1.2 空间向量基本定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习Word含答案解析
文档属性
| 名称 | 1.2 空间向量基本定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习Word含答案解析 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 104.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-09 22:32:56 | ||
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文档简介
空间向量基本定理同步练习
一、选择题
给出下列命题：
①若向量a?,??b共线，则向量a?,??b所在的直线平行；
②若向量a?,??b所在的直线为异面直线，则向量a?,??b一定不共面；
③已知空间的三个向量a?,?b?,?c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x?,??y?,??z，使得p=xa+yb+zc．
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
已知向量a=(1,?x,?2)，b=(0,?1,?2)，c=(1,?0,?0)，若a,b,c共面，则x等于? (??? )
A. ?1 B. 1 C. 1或?1 D. 1?或0
若{a,b,c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(????)．
A. {a,a+b,a?b} B. {b,a+b,a?b}
C. {c,a+b,a?b} D. {a+b,a?b,a+2b}
如图，直三棱柱ABC?–A1B1C1中，若CA=a，CB=b，CC1=c，则A1B等于(????)
A. a+b?c B. a?b+c C. b?a?c D. b?a+c
下列说法中正确的是（ ）
A. 用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面
B. 若存在有序实数对(x,y)使得OP=xOA+yOB，则O，P，A，B四点共面
C. 若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面
D. 向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面
已知空间向量m=(3,1，3)，n=(?1,λ,?1)，且m//n，则实数λ=(????)
A. ?13 B. ?3 C. 13 D. 6
?若对任意一点O和不共线的三点A,B,C有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，则x+y+z=1是四点P,A,B,C共面的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与MN相等的向量是（ ）
A. ?12a+12b+13c B. 12a+12b?13c
C. 12a?12b?13c D. ?12a?12b+23c
已知a=(m,2，?4)，b=(3,?4,n)，且a//b，则m，n的值分别为：（ ）
A. m=?32,n=8 B. m=32,n=8
C. m=?32,n=?8 D. 无法确定
已知向量a=(?1,2,1),?b=(3,x,y)，且a//b，那么|b|=( ???)
A. 36 B. 6 C. 9 D. 18
已知两个向量a=(2,?1,3),b=(4,m,n)，且a//b，则m+n的值为(? ??)
A. ?4 B. 4 C. ?8 D. 8
如图，在三棱锥A?BCD中，点F在棱AD上，且AF=3FD，E为BC中点，则等于(? ?)
A. B.
C. ?12AC+12AB?23AD D. 12AC?12AB+23AD
二、填空题
已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u=(1,3,z)，向量v=(3,?2,1)与平面α平行，则z=______．
若空间向量a=(x,2,2)和b=(1,1,1)的夹角为锐角，则x的取值范围是_______．
已知向量AB=(2,4，5)，CD=(3,x，y)，若AB//CD，则xy=________．
如图，已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60?.?M为CC1的中点，则AM长度为________．
三、解答题
已知a=(1,2，?2)．
(1)求与a共线的单位向量b；
(2)若a与单位向量c=(0,m，n)垂直，求m，n的值．
已知向量a=?2,?1,2,b=?1,1,2,c=x,2,2．
(Ⅰ)当c=22时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值;
(Ⅱ)若向量c与向量a,b共面，求实数x的值．
如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM：GA=1：3，设AB=a,AC=b,AD=c，试用a,b,c表示BG,BN．
如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a、b、c表示AE；
(2)求|AE|.
