到准线的距离为4.5．
(2)|AB|=p+x1+x2=9，即可求线段AB的中点M到准线的距离．
23.【答案】解：(Ⅰ)已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10．
∵抛物线的准线为y=?p2，∴9+p2=10，
解得，p=2，∴抛物线的方程为x2=4y.…………………………(5分)
(Ⅱ)由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则l：y=kx+1．
设A(x1,x124)，B(x2,x224)，由x2=4yy=kx+1消去y得，x2?4kx?4=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=?4．
由于抛物线C也是函数y=14x2的图象，且y′=12x，则PA：y?x124=12x1(x?x1)．
令y=0，解得x=12x1，∴P(12x1,0)，从而|AP|=14x12(4+x12)．
同理可得，|BQ|=14x22(4+x22)，
∴|AP|?|BQ|=116(x1x2)2(4+x12)(4+x22)?=116(x1x2)2[16+4(x12+x22)+(x1x2)2]?=21+k2．
∵k2≥0，∴|AP|?|BQ|的取值范围为[2,+∞).……………………………(12分)
一、选择题
抛物线的准线方程是y=12，则其标准方程是（ ）
A. y2=2x B. x2=?2y C. y2=?x D. x2=?y
已知以圆C:x?12+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于点A，点B是抛物线C2:x2=8y上任意一点，BM与直线y=?2垂直，垂足为点M，则BM?AB的最大值为(????????????? )
A. ?1 B. 2 C. 1 D. 8
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=π2.设线段AB的中点M在l上的投影为N，则|AB||MN|的最小值是（ ）
A. 3 B. 32 C. 2 D. 2
设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:=2px(p>0)交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为(? ? )
A. (，0) B. (，0) C. (1,0) D. (2,0)
抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为? (??? )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
若抛物线y2=12x的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则|PF|等于（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若FP+3FQ=0，则△OPQ的面积为（ ）
A. 233 B. 3 C. 433 D. 23
设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y2=2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为（ ）
A. (14,0) B. (12,0) C. (1,0) D. (2,0)
已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=(????)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9
过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A. 5 B. 22 C. 23 D. 33
已知抛物线C：y=3x2，则焦点到准线的距离是（ ）
A. 16 B. 32 C. 3 D. 13
设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）
A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP
已知抛物线x2=4y焦点为F，经过F的直线交抛物线与A(x1,y1)，B(x2,y2)，点A、B在抛物线准线上的投影分别为A1，B1，以下四个结论：①x1x2=?4，②|AB|=y1+y2+1，③∠A1FB1=π2，④AB的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
设双曲线C的方程为x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）
A. x24?y24=1 B. x2?y24=1 C. x24?y2=1 D. x2?y2=1
二、填空题
从抛物线y=14x2上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM=5.设抛物线的焦点为F，则?MPF的面积为________．
如图，抛物线y2=4x的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使OA=AC，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则EG的最小值为_______．
设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q，则S△ABQS△ABO=______．
已知抛物线C：x2=4y，点P(3,m)在抛物线上，则该抛物线的焦点F的坐标为______，点P到准线的距离为______．
若直线2x+4y+m=0经过抛物线y=2x2的焦点，则m=______．
三、解答题
已知抛物线G：y2=2px(p>0)，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．
(1)当直线l的倾斜角为π4时，|AB|=16.求抛物线G的方程；
(2)对于(1)问中的抛物线G，若点N(3,0)，求证：|AB|?2|MN|为定值，并求出该定值．
如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
(Ⅰ)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．
