1.1.2空间向量的数量积运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）

空间向量的数量积运算同步练习
一、选择题
若d=(1,1，?2)是直线l的方向向量，n=(?1,3，0)是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是（ ）
A. 直线l在平面α内 B. 平行
C. 相交但不垂直 D. 垂直
向量a=(2,4,?4),b=(?2,x,2)，若a⊥b，则x的值为(????)
A. ?3 B. 1 C. ?1 D. 3
若向量a、b的坐标满a+b=(?2,?1,2)，a?b=(4,?3,?2)，则a?b的等于（）
A. 5 B. ?5 C. 7 D. ?1
下列各组向量互相垂直的是（ ）
A. a=(1,2，?2)，b=(?2,?4,1)
B. a=(2,4，5)，b=(0,0，0)
C. a=(1,2，12)，b=(12,?12,1)
D. a=(2,4，5)，b=(?2,?4,?5)
已知向量a=(?2,x,2)，b=(2,1,2)，c=(4,?2,1).若a⊥(b?c)，则x的值为(????)
A. ?2 B. 2 C. 3 D. ?3
已知空间向量a=(1,0,1)，b=(1,1,n)，且a?b=3，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为(??? )
A. π6 B. π6或5π6 C. π3 D. π3或2π3
若两个向量AB=1,2,3,AC=3,2,1，则平面ABC的一个法向量为(? )
A. ?1,2,?1 B. 1,2,1 C. 1,2,?1 D. ?1,2,1
如图，60°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为(? ?)
A. 17 B. 7 C. 217 D. 9
已知O为坐标原点，向量OA=(1,2，3)，OB=(2,1，2)，OP=(1,1，2)，点Q在直线OP上运动，则当QA?QB取得最小值时，点Q的坐标为（ ）
A. (12,34,13) B. (12,32,34) C. (43,43,83) D. (43,43,73)
向量a=(2,4,x)，b=(2,y,2)，若|a|=6，且a⊥b，则x+y的值为(? ? ? ?)
A. ?3 B. 1 C. 3或1 D. ?3或1
已知△ABC的顶点分别为A(1,?1,2)，B(5,?6,2)，C(1,3，?1)，则AC边上的高BD等于(????)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
定义a?b=|a|2?a?b.若向量a=(1,?2,2)，向量b为单位向量，则a?b的取值范围是(????)
A. [0,6] B. [6,12] C. [0,6) D. (?1,5)
二、填空题
已知向量a=(?2,0，1)，b=(1,2，x)，若a⊥b，则x=______，若2a+b=(?3,2，5)，则x=______．
平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，棱AB、AD、AA1的长均为1，∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=π3，则对角线AC1的长为______．
若a=(2,?3,1)，b=(2,0，3)，c=(3,4，2)，则a?(b+c)=______．
已知向量a=(?2,1，3)，b=(?1,2，1)，若a⊥(a?λb)，则实数λ的值为______．
三、解答题
已知向量a=(1,2,?2)，b=(4,?2,4)，c=(3,m,n)．
(1)求a?b；
(2)若a//c，求m，n；
(3)求cos.
已知空间三点A(?2,0，2)，B(?1,1，2)，C(?3,0，4)，设a=AB,b?=AC．
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka+b与ka?2b互相垂直，求k的值．
已知a=(x,?1,3)，b=(1,2，?1)，c=(1,0，1)，c//(2a+b).
(1)求实数x的值；
(2)若(a?b)⊥(λa+b)，求实数λ的值．
已知空间中三点A(2,0，?2)，B(1,?1,?2)，C(3,0，?4)，设a=AB，b=AC．(1)已知向量ka+b与b互相垂直，求k的值;
(2)求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由不存在实数使得d=kn成立，因此l与α不垂直．
由d?n=2≠0，可得直线l与平面α不平行．
因此直线l与平面α的位置关系是相交但不垂直．
2.【答案】D
【解析】解：∵向量a=(2,4,?4),b=(?2,x,2)，a⊥b，
∴a?b=?4+4x?8=0，
解得x=3．
3.【答案】B
【解析】解：因为向量a、b的坐标满a+b=(?2,?1,2)，a?b=(4,?3,?2)，
所以向量a={1,?2,0}、b={?3,1，2}，
所以a?b=?3?2+0=?5；
4.【答案】C
【解析】解：对于A，a?b=?2?8?2=?12≠0，∴a、b不垂直；
对于B，由b=0得a、b是共线向量，不垂直；
对于C，a?b=12?1+12=0，∴a⊥b；
对于D，a?b=?4?16?25=?45≠0，∴a、b不垂直．
5.【答案】A
【解析】解：因为向量a=(?2,x,2)，b=(2,1,2)，c=(4,?2,1)，
所以b?c=(?2,3，1)；
又a⊥(b?c)，
所以a·(b?c)=0，
即?2×(?2)+3x+2×1=0，
解得x=?2．
故选：A．
6.【答案】B
【解答】
解：∵a?b=1+n=3，∴n=2，
又|a|=2，b=(1,1,2)，
∴cos=a?b|a||b|=32×6=32．
又∈[0,?π?]，
∴向量a与b的夹角为?π?6．
若λ大于0，则向量a与λb(λ≠0)的夹角为?π?6，
若λ小于0，则向量a与λbλ≠0的夹角为，
故选B．
7.【答案】A
【解答】
解：两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1)，
设平面ABC的一个法向量n=(x,y，z)，
则n?AB=x+2y+3z=0n?AC=3x+2y+z=0,
取x=?1，得平面ABC的一个法向量为(?1,2，?1)．
故选：A．
8.【答案】C
【解答】
解：∵CA⊥AB,BD⊥AB，
∴CA→·AB→=BD→·AB→=0，?
