1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）

用空间向量研究直线、平面的位置关系同步练习
一、选择题
若直线l的方向向量a=(1,2，?1)，平面α的一个法向量m=(?2,?4,k)，若l⊥α，则实数k=(??? )
A. 2 B. ?10 C. ?2 D. 10
设l1的方向向量为a=(1,2，?2)，l2的方向向量为b=(?2,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(??? )
A. 1 B. 2 C. 12 D. 3
若直线l的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为(1,12,2)，且l⊥α，则m=(????)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
已知AB=(1,5，?2)，BC=(3,1，z)，若AB⊥BC，BP=(x?1,y，?3)，且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（ ）
A. 337，?157，4 B. 407，?157，4 C. 407，?2，4 D. 4，407，?15
已知O为坐标原点，向量a=?2,1,1，点A?3,?1,4，B?2,?2,2.若点E在直线AB上，且OE⊥a，则点E的坐标为(??? )
A. ?65,?145,25 B. 65,145,?25 C. 65,?145,25 D. ?65,145,?25
如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列判断错误的是(? ?)
A. MN⊥CC1 B. MN⊥平面ACC1A1
C. MN//平面ABCD D. MN//A1B1
平面α的法向量u=(2,?2,2)，平面β的法向量v=(1,2,1)，则下列命题正确的是（ ）
A. α，β平行 B. α，β垂直 C. α，β重合 D. α，β不垂直
若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l//α的是（ ）
A. a=(1,0，1)，n=(?1,0，?1)
B. a=(1,3，5)，n=(1,0，1)
C. a=(0,2，1)，n=(?2,1，0)
D. a=(1,?1,3)，n=(0,3，1)
若平面α的一个法向量为(1,2，0)，平面β的一个法向量为(2,?1,0)，则平面α和平面β的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合
如图，在三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=60°，PA=AB=2，以点B为原点，分别以BC，BA，AP的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的法向量分别为m和n，则下面选项中正确的是(? ? ?)
A. 点P的坐标为(0,0，2) B. PC=(4,0,?2)
C. n可能为(0,?2,2) D. cosm,n>0
平面α的法向量u=(x,1，?2)，平面β的法向量ν=(?1,y，12)，已知α//β，则x+y等于(??? )
A. 154 B. 174 C. 3 D. 52
若平面α，β的法向量分别为u=(?2,3,?5)，v=(3,?1,4)，则(????)
A. α//β B. α⊥β
C. α，β相交但不垂直 D. 以上均不正确
二、填空题
已知点A(1,4，1)，B(2,3，1)，C(3,2，0)，若直线l⊥平面ABC，直线l的方向向量为a=(2,m，k)，则m=________．
已知直线l的一个方向向量d=(2,3,5)，平面α的一个法向量u=(?4,m,n)，若l⊥α，则m+n=______．
设u，v分别是平面α，β的法向量，u=(1,2,?2)，v=(?2,?4,m).若α?//?β，则实数m=___________．
在空间直角坐标系O?xyz中，已知平面α的一个法向量是n=(1,?1,2)，且平面α过点A(0,3，1).若P(x,y，z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是__________________．
三、解答题
如图所示，在四棱锥P?ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．用空间向量知识证明：
(1)CM?//平面PAD；????????
(2)平面PAB⊥平面PAD．
如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别为底面A1B1C1D1和侧面B1C1CB的中心．
求证：(1)EF//A1B；
(2)EF//平面A1BD；
(3)平面B1EF//平面A1BD.?