已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离．
已知抛物线C：x2=2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10．
(Ⅰ)求抛物线C的方程；
(Ⅱ)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|?|BQ|的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，
设抛物线标准方程为：x2=?2py(p>0)，
∵抛物线的准线方程为y=12，
∴p2=12，
∴p=1，
∴抛物线的标准方程为：x2=?2y．
故选B．
2.【答案】C
【解答】解：圆C:x?12+y2=4的圆心为1,0，以其为焦点的抛物线方程为y2=4x，
由y2=4x,x?12+y2=4,解得A1,2．
抛物线C2:x2=8y的焦点为F0,2，准线方程为y=?2，
则BM?AB=BF?AB≤AF=1，
当且仅当A,B,F(A在B,F之间)三点共线时，可得最大值为1．
3.【答案】C
【解答】
解：设|AF|=a，|BF|=b，A，B在准线上的射影点分别为Q，P，连接AQ，BP，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|2=a2+b2，整理得：|AB|2=(a+b)2?2ab，
又∵ab≤(a+b2)2，
∴(a+b)2?2ab≥(a+b)2?2×(a+b2)2=12(a+b)2，
(当且仅当a=b时取等号)，
则|AB|≥22(a+b)．
∴|AB||MN|≥22(a+b)12(a+b)=2，
即|AB||MN|的最小值为2．
故选C．
4.【答案】B
【解答】
解：根据题意，不妨设D(2,2p)，E(2,?2p)，
因为OD⊥OE，可得OD·OE=0，所以4?4p=0，故p=1，
所以抛物线C：y2=2x，所以抛物线的焦点坐标为(12,0)．
故选B．
5.【答案】D
【解答】解：因为y=4，所以x2=4·y=16，所以x=±4，所以A(±4,4)，
焦点坐标为(0,1)，所以所求距离为42+(4?1)2=25=5．
6.【答案】B
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点在x轴上，P=6，
由抛物线的定义可得：|PF|=xP+p2=3+62=6．
7.【答案】C
【解析】解：因为抛物线C：y2=4x的焦点为F，所以，设直线l的方程为x=ky+1，
将x=ky+1代入y2=4x，可得y2?4ky?4=0，设P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，则yP+yQ=4k，yPyQ=?4，
因为FP+3FQ=0，所以yP=?3yQ，
所以yP=6k，yQ=?2k，
所以?12k2=?4，即k2=13，
所以|yP?yQ|=|8k|=833，
所以△OPQ的面积S=12×1×|yP?yQ|=433，
故选：C．
设直线l的方程为x=ky+1，将x=ky+1代入y2=4x，设P(xP,yP)，Q(xQ,yQ)，利用韦达定理以及向量的关系，转化求解三角形的面积即可．
8.【答案】B
【解答】
解：将x=2代入抛物线y2=2px，可得y=±2p，OD⊥OE，可得kOD?kOE=?1，
即2p2??2p2=?1，解得p=1，
所以抛物线方程为：y2=2x，它的焦点坐标(12,0)．
故选：B．
9.【答案】C
【解答】
解：A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，
点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：9+p2=12?p=6；
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：抛物线C：y2=4x的焦点F(1,0)，且斜率为3的直线：y=3(x?1)，
过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴上方)，l
可知：y2=4xy=3(x?1)，解得M(3,23).
可得N(?1,23)，NF的方程为：y=?3(x?1)，即3x+y?3=0，
则M到直线NF的距离为：|33+23?3|3+1=23．
11.【答案】A
【解析】解：根据题意，抛物线C：y=3x2，可得x2=13y，p=16，
焦点坐标为(0,112)，准线方程为y=?112，
该抛物线的焦点到准线的距离等于：16；
12.【答案】B
【解析】解：不妨设抛物线的方程为y2=4x，则F(1,0)，准线l为x=?1，
不妨设P(1,2)，
∴Q(?1,2)，
设准线为l与x轴交点为A，则A(?1,0)，
可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，
故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，
13.【答案】C
【解析】解：抛物线x2=4y焦点为F(0,1)，准线方程为y=?1，
可设过F的直线方程为y=kx+1，
代入抛物线方程可得x2?4kx?4=0，
即有x1+x2=4k，x1x2=?4，
|AB|=y1+y2+2；
AB的中点纵坐标为12(y1+y2)=12[k(x1+x2)+2]=1+2k2，
AB的中点到抛物线的准线的距离为2k2+2，k=0时，取得最小值2；
由F(0,1)，A1(x1,?1)，B1(x2,?1)，
可得kA1F?kB1F=2?x1?2?x2=4x1x2=?1，
即有∠A1FB1=π2，
综上可得①③④正确，②错误．
14.【答案】D
【解答】
解：抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0)，
则直线l的方程为y=?b(x?1)，
∵双曲线C的方程为x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b?ax，
∵C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，
∴?ba=?b，ba?(?b)=?1，
∴a=1，b=1，
∴双曲线C的方程为x2?y2=1，
故选：D．
15.【答案】10
【解答】解：由题意，得x2=4y，则抛物线的准线方程为y=?1.从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，设Px0,y0，则由抛物线的定义知PM=y0+1，所以y0=4，所以x0=4，所以S?MPF=12×PM×x0=12×5×4=10．
