1.1.1空间向量及其线性运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）

空间向量及其线性运算同步练习
一、选择题
已知向量a=t+1,1,t,b=t?1,t,1，则a?b的最小值为(? ??)
A. ?2 B. 3 C. 2 D. 4
如图所示，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，MN=xa+yb+zc，则x,y,z的值分别为(? )
A. 12,?23,12 B. ?23,12,12 C. 12,12,?23 D. 23,23,?12
已知空间向量a=(0,2,1)，，则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是(????)
A. (0,1,2) B. (0,?1,?2)
C. (0,15,25) D. (0,?15,?25)
已知正方体ABCD?A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有(? ? ? ? )
①OA+OD与OB′+OC′是一对相反向量；
②OB?OC与OA′?OD′是一对相反向量；
③OA+OB+OC+OD与OA′+OB′+OC′+OD′是一对相反向量；
④OA′?OA与OC?OC′是一对相反向量．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
已知在四面体ABCD中，点M是棱BC点，且BM=3MC，点N是棱AD的中点，若MN=xAB+yAC+zAD其中x，y，z为实数，则x+y+z的值是(????)
A. 12 B. ?12 C. ?2 D. 2
已知向量a=?(?3,2，5)，b=?(1,x，?1)，且a⊥b，则x的值为（ ）
A. 4 B. 1 C. 3 D. 2
已知两个向量a=(2,?1,3),b=(4,m,n)，且a//b，则m+n的值为(? ??)
A. ?4 B. 4 C. ?8 D. 8
如图，在空间四边形ABCD中，AB·CD+AC·DB+AD·BC=(? ? )
A. ?1
B. 1
C. 0
D. 不确定
在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=a，AC=b，AA1=c.点M在棱BC上，且BM=2MC，N为AA1的中点，若以a,b,c为基底，则MN=(? ? ?)
A. ?23a?13b+12c B. 23a?13b+12c C. ?13a+23b?12c D. ?13a?23b+12c
如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，G分别是BC，CD的中点，则AB+12BC+12BD等于（）
A. AD B. GA C. AG D. MG
如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3，2)，则C1的坐标是（ ）
A. (0,3，2) B. (0,4，2) C. (4,0，2) D. (2,3，4)
已知正方体ABCD?A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若AF=AD+xAB+yAA′，则x?y等于（）
A. 0 B. 1 C. 12 D. ?12
已知O为坐标原点，OA在基底a,b,c下的坐标为(2,1,3)，其中a=4i+2j,b=2j+3k,c=3k?j，则向量OA在基底i,j,k下的坐标为(????)
A. (7,3,12) B. (3,7,12) C. (2,4,6) D. (8,3,12)
平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60°，且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3，则|AC1|等于（ ）
A. 5 B. 6 C. 4 D. 8
二、填空题
给出下列命题：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行;
②若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面;
③已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p=xa+yb+zc;
④若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0．
其中为真命题的是____.?
