1.3.1 空间直角坐标系-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）

空间直角坐标系同步练习
一、选择题
在空间坐标系中，点P(1,?2,5)到坐标平面xOz的距离为（ ）
A. 2 B. 1 C. 5 D. 3
如图，以长方体ABCD?A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3，2)，则C1的坐标是（ ）
A. (0,3，2) B. (0,4，2) C. (4,0，2) D. (2,3，4)
在空间直角坐标系中，已知点P(x,y，z)，那么下列说法正确的是（ ）
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x,?y,z)
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,?y,?z)．
③点P关于xOy平面对称点的坐标是P3(x,y，?z)
④点P关于原点对称点的坐标是P4(?x,?y,?z)．
A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④
在空间直角坐标系O?xyz中，点A(2,?1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是（ ）
A. (2,1，3) B. (?2,?1,3) C. (2,1，?3) D. (2,?1,?3)
如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos=33，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（ ）
A. (1,1，1) B. (1,1，0.5) C. (1,1，1.5) D. (1,1，2)
已知点A1,2,?1关于面xOy的对称点为B，而点B关于x轴的对称点为C，则BC=
A. 0,4,2 B. 0,?4,?2 C. (0,4，0) D. (2,0，?2)
如图，以长方体ABCDA1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3，2)，则C1的坐标是（ ）
A. (0,3，2) B. (0,4，2) C. (4,0，2) D. (2,3，4)
已知点B是点A(3,7，?4)在xOz平面上的射影，则(OB)2等于（ ）
A. (9,0，16) B. 25 C. 5 D. 13
假设地球是半径为r的球体，现将空间直角坐标系的原点置于
球心，赤道位于xOy平面上，z轴的正方向为球心指向正北极方向，
本初子午线(弧ASB)是0度经线，位于xOz平面上，且交x轴于点
S(r,0，0)，如图所示．已知赤道上一点E(12r,32r,0)位于
东经60度，则地球上位于东经30度、北纬60度的空间点P的坐标为(??? )?
A. ? ??(34r,14r,32r). B. ?(32r,12r,32r).
C. (12r,32r,12r) D. (14r,34r,32r)
如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ）
A. 63 B. 255 C. 155 D. 105
在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则?)
A. ?10 B. 10 C. ?12 D. 12
空间两点A(2,5,4),B(?2,3,5)之间的距离等于（ ）
A. 20 B. 21 C. 19 D. 22
二、填空题
点P(3,?2,2)在xOz平面内的射影为B(x,y，z)，则x+y+z=_________
在空间直角坐标系O?xyz中，点A(1,2，2)，则|OA|=??????????;点A到坐标平面yoz的距离是??????????．
已知点A(1,1，?4)，B(2,?4,2)，C为线段AB上的一点，且AC=12AB，则C点坐标为________
点M(?1,2，3)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，点M1与点M关于x轴对称，点M2与M关于xOy平面对称，则|M1M2|= ______ ．
三、解答题
如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=3，|AA1|=2，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离．(用坐标法)
如图所示，直三棱柱ABC?A1B1C1中，|C1C|=|CB|=|CA|=2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．
如图，三棱锥P?ABC中，△ABC是正三角形，且PA⊥平面ABC，AC，PC的中点分别为E，F．
(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；
(2)设PB的中点为G，AB=2PA，求直线AG与平面PBC所成角的正弦值．
如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，|AB|=|AD|=3，|AA1|=2，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点。建立适当空间直角坐标系，求M、N两点间的距离．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在空间坐标系中，点P(1,?2,5)到坐标平面xOz的距离为：
d=(1?1)2+(?2?0)2+(5?5)2=2．
故选：A．
在空间坐标系中，点P(a,b，c)到坐标平面xOz的距离为：(a?a)2+(b?0)2+(c?c)2=b．
2.【答案】A
【解析】解：以长方体ABCD?A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵DB1的坐标为(4,3，2)，
∴AD=4，DC=3，DD1=2，
∴C1的坐标是：(0,3，2)．
3.【答案】D
【解答】
解：空间直角坐标系中，点P(x,y，z)；
对于①，点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x,?y,?z)，∴①错误；
对于②，点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(?x,y，z)，∴②错误；
对于③，点P关于xOy平面对称点的坐标是P3(x,y，?z)，∴③正确；
对于④，点P关于原点对称点的坐标是P4(?x,?y,?z)，∴④正确；
综上知，正确的命题序号是③④．
故选D．
4.【答案】B
【解析】解：在空间直角坐标系O?xyz中，
点A(2,?1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是(?2,?1,3)．
故选：B．
在空间直角坐标系O?xyz中，点(a,b，c)关于yOz平面对称的点的坐标是(?a,b，c)．
5.【答案】A
【解答】
解：设PD=a(a>0)，
则A(2,0，0)，B(2,2，0)，P(0,0，a)，E(1,1，a2)，
∴DP=(0,0，a)，AE=(?1,1，a2)，
∵cos?DP,AE?=33，
∴a22=a2+a24?33，
∴a=2
∴E的坐标为(1,1，1)．
6.【答案】B
【解答】
解：∵A(1,2，?1)关于面xOy的对称点为B，
∴根据关于面xOy的对称点的特点得到B(1,2，1)，
而B关于x轴对称的点为C，
∴C点的坐标是(1,?2,?1)，?