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点．

(Ⅰ)求证：B1E⊥AD1；
(Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP//平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=6，点E是棱PB的中点．
(1)求直线AD与平面PBC的距离；
(2)若AD=3，求二面角A—EC—D的平面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：∵直线l的方向向量a=(1,2,?1)，
平面α的一个法向量m=(?2,?4,k)，l⊥α，
∴a//m，
∴1?2=2?4=?1k，解得k=2．
故选A．
2.【答案】B
【解答】
解：∵l1⊥l2，∴a·b=1×?2+2×3?2m=0,
解得m=2，
故选B．
3.【答案】C
【解答】
解：因为直线l的方向向量为(2,1，m)，平面α的法向量为(1,12,2)，且l⊥α，
所以存在实数λ，使得(2,1，m)=λ(1,12,2)，
所以2=λ1=12λm=2λ,
解得λ=2，m=4．
故选C．
4.【答案】B
【解答】
解：∵AB⊥BC，
∴AB?BC=3+5?2z=0，解得z=4．
∴BC=(3,1,4)．
∵BP⊥平面ABC，AB?平面ABC，BC?平面ABC，
∴BP⊥AB，BP⊥BC，
∴BP⊥AB，BP⊥BC．
∴BP?AB=x?1+5y+6=0BP?BC=3(x?1)+y?12=0，
解得x=407y=?157．
∴x=407，y=?157，z=4．
故选：B．
5.【答案】A
【解答】
解：∵点E在直线AB上，故OE=OA+AE=OA+tAB=(?3,?1,4)+t(1,?1,?2)=(?3+t,?1?t,4?2t)，
且OE⊥a，，
故点E的坐标为?65,?145,25，
故选A．
6.【答案】D
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系：
设正方体棱长为2，
则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C10,2,2，
M(1,2，1)，D10,0,2，C(0,2，0)，N(0,1，1)，
则MN=?1,?1,0，CC1=0,0,2，
AC=?2,2,0，AB=0,2,0，
∴MN·CC1=0，∴MN⊥CC1，故A正确；
∵MN·AC=0，AC⊥MN，
∵AC∩CC1=C，AC,CC1?平面ACC1A1，
∴MN⊥平面ACC1A1，故B正确；
根据AB=0,2,0，MN=?1,?1,0，
可知，MN和AB不平行，故MN和A1B1不平行，故D错误；
易求得平面ABCD的一个法向量为n=0,0,1，
则MN·n=0，又MN?平面ABCD，
∴MN?//平面ABCD，故C正确．
故选D．
7.【答案】B
【解析】解：平面α的法向量u=(2,?2,2)，平面β的法向量v=(1,2,1)，
因为u?v=2?4+2=0，
所以两个平面垂直．
8.【答案】D
【解答】
解：若l//α，则a→·n→=0，
经验证只有选项D中a→·n→=0，
故选D．
9.【答案】C
【解答】
解：由题意可得(1,2，0)?(2，?1，0)
=1×2?2×1+0×0=0，
故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，
故选C．
10.【答案】C
【解答】
解：由题意可得B(0,0，0)，A(0,2，0)，C(23,0，0)，P(0,2，2)，
所以PC=(23,?2,?2)，BP=(0,2，2)．
设n=(x,y,z),则23x?2y?2z=02z+2y=0.,
取z=2，可得n=(0,?2,2)．
因为AB⊥BC，PA⊥BC，所以BC⊥平面PAB，
所以平面PBC⊥平面PAB，所以，
所以cos=0．
综上所述，A，B，D错，C正确．
故选C．
11.【答案】A
【解答】
解：由题意知，∵α//β，∴u=λν，
即x=?λ,1=λy,?2=12λ,解得λ=?4，y=?14，x=4，
∴x+y=4?14=154．
故选A．
12.【答案】C
【解答】
解：因为u=(?2,3,?5)，v=(3,?1,4)，
所以u与v不平行且u与v不垂直，
故选C．
13.【答案】2
【解答】
解：由题意知a是平面ABC的一个法向量，
∵AB=(1,?1,0)，AC=(2,?2,?1)，
∴2×1+m×(?1)+k×0=0,2×2+m×(?2)+k×(?1)=0,解得m=2．
故答案为2．
14.【答案】?16
【解答】
解：因为直线l的一个方向向量d=(2,3,5)，平面α的一个法向量u=(?4,m,n)，l⊥α，则有d=(2,3,5)和u=(?4,m,n)平行，故有?42=m3=n5，解之得m=?6，n=?10，则m+n=?16.故答案为?16．
15.【答案】4
【解答】
解：因为α?//β，所以u//v，
即1?2=2?4=?2m，
解得m=4．
故答案为4．
16.【答案】x?y+2z+1=0
【解答】
解：由题意知AP⊥n，
所以AP·n=0，
因为AP=x,y?3,z?1，n=(1,?1,2)，
所以x?y?3+2z?1=0，
即x?y+2z+1=0．
故答案为x?y+2z+1=0．
17.【答案】证明：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz．
∵PC⊥平面ABCD，
∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，
∴∠PBC=30°．
∵PC=2，∴BC=23，PB=4，
∴D(0,1，0)，B(23,0，0)，A(23,4，0)，P(0,0，2)，M，
∴DP=(0,?1,2)，DA=(23,3，0)，
CM=(32,0，32).