已知A(1,0,0)，B(0,?1,1)，OA+λOB与OB的夹角为，则λ=______．
已知AB=(1,?2,3)，AC=(?1,2，1)，则BC=______．
已知正方体ABCD?A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且AF=AD+mAB?nAA1，则m=________．
已知向量a=0,?1,1，b=(4,1,0)，λa+b=29且λ>0，则λ=_________________．
三、解答题
已知向量a=2,1,?2，c=?1,0,1，若向量b同时满足下列三个条件：①a?b=?1；②|b|=3；③b与c垂直．
(1)求向量b的坐标；
(2)若向量b与向量d=1,?12,1共线，求向量a?b与2b+3c夹角的余弦值．
三棱柱ABC?A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设AB=a，AC=b，AA1=c．
(I)试用a,b,c表示向量MN；
(II)若∠BAC=90?，∠BAA1=∠CAA1=60?，AB=AC=AA1=1，求MN的长．
在空间直角坐标系O?xyz中，O(0?,?0?,?0)，A(1?,?0?,?0)，B(1?,?2?,?0)，C(0?,?1?,?2)，点P满足AP=λAC．
(1)求点P的坐标(用λ表示)；
(2)若OP⊥BC，求λ的值．
如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c．

(1)试用a,b,c表示向量MN；
(2)若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的长．
答案和解析
1.【答案】C
解：由已知a?b=(2,1?t,t?1)，
所以a?b=22+(1?t)2+(t?1)2=2t2?4t+6，
因为t∈R，所以2t2?4t+6=2(t?1)2+4≥2．
故选C．
2.【答案】B
【解答】
解：MN=ON?OM=12OB+OC?23OA=?23a+12b+12c，
所以x=?23,y=12,z=12
故选：B．
3.【答案】D
【解答】
解：∵a=(0,2，1)，b=(0,?1,1)，
∴a+b=(0,1，2)，|a+b|=5，
∴与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是?15×(0,1，2)=(0，?15，?25)，
故选D．
4.【答案】C
【解答】
解：如图所示，
①OA=?OC′，OD=?OB′，
所以OA+OD=?(OB′+OC′)，是一对相反向量；
②OB?OC=CB，OA′?OD′=D′A′，而CB=D′A′，故不是相反向量；
③同①也是正确的；
④OA′?OA=AA′，OC?OC′=C′C=?AA′，是一对相反向量，
所以①③④正确，
故选C．
5.【答案】B
【解析】解：因为BM=3MC，点N是棱AD的中点；
∴MB=?34BC，AN=12AD；∵BC=AC?AB；
∴MN=MB+BA+AN=?34(AC?AB)?AB+12AD=?14AB?34AC+12AD；①
∵MN=xAB+yAC+zAD? ②；
∴x=?14，y=?34，z=12；
∴x+y+z=?12．
6.【答案】A
【解答】
解：由题可得a·b=0，
∴?3×1+2×x+5×(?1)=0，
解得x=4，
故选A．
7.【答案】B
【解答】
解：，
∴存在实数k使得a=kb，
解得k=12，m=?2，n=6，
则m+n=4．
故选B．
8.【答案】C
【解答】
解：AB·CD+AC·DB+AD·BC
=(AC+CB)·CD+AC·DB+AD·BC
=AC?CD+CB?CD+AC·DB+AD·BC
=AC?CD+DB+CB?CD+DA
=AC?CB+CB?CA
=CB?AC+CA
=CB?0
=0．
故选C．
9.【答案】D
【解答】
解：因为BM=2MC，
所以AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23(AC?AB)=13a+23b.
因为N为AA1的中点，
所以AN=12AA1=12c，
故MN=AN?AM=?13a?23b+12c.
故选D．
10.【答案】C
【解答】
解：因为M 、G 分别是BC、CD的中点，所以12BC→=BM→，12BD→=MG→
所以AB→+12BC→+12BD→=AB→+BM→+MG→=AG→
故选C ．
11.【答案】A
【解答】
解：∵DB1的坐标为(4,3，2)，D为坐标原点，∴?B1(4,3，2)，
∴?BC=4，DC=3，CC1=2，∴?C1的坐标为(0,3，2).故选A．
12.【答案】A
【解答】
解：由向量的运算法则可得
AF=AD+DF=AD+12(DC+DD′)
=AD+12(AB+AA′)
=AD+12AB+12AA′
又AF=AD+xAB+yAA′，
故x=12，y=12，所以x?y=0，
故选A．
13.【答案】D
【解答】
解：因为OA在基底a,b,c下的坐标为(2,1，3)，