∵=60°，∴=120°，
∵CD=CA+AB+BD，?
∴CD2=CA2+AB2+BD2
+2CA·AB+2CA·BD+2BD·AB
=36+16+64+0+2×6×8×cos120°+0?
=68.?
∴|CD|=217.?
故选C.?
9.【答案】C
【解答】解：设点Q(x,y，z).因为点Q在直线OP上，所以OQ//OP，
可设x=λ，则y=λ，z=2λ，
则Q(λ,λ,2λ)，QA=(1?λ,2?λ,3?2λ)，QB=(2?λ,1?λ,2?2λ)，
所以QA?QB=6λ2?16λ+10=6(λ?43)2?23．
故当λ=43时，QA?QB取得最小值，此时点Q(43,43,83).
故选C．
10.【答案】D
【解答】
解：∵|a|=6，且a⊥b，
∴22+42+x2=6，4+4y+2x=0，
解得x=4y=?3，或x=?4y=1．
则x+y=?3或1．
故选D．
11.【答案】C
【解析】解：设AD=λAC，又AC=(0,4，?3)．
则AD=(0,4λ,?3λ)．AB=(4,?5,0)，BD=(?4,4λ+5,?3λ)，
由AC?BD=0，
得λ=?45，∴BD=(?4,95,125)，
∴|BD|=5．
12.【答案】B
【解答】解：设向量a与b的夹角为θ，∵|a|=3，|b|=1，
∴a?b=|a|2?a?b=|a|2?|a||b|cosθ=9?3cosθ．
又θ∈[0,π]，∴cosθ∈[?1,1]，∴a?b∈[6,12]．
故选B．
13.【答案】2 ? 3
【解析】解：向量a=(?2,0，1)，b=(1,2，x)，若a⊥b，
可得：?2+0+x=0，解得x=2；
若2a+b=(?3,2，5)，
可得2+x=5，
则x=3．
故答案为：2；3．
14.【答案】6
【解析】解：如图，由题意可知，
AC1=AB+AD+AA1，
∴(AC1)2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB?AD+2AB?AA1+2AD?AA1
=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6，
∴|AC1|=6，
故答案为：6
由向量法可得(AC1)2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2AB?AD+2AB?AA1+2AD?AA1，进而求解．
15.【答案】3
【解析】解：由题意得：b+c=(5,4，5)，∴a?(b+c)=2?5?3?4+1?5=3，
故答案为：3．
16.【答案】2
【解析】解：∵向量a=(?2,1，3)，b=(?1,2，1)，
∴a?λb=(?2+λ,1?2λ,3?λ)，
∵a⊥(a?λb)，
∴a?(a?λb)=?2(?2+λ)+(1?2λ)+3(3?λ)=0，
解得实数λ=2．
故答案为：2．
利用向量坐标运算法则推导出a?λb=(?2+λ,1?2λ,3?λ)，再由a⊥(a?λb)，能求出实数λ．
17.【答案】解：(1)因为a=(1,2,?2)，b=(4,?2,4)
所以a?b=(1?4,2+2,?2?4)=(?3,4，?6)；
(2)由a=(1,2,?2)，c=(3,m,n)，
当a//c时，31=m2=n?2，
解得m=6，n=?6；
(3)因为a=(1,2,?2)，b=(4,?2,4)，
所以a?b=1×4+2×(?2)+(?2)×4=?8，
|a|=12+22+(?2)2=3，|b|=42+(?2)2+42=6，
所以cos=a?b|a|×|b|=?83×6=?49．
18.【答案】解：(1)∵?a→=(1,1，0)，b→?=(?1,0，2)，
∴a→·b→=(1,1，0)·(?1，0，2)=?1，
又|a→|=12+12+02=2，
|b→|=(?1)2+02+22=5，
，
即向量a→与向量b→的夹角的余弦值为?1010．
(2)?∵ka+b=(k?1,k，2)．
ka?2b=(k+2,k，?4)，且ka+b与ka?2b互相垂直，
∴(k?1,k，2)·(k+2，k，?4)=(k?1)(k+2)+k2?8=0，
∴k=2或k=?52，
∴当ka+b与ka?2b互相垂直时，实数k的值为2或?52．
19.【答案】解：(1)2a+b=2(x,?1,3)+(1,2，?1)=(2x+1，0，5)，
∵c//(2a+b)，
∴设c=λ(2a+b)(λ≠0)，
∴(1,0，1)=(λ(2x+1)，0，5λ)，
∴λ(2x+1)=1,5λ=1,即λ=15,x=2,
∴x的值为2；
(2)a?b=(2,?1,3)?(1,2，?1)=(1，?3，4)，
λa+b=λ(2,?1,3)+(1,2，?1)=(2λ+1，?λ+2，3λ?1)，
∴(a?b)⊥(λa+b)，
∴2λ+1?3(?λ+2)+4(3λ?1)=0，
∴λ=917．
20.【答案】解：(1)由条件得：AB=(?1,?1,0)，AC=(1,0，?2)．
所以ka+b=k(?1,?1,0)+(1,0，?2)=(1?k，?k，?2)，b=(1,0，?2)，
∵向量ka+b与b互相垂直，
∴(ka+b)?b=1?k+4=0，解得k=5；
(2)cos=AB?AC|AB|?|AC|=?12?5=?110，
所以sin=1?110=310，
∴S△ABC=12×|AB|×|AC|×sin=12×2×5×310=32．