答案和解析
1.【答案】A．
【解答】
解：由于向量是可自由平移的，所以向量a,b共线，不一定向量a,b所在的直线平行，故命题①不正确；
因为向量是可自由平移的，向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b也可能共面，故命题②不正确；
由空间向量基本定理，可知只有当三个向量a,b,c不共面的时候，由它们做基底，才有后面的结论，故命题③不正确．
即3个命题都不正确．
故选A．
2.【答案】B
【解答】
解：c=(1,0,0)=λa+μb=(λ,λx,2λ)+(0,μ,2μ)，
∴1=λ0=λx+μ0=2λ+2μ解得λ=1μ=?1x=1,
故选B．
3.【答案】C
【解答】
解：若c，a+b，a?b共面，则c=λ(a+b)+m(a?b)=(λ+m)a+(λ?m)b，则a，b，c为共面向量，与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾，
故c，a+b，a?b可构成空间向量的一组基底．
故选C．
4.【答案】C
【解答】
解：?因为三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，
所以四边形ACC1A1是平行四边形，
所以A1B→=CB→?CA1→=CB→?(CA→+CC1→)=?a→+b→?c→．
故选C．
5.【答案】B
【解答】
解：A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，故A错；
B.若存在有序实数对(x,y)使得OP=xOA+yOB，即OP=xOA+yOB+(1?x?y)OC(C与O重合)，由共面向量定理得O，P，A，B四点共面，故B对；
C.若空间中三个向量共面，假设这三个向量平行，且不位于同一平面上，
则这三个向量的起点和终点不共面，故C错；
D.向量a,b,c共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，故D错，
故选B．
6.【答案】A
【解析】解：∵m//n，∴可设km=n，∴?1=3kλ=k?1=3k，
解得λ=k=?13．
故选：A．
由m//n，可设km=n，可得?1=3kλ=k?1=3k，解出即可得出．
本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解答】
解：对任意一点O和不共线的三点A、B、C有OP=xOA+yOB+zOC，x+y+z=1?四点P、A、B、C共面；
因此x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的充要条件．
故选：C．
8.【答案】C
【解答】
解：MN=MB+BN=12D1B1+13BB1=12(A1B1?A1D1)?13A1A=12a?12b?13c，
故选C．
9.【答案】A
【解析】解：a=(m,2，?4)，b=(3,?4,n)，
由a//b，设a=λb，
即m=3λ2=?4λ?4=λn，
解得λ=?12m=?32n=8，
即m=?32，n=8．
故选：A．
由a//b可设a=λb，列方程求出m、n的值．
10.【答案】A
【解答】
解：∵a//b，
∴存在实数λ使得b=λa，
∴3=?λx=2λy=λ，解得λ=?3，x=?6，y=?3．
∴b=32+?62+?32=36．
故选A．
11.【答案】B
【解答】
解：，
∴存在实数k使得a=kb，
解得k=12，m=?2，n=6，
则m+n=4．
故选B．
12.【答案】B
【解答】
解：由题意得：FE=AE?AF=12AB+AC?34AD．
故选B．
13.【答案】3
【解析】解：直线l与平面α垂直，
∵直线l的一个方向向量为u=(1,3,z)，向量v=(3,?2,1)与平面α平行，
∴μ?v=3?6+z=0，
解得z=3．
故答案为：3．
由直线l与平面α垂直，得到直线l的方向向量与平面α的方向向量垂直，由此能求出结果．
14.【答案】x>?4且x≠2
【解答】
解：空间向量a→=(x,2,2)和b→=(1,1,1)的夹角为锐角，
则a·b=x+2+2>0且a与b不共线，
所以x>?4且x≠2．
故答案为x>?4且x≠2．
15.【答案】45
【解答】
解：∵AB//CD，∴存在非零实数k，使得AB=kCD．
∴2=3k4=kx5=ky，则xy=20k2=20(23)2=45．
故答案为：45．
16.【答案】26
【解答】
解：因为AM=AC+CM=AB+AD+12AA1，
所以，由条件得：AM2=AB+AD+12AA12=AB+AD+12AA12
=AB2+AD2+14AA12+2AB·AD+AB·AA1+AD·AA1
=22+22+14×42+2×2×2×12+2×4×12+2×4×12=24，
所以AM=26，即AM长度为26．
故答案为：26．
17.【答案】?解：(1)设b=(λ,2λ,?2λ)，而b为单位向量，所以|b|=1，
即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，所以λ=±13．
所以b=(13,23,?23)或b=(?13,?23,23).
(2)由题意，知a·c=0,c=1,即1×0+2m?2n=0,m2+n2+02=1,
解得m=22,n=22或m=?22,n=?22.
18.【答案】解：(Ⅰ)因为c=22，所以x=0．
且ka+b=?2k?1,1?k,2k+2．
因为向量ka+b与c垂直，
所以ka+b?c=0．
即2k+6=0．
所以实数k的值为?3．
(Ⅱ)因为向量c与向量a,b共面，所以c=λa+μbλ,μ∈R．
因为x,2,2=λ?2,?1,2+μ?1,1,2，
x=?2λ?μ,2=μ?λ,2=2λ+2μ,
所以x=?12λ=?12μ=32
所以实数x的值为?12．
19.【答案】解：BG=BA+AG=BA+34AM
=?a+14a+b+c=?34a+14b+14c，
BN=BA+AN=BA+13(AC+AD)
=?a+13b+13c．
20.【答案】解：(1)如图所示，∵BC=AD，CE=12CC1=12AA1，
∴AE=AB+BC+CE=a+b+12c．
(2)∵|AE|2=(a+b+12c)2=a2+b2+14c2+2a?b+a?c+b?c=32+42+14×42+0+3×4×12+4×4×12=43．
∴|AE|=43．
一、选择题
给出下列命题：
①若向量a?,??b共线，则向量a?,??b所在的直线平行；
②若向量a?,??b所在的直线为异面直线，则向量a?,??b一定不共面；
③已知空间的三个向量a?,?b?,?c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x?,??y?,??z，使得p=xa+yb+zc．
其中正确命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
已知向量a=(1,?x,?2)，b=(0,?1,?2)，c=(1,?0,?0)，若a,b,c共面，则x等于? (??? )
A. ?1 B. 1 C. 1或?1 D. 1?或0
若{a,b,c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(????)．
A. {a,a+b,a?b} B. {b,a+b,a?b}
C. {c,a+b,a?b} D. {a+b,a?b,a+2b}
如图，直三棱柱ABC?–A1B1C1中，若CA=a，CB=b，CC1=c，则A1B等于(????)