所以OA=2a+b+3c，
又因为a=4i+2j,b=2j+3k,c=3k?j，
所以OA=2a+b+3c=24i+2j+2j+3k+33k?j=8i+3j+12k，
所以则向量OA在基底i,j,k下的坐标为(8,3，12)．
故选D．
14.【答案】A
【解答】
解：如图，∵平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，
向量AB、AD、AA1两两的夹角均为60°，
且|AB|=1，|AD|=2，|AA1|=3，
∴AC1=AB+BC+CC1，
∴AC12=(AB+BC+CC1)2
=AB2+BC2+CC12+2AB?BC+2AB?CC1+2BC?CC1
=1+4+9+2×1×2×cos60°+2×1×3×cos60°+2×2×3×cos60°
=25，
∴|AC1|=5．
故选A．
15.【答案】④
【解答】
解：若a?，b?共线，则a?，b?所在的直线可能平行也可能重合，故①不正确;
三个向量a?，b?，c?中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故②不正确;
只有当a?，b?，c?不共面时，空间任意一个向量p，才一定能表示为p=xa+yb+zc，
故③不正确;据向量运算法则可知④正确．
故答案为④．
16.【答案】?66
【解答】
解：OA+λOB=(1,0,0)+λ(0,?1,1)=(1,?λ,λ)，
∵OA+λOB与OB的夹角为120?，
∴cos120?=(OA+λOB)?OB|OA+λOB||OB|=2λ1+2λ22，
化为λ2=16，
∵λ<0，∴λ=?66．
故答案为?66．
17.【答案】(?2,4，?2)
【解析】解：∵AB=(1,?2,3)，AC=(?1,2，1)，
∴BC=AC?AB=(?2,4，?2)．
故答案为：(?2,4，?2)．
推导出BC=AC?AB，由此能求出结果．
本题考查向量的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】12
【解答】
解：如图所示，
AF=AD+DF，DF=12(DD1+DC)，DD1=AA1，DC=AB，
∴AF=AD+12AA1+12AB，
与比较可得m=12，
故答案为：12．
19.【答案】3
【解答】
解：由向量a=0,?1,1，b=(4,1,0)，
得λa+b=4,1?λ,λ，
由λa+b=29，得16+1?λ2+λ2=29，
解得λ=3或λ=?2(舍去)，
故答案为3．
20.【答案】解? (1)设b=x,y,z，则由题意可知2x+y?2z=?1,x2+y2+z2=9,?x+z=0,解得x=2,y=?1z=2，或x=?2,y=?1,z=?2.∴b=2,?1,2或b=?2,?1,?2．
(2)∵向量b与向量d=1,?12,1共线，∴b=2,?1,2，
又∵a=2,1,?2，c=?1,0,1，∴a?b=0,2,?4，2b+3c=1,?2,7，
∴a?b?2b+3c=?32，且|a?b|=25，|2b+3c|=36，
∴a?b与2b+3c夹角的余弦值为cosa?b,2b+3c=a?b?2b+3c|a?b||2b+3c|=?83045．
21.【答案】解：(1)∵BM=2A1M，C1N=2B1N，
∴MA1=13BA1，B1N=13B1C1，
∴MN=MA1+A1B1+B1N
=13BA1+AB+13B1C1
=13c?a+a+13b?a
=13a+13b+13c；
(2)a+b+c2
=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c
=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5，
∴a+b+c=5，
MN=13a+b+c=53．
22.【答案】解：(1)因为O(0,?0,?0)，A(1,?0,?0)，C(0,?1,?2)，
所以AC=(?1,?1,?2)，OA=1,0,0? ? ，?
因为AP=λAC，
所以OP=OA+AP=OA+λAC=(1,?0,?0)+λ(?1,?1,?2)=(1?λ,?λ,?2λ)，
所以点P的坐标为(1?λ,?λ,?2λ).? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
(2)因为BC=(?1,??1,?2)，，????
所以OP?BC=0，即?1×(1?λ)?1×λ+2×2λ=0，
解得λ=14.
23.【答案】解? (1)MN=MA1+A1B1+B1N=13BA1+AB+13B1C1=13c?a+a+13b?a=13a+13b+13c；
(2)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a?b+2b?c+2a?c
=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5，
所以|a+b+c|=5，
所以|MN|=13|a+b+c|=53，
即MN=53．