∴BC=(0,?4,?2)．
故选B．
7.【答案】A
【解答】
解：∵DB1的坐标为(4,3，2)，D为坐标原点，∴?B1(4,3，2)，
∴?BC=4，DC=3，CC1=2，∴?C1的坐标为(0,3，2).故选A．
8.【答案】B
【解析】解：∵点B是点A(3,7，?4)在xOz平面上的射影，
∴B(3,0，?4)
∴OB=(3,0?4)
∴(OB)2=9+16=25
故选B．
根据点B是点A(3,7，?4)在xOz平面上的射影，写出射影的坐标，写出对应的向量的坐标，进而算出向量的平方．
9.【答案】A
解：设点P投影到xOy平面上的点P′，则OP=r,OP′=r2,P′P=32r,又OP′与x轴正向的夹角为30°，
由P′在x轴与y轴的投影可知P′(34r,14r,0),因此点P的坐标为(34r,14r,32r).
故选A．
10.【答案】D
【解答】
解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，C1(0,2，1)
∴BC1=(?2,0，1)，AC=(?2,2，0)，AC且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos=45·8=105．
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为105．
故选D．
11.【答案】D
【解答】
解：点关于平面xOz的对称点为，
所以，，
所以．
故选D．
12.【答案】B
【解答】
解：∵两点A(2,5,4),B(?2,3,5)，
∴A，B两点之间的距离：
|AB|=(2+2)2+(5?3)2+(4?5)2=21．
故选B．
13.【答案】5
【解答】
解：因为点P(3,?2,2)在xOz平面内的射影为B(3,0,2)，
所以x=3，y=0，z=2，
所以x+y+z=3+0+2=5．
故答案为5．
14.【答案】3；1
【解答】
解：据空间坐标系中两点间的距离公式，
得|OA|=(1?0)2+(2?0)2+(2?0)2=3．
∵A(1,2，2)，
∴点A到平面yoz的距离=|1|=1．
故答案为3；1．
15.【答案】32,?32,?1　
【解答】
解：∵点A(1,1，?4)，B(2,?4,2)，C为线段AB上的一点，且AC=12AB，
∴C为AB的中点，
则C点的坐标为1+22,1?42,?4+22，即32,?32,?1．
故答案为32,?32,?1．
16.【答案】4
【解析】解：∵M(?1,2，3)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，点M1与点M关于x轴对称，
∴M1点坐标为(?1,?2,?3)
点M2与M关于xOy平面对称，M2(?1,2，?3)
∴|M1M2|=(?1+1)2+(?2?2)2+(?3+3)2=4．
故答案为：4．
17.【答案】解：如图所示，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
由题意可知C(3,3，0)，D(0,3，0)，
∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2，∴C1(3,3，2)，D1(0,3，2)．
∵N为CD1的中点，∴N(32,3，1)．
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1,1，2)．
由两点间距离公式，得：
M、N两点间的距离：|MN|=(1?32)2+(1?3)2+(2?1)2=212．
18.【答案】解：以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
∵|C1C|=|CB|=|CA|=2，
∴C(0,0，0)，A(2,0，0)，B(0,2，0)，C1(0,0，2)，B1(0,2，2)，
由中点坐标公式可得，D(1,1，0)，E(0,1，2)，F(1,0，0)，
∴|DE|=(1?0)2+(1?1)2+(0?2)2=5，
|EF|=(0?1)2+(1?0)2+(2?0)2=6．
19.【答案】解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BE?平面ABC，所以PA⊥BE;
因为△ABC是正三角形，E为AC中点，所以AC⊥BE;
PA∩AC=A.所以BE⊥平面PAC，而BE?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAC;
(2)易知BE，FE，CE所以两两相互垂直，则可建立空间直角坐标系E?xyz如图，
不妨设PA=2，则AB=4，BE=23，A(0,?2,0)，B(23,0,0)，C(0,2，0)，P(0,?2,2)，G(3,?1,1)，BC=(?23,2,0)，PC=(0,4,?2)，AG=(3,1,1)，
设平面PBC法向量为m=(x,y,z)，由m?BC=0m?PC=0，得?23x+2y=04y?2z=0,
不妨令x=1，得m=(1,3,23)，设直线AG与平面PBC所成角为θ，
则sinθ=|cosAG,m|=|AG?m||AG||m|=435?16=155，
所以直线AG与平面PBC所成角的正弦值为155．
20.【答案】解：如图所示，分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
由题意可知C(3,3，0)，D(0,3，0)，
∵|DD1|=|CC1|=|AA1|=2，∴C1(3,3，2)，D1(0,3，2)．
∵N为CD1的中点，∴N(32,3，1).??
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1,1，2)．
由两点间距离公式，得|MN|=32?12+3?12+1?22=212．
故答案为212．