A. a+b?c B. a?b+c C. b?a?c D. b?a+c
下列说法中正确的是（ ）
A. 用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面
B. 若存在有序实数对(x,y)使得OP=xOA+yOB，则O，P，A，B四点共面
C. 若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面
D. 向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面
已知空间向量m=(3,1，3)，n=(?1,λ,?1)，且m//n，则实数λ=(????)
A. ?13 B. ?3 C. 13 D. 6
?若对任意一点O和不共线的三点A,B,C有OP→=xOA→+yOB→+zOC→，则x+y+z=1是四点P,A,B,C共面的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件
如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与MN相等的向量是（ ）
A. ?12a+12b+13c B. 12a+12b?13c
C. 12a?12b?13c D. ?12a?12b+23c
已知a=(m,2，?4)，b=(3,?4,n)，且a//b，则m，n的值分别为：（ ）
A. m=?32,n=8 B. m=32,n=8
C. m=?32,n=?8 D. 无法确定
已知向量a=(?1,2,1),?b=(3,x,y)，且a//b，那么|b|=( ???)
A. 36 B. 6 C. 9 D. 18
已知两个向量a=(2,?1,3),b=(4,m,n)，且a//b，则m+n的值为(? ??)
A. ?4 B. 4 C. ?8 D. 8
如图，在三棱锥A?BCD中，点F在棱AD上，且AF=3FD，E为BC中点，则等于(? ?)
A. B.
C. ?12AC+12AB?23AD D. 12AC?12AB+23AD
二、填空题
已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u=(1,3,z)，向量v=(3,?2,1)与平面α平行，则z=______．
若空间向量a=(x,2,2)和b=(1,1,1)的夹角为锐角，则x的取值范围是_______．
已知向量AB=(2,4，5)，CD=(3,x，y)，若AB//CD，则xy=________．
如图，已知平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60?.?M为CC1的中点，则AM长度为________．
三、解答题
已知a=(1,2，?2)．
(1)求与a共线的单位向量b；
(2)若a与单位向量c=(0,m，n)垂直，求m，n的值．
已知向量a=?2,?1,2,b=?1,1,2,c=x,2,2．
(Ⅰ)当c=22时，若向量ka+b与c垂直，求实数x和k的值;
(Ⅱ)若向量c与向量a,b共面，求实数x的值．
如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上一点，且GM：GA=1：3，设AB=a,AC=b,AD=c，试用a,b,c表示BG,BN．
如图，在平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a、b、c表示AE；
(2)求|AE|.