(1)方法一令n=(x,y，z)为平面PAD的法向量，则DP·n=0DA·n=0即?y+2z=0,23x+3y=0,∴z=12yx=?32y
令y=2，得n=(?3,2，1)．
∵n·CM=?3×32+2×0+1×32=0，∴n⊥CM．
又CM?平面PAD，∴CM?//平面PAD．
方法二∵PD=(0,1，?2)，PA=(23,4，?2)．
令CM=xPD+yPA，
则32=23y0=x+4y,32=?2x?2y,解方程组得x=?1,y=14
∴CM=?PD+14PA．
由共面向量定理知CM与PD，PA共面，
又∵CM?平面PAD，
∴CM?//平面PAD．
(2)取AP的中点E，连接BE，
则E(3,2，1)，BE=(?3,2，1)．
∵PB=AB，∴BE⊥PA．
又∵BE·DA=(?3,2，1)·(23，3，0)=0，
∴BE⊥DA，∴BE⊥DA，又PA∩DA=A，
PA，DA?平面PAD，
∴BE⊥平面PAD，又∵BE?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD．
18.【答案】证明：以点D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
令正方体的棱长为2，则D(0,0，0)，A1(2,0，2)，B(2,2，0)，B1(2,2，2)，E(1,1，2)，F(1,2，1)，
(1)EF→=(0,1,?1),A1B→=(0,2,?2)，
因为A1B→=2EF→，所以A1B→//EF→，
所以EF//A1B；
(2)设平面A1BD的一个法向量为m→=(x,y,z)，
则A1B→·m→=0,DB→·m→=0，
即2y?2z=0，2x+2y=0，令x=1，则m=(1,?1,?1)，
因为m→·EF→=0，
所以EF//平面A1BD；
(3)由(2)，同理求出平面EFB1的一个法向量n=(1,?1,?1)，
所以平面B1EF//平面A1BD．
19.【答案】解：以A为原点，AB，AD，AA1?的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=a．
(Ⅰ)证明：A(0,0，0)，D(0,1，0)，D1(0,1，1)，Ea2,1,0，B1(a,0，1)，
故AD1=(0,1，1)，B1E=?a2,1,?1，
因为B1E·AD1=?a2×0+1×1+(?1)×1=0，所以B1E⊥AD1．
(Ⅱ)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP//平面B1AE，
此时DP=(0,?1,z0)，
再设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y，z)，
AB1=(a,0，1)，AE=a2,1,0．
因为n⊥平面B1AE，
所以n⊥AB1，n⊥AE，即ax+z=0,ax2+y=0,
取x=1，得y=?a2，z=?a，得平面B1AE的一个法向量n=1,?a2,?a．
要使DP//平面B1AE，只要n⊥DP，有a2?az0=0，解得z0=12．
又DP?平面B1AE，所以存在点P，满足DP//平面B1AE，此时AP=12．
20.【答案】解：(1)如图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A?xyz．
设D(0,a，0)，则B(6,0，0)，C(6,a，0)，P(0,0，6)，E(62,0，62).
因此，AE=(62,0，62)，BC=(0,a，0)，PC=(6,a，?6).
则AE?BC=0，AE?PC=0，
所以AE⊥BC,AE⊥PC，又BC∩PC=C，所以AE⊥平面PBC．
由AD//BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD//平面PBC．
故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为|AE|=3．
(2)设平面AEC的法向量为n1=(x1,y1,z1).
因为AE=(62,0，62)，AC=(6,3,0)．
所以62x1+62z1=06x1+3y1=0，令x1=?1，得y1=2，z1=1，所以n1=(?1,2,1)．
设平面EDC的法向量为n2=(x2,y2?z2)，
因为EC=(62,3,?62)，CD=(?6,0，0)，
所以62x2+3y2?62z2=0?6x2=0，令z2=2，得y2=1，所以n2=(0,1,2)．
由图可知二面角A?EC?D的平面角为一锐角，
所以二面角A?EC?D的平面角θ的余弦值为：cosθ=n1·n2n1·n2=222×3=63．