16.【答案】4
【解答】
解：设点A(xA,yA)，B(xB,yB)，
由题意可知EG=OE+OG，
=2|yA|+12|yB|
?2(2|yA|)×(12|yB|)
=2|yAyB|，
当且仅当|yB|=4|yA|时等号成立，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y=k(x?1)，
联立y=k(x?1),y2=4x,
得ky2?4y?4k=0，
所以yA,B=2±21+k2k，
所以yAyB=?4，由此可知EG≥4，
即EG的最小值为4．
当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=1，此时A(1,?2)，B(1,2)，
所以C(2,?4)，D(12,1)，即G(0,1)，E(0,?4)，所以EG=5．
综上，EG的最小值为4．
故答案为4．
17.【答案】3
【解答】
解：如图所示：
联立方程组y=kxy2=2px，解得P(2pk2,2pk)，
联立方程组y=kxy2=8px，解得Q(8pk2,8pk)，
∴|OP|=4p2k4+4p2k2=2p1+k2k2，|PQ|=36p2k4+36p2k2=6p1+k2k2，
∴S△ABQS△ABO=|PQ||OP|=3．
故答案为：3．
18.【答案】(0,1)?134
【解析】解：由抛物线C：x2=4y可知，焦点F的坐标为(0,1)，
∵点P(3,m)在抛物线上，
∴9=4m，即m=94，
又准线方程为y=?1，
∴点P到准线的距离为94+1=134．
故答案为：(0,1)，134．
19.【答案】?12
【解析】解：y=2x2可化为x2=12y，焦点坐标为(0,18)，代入直线方程可得m=?12．
故答案为：?12．
求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程，求解即可．
20.【答案】解：(1)抛物线G：y2=2px(p>0)，知F(p2,0)，
设直线l的方程为x=ty+p2(t∈R)，A(y122p,y1),B(y222p,y2)，
由?y2=2pxx=ty+p2得：y2?2pty?p2=0，
△=4p2t2+4p2>0，显然成立．
可得y1+y2=2pt,y1y2=?p2，
(y1?y2)2=(y1+y2)2?4y1y2=4p2t2+4p2，
(y122p?y222p)2=14p2(y1?y2)2?(y1+y2)2=t2(4p2t2+4p2)，
可得|AB|=(y122p?y222p)2+(y1?y2)2=2p(t2+1)．
当直线l倾斜角为π4时，t=1，
|AB|=4p=16，得p=4，
所以抛物线G的方程为y2=8x．
(2)证明：由(1)知|AB|=8(t2+1)，M为线段AB的中点，
且y1+y2=8t，
可得xM=t2(y1+y2)+2=4t2+2，yM=4t，即M(4t2+2,4t)，
又N(3,0)，
若满足题意2|MN|=2(4t2+2?3)2+16t2=8t2+2，
此时|AB|?2|MN|=8(t2+1)?8t2?2=6．
综上|AB|?2|MN|为定值6．
21.【答案】解：(Ⅰ)证明：可设P(m,n)，A(y124,y1)，B(y224,y2)，
AB中点为M的坐标为(y12+y228,y1+y22)，
抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，
可得(n+y12)2=4?m+y1242，
(n+y22)2=4?m+14y222，
化简可得y1，y2为关于y的方程y2?2ny+8m?n2=0的两根，
可得y1+y2=2n，y1y2=8m?n2，
可得n=y1+y22，所以点M与P的纵坐标相同，
则PM垂直于y轴；
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+y24=1(x<0)上的动点，
可得m2+n24=1，?1≤m<0，?2
由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=12|PM|?|y1?y2|
=12(y12+y228?m)?(y1+y2)2?4y1y2
=[116?(4n2?16m+2n2)?12m]?4n2?32m+4n2
=324(n2?4m)n2?4m，
可令t=n2?4m=4?4m2?4m
=?4(m+12)2+5，
可得m=?12时，t取得最大值5；
m=?1时，t取得最小值2，
即2≤t≤5，
则S=324t3在2≤t≤5递增，可得S∈[62,15410]，
所以△PAB面积的取值范围为[62,15410].
22.【答案】解：(1)由y2=6x，准线方程为x=?1.5，焦点F(1.5,0)．
直线l的方程为y?0=tan60°(x?1.5)，即y=3x?332．
与抛物线方程联立，消y，整理得4x2?20x+9=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=5．
由抛物线的定义可知，|AB|=p+x1+x2=8．
所以，线段AB的长是8．
(2)|AB|=p+x1+x2=9，则|AB|2=4.5
∴线段AB的中点M到准线的距离为4.5．
(2)|AB|=p+x1+x2=9，即可求线段AB的中点M到准线的距离．
23.【答案】解：(Ⅰ)已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10．
∵抛物线的准线为y=?p2，∴9+p2=10，
解得，p=2，∴抛物线的方程为x2=4y.…………………………(5分)
(Ⅱ)由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则l：y=kx+1．
设A(x1,x124)，B(x2,x224)，由x2=4yy=kx+1消去y得，x2?4kx?4=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=?4．
由于抛物线C也是函数y=14x2的图象，且y′=12x，则PA：y?x124=12x1(x?x1)．
令y=0，解得x=12x1，∴P(12x1,0)，从而|AP|=14x12(4+x12)．
同理可得，|BQ|=14x22(4+x22)，
∴|AP|?|BQ|=116(x1x2)2(4+x12)(4+x22)?=116(x1x2)2[16+4(x12+x22)+(x1x2)2]?=21+k2．
∵k2≥0，∴|AP|?|BQ|的取值范围为[2,+∞).……………………………(12分)