答案和解析
1.【答案】A．
【解答】
解：由于向量是可自由平移的，所以向量a,b共线，不一定向量a,b所在的直线平行，故命题①不正确；
因为向量是可自由平移的，向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,b也可能共面，故命题②不正确；
由空间向量基本定理，可知只有当三个向量a,b,c不共面的时候，由它们做基底，才有后面的结论，故命题③不正确．
即3个命题都不正确．
故选A．
2.【答案】B
【解答】
解：c=(1,0,0)=λa+μb=(λ,λx,2λ)+(0,μ,2μ)，
∴1=λ0=λx+μ0=2λ+2μ解得λ=1μ=?1x=1,
故选B．
3.【答案】C
【解答】
解：若c，a+b，a?b共面，则c=λ(a+b)+m(a?b)=(λ+m)a+(λ?m)b，则a，b，c为共面向量，与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾，
故c，a+b，a?b可构成空间向量的一组基底．
故选C．
4.【答案】C
【解答】
解：?因为三棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱，
所以四边形ACC1A1是平行四边形，
所以A1B→=CB→?CA1→=CB→?(CA→+CC1→)=?a→+b→?c→．
故选C．
5.【答案】B
【解答】
解：A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，故A错；
B.若存在有序实数对(x,y)使得OP=xOA+yOB，即OP=xOA+yOB+(1?x?y)OC(C与O重合)，由共面向量定理得O，P，A，B四点共面，故B对；
C.若空间中三个向量共面，假设这三个向量平行，且不位于同一平面上，
则这三个向量的起点和终点不共面，故C错；
D.向量a,b,c共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，故D错，
故选B．
6.【答案】A
【解析】解：∵m//n，∴可设km=n，∴?1=3kλ=k?1=3k，
解得λ=k=?13．
故选：A．
由m//n，可设km=n，可得?1=3kλ=k?1=3k，解出即可得出．
本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解答】
解：对任意一点O和不共线的三点A、B、C有OP=xOA+yOB+zOC，x+y+z=1?四点P、A、B、C共面；
因此x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的充要条件．
故选：C．
8.【答案】C
【解答】
解：MN=MB+BN=12D1B1+13BB1=12(A1B1?A1D1)?13A1A=12a?12b?13c，
故选C．
9.【答案】A
【解析】解：a=(m,2，?4)，b=(3,?4,n)，
由a//b，设a=λb，
即m=3λ2=?4λ?4=λn，
解得λ=?12m=?32n=8，
即m=?32，n=8．
故选：A．
由a//b可设a=λb，列方程求出m、n的值．
10.【答案】A
【解答】
解：∵a//b，
∴存在实数λ使得b=λa，
∴3=?λx=2λy=λ，解得λ=?3，x=?6，y=?3．
∴b=32+?62+?32=36．
故选A．
11.【答案】B
【解答】
解：，
∴存在实数k使得a=kb，
解得k=12，m=?2，n=6，
则m+n=4．
故选B．
12.【答案】B
【解答】
解：由题意得：FE=AE?AF=12AB+AC?34AD．
故选B．
13.【答案】3
【解析】解：直线l与平面α垂直，
∵直线l的一个方向向量为u=(1,3,z)，向量v=(3,?2,1)与平面α平行，
∴μ?v=3?6+z=0，
解得z=3．
故答案为：3．
由直线l与平面α垂直，得到直线l的方向向量与平面α的方向向量垂直，由此能求出结果．
14.【答案】x>?4且x≠2
【解答】
解：空间向量a→=(x,2,2)和b→=(1,1,1)的夹角为锐角，
则a·b=x+2+2>0且a与b不共线，
所以x>?4且x≠2．
故答案为x>?4且x≠2．
15.【答案】45
【解答】
解：∵AB//CD，∴存在非零实数k，使得AB=kCD．
∴2=3k4=kx5=ky，则xy=20k2=20(23)2=45．
故答案为：45．
16.【答案】26
【解答】
解：因为AM=AC+CM=AB+AD+12AA1，
所以，由条件得：AM2=AB+AD+12AA12=AB+AD+12AA12
=AB2+AD2+14AA12+2AB·AD+AB·AA1+AD·AA1
=22+22+14×42+2×2×2×12+2×4×12+2×4×12=24，
所以AM=26，即AM长度为26．
故答案为：26．
17.【答案】?解：(1)设b=(λ,2λ,?2λ)，而b为单位向量，所以|b|=1，
即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1，所以λ=±13．
所以b=(13,23,?23)或b=(?13,?23,23).
(2)由题意，知a·c=0,c=1,即1×0+2m?2n=0,m2+n2+02=1,
解得m=22,n=22或m=?22,n=?22.
18.【答案】解：(Ⅰ)因为c=22，所以x=0．
且ka+b=?2k?1,1?k,2k+2．
因为向量ka+b与c垂直，
所以ka+b?c=0．
即2k+6=0．
所以实数k的值为?3．
(Ⅱ)因为向量c与向量a,b共面，所以c=λa+μbλ,μ∈R．
因为x,2,2=λ?2,?1,2+μ?1,1,2，
x=?2λ?μ,2=μ?λ,2=2λ+2μ,
所以x=?12λ=?12μ=32
所以实数x的值为?12．
19.【答案】解：BG=BA+AG=BA+34AM
=?a+14a+b+c=?34a+14b+14c，
BN=BA+AN=BA+13(AC+AD)
=?a+13b+13c．
20.【答案】解：(1)如图所示，∵BC=AD，CE=12CC1=12AA1，
∴AE=AB+BC+CE=a+b+12c．
(2)∵|AE|2=(a+b+12c)2=a2+b2+14c2+2a?b+a?c+b?c=32+42+14×42+0+3×4×12+4×4×12=43．
∴|AE|=43．