1.3.2 空间向量的运算坐标表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）

空间向量的运算坐标表示同步练习
一、选择题
已知空间向量a=(3,0，1)，b=(?2,1，n)，c=(1,2，3)且(a?c)·b=2，则向量a与b的夹角的余弦值为(? ? )
A. 21021 B. ?21021 C. 721 D. ?721
已知空间向量a=(1,?1,0)，b=(3,?2,1)，则|a+b|=(??? )
A. 5 B. 6 C. 5 D. 26
点M是棱长为3的正方体ABCD?A1B1C1D1中棱AB的中点，CN=2NC1，动点P在正方形AA1D1D(包括边界)内运动，且PB1//平面DMN，则PC的长度范围为（ ）
A. [13,19] B. [3355,19] C. [23,19] D. [3395,19]
若向量a=(1,λ,1),b=(2,?1,?2)，且a与b夹角的余弦值为26，则λ等于（ ）
A. ?2 B. 2 C. ?2或2 D. 2
二面角α?l?β为60°，A，B是棱l上的两点，AC，BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=a，BD=2a，则CD的长为（ ）
A. 2a B. 22a C. 5a D. 3a
如图，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=120°，∠DAA1=60°，则AC1=(????)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
在空间直角坐标系O?xyz中，O(0,0,0),?E(22,0,0),?F(0,22,0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足CO=CB=3，若cos=16，则OC?OF=(??? )
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
在空间直角坐标系中，已知点A4,?3,5，B?2,1,?7，则线段AB的中点坐标是（ ）
A. 2,?2,?2 B. 1,?1,?1 C. 1,1,1 D. 2,2,2
在空间直角坐标系O?xyz中，给出以下结论：①点A(1,3,?4)关于x轴的对称点的坐标为(?1,?3,4)；②点P(?1,2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标是(?1,2,?3)；③已知点A(?3,1,5)与点B(4,3,1)，则AB的中点坐标是12,2,3；④两点M(?1,1,2),N(1,3,3)间的距离为5.其中正确的是(??? )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
已知空间向量a=1,0,1，b=(1,1，n)a?b=3则向量a与λb(λ≠0)的夹角为(??? )
A. π6 B. π6或5π6 C. π3 D. π3或2π3
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，E为PB的中点，AD⊥AE，且PA=AB=2，AD=AE=1，则二面角B?EC?D的正弦值是(?? )
A. 33 B. 63 C. 32 D. 13
在空间直角坐标系O?xyz中，O(0,0,0),E(22,0,0),F(0,22,0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足|CO|=|CB|=3，若cos=16，，则OC?OF=(??? )
A. 9 B. 7 C. 5 D. 3
二、填空题
若a=(1,1,0)，b=(?1,0,2)，则与a+b同方向的单位向量坐标是________．
已知a→=2,?1,0，b→=k,0,1，若=60°，则k=________．
已知a=(4,2,?4)，b=(6,?3,3)，则|a?b|=______．
若向量a=(x,4,5)，b=(1,?2,2)，且a与b的夹角的余弦值为26，则实数x的值为??????????.
已知A(2,?5,1)，B(2,?4,2)，C(1,?4,1)，则AB与AC的夹角为________．
三、解答题
已知空间中三点A(2,0，?2)，B(1,?1,?2)，C(3,0，?4)，设a=AB，b=AC．
(I)若|c|=3，且c//BC，求向量c；
(II)已知向量ka+b与b互相垂直，求k的值；
(III)求△ABC的面积．
已知空间三点，，设，，
(1)求a和b的夹角θ；
(2)若向量ka+b与互相垂直，求k的值．
(3)求|a+3b|.
已知向量a=(1,2,?2)，b=(4,?2,4)，c=(3,m,n)．
(1)求a?b；
(2)若a//c，求m，n；
(3)求cos.
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点．
(1)求证：AE⊥平面A1BD；
(2)求二面角B?A1D?B1的余弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：∵向量a=(3,0，1)，b=(?2,1，n)，c=(1,2，3)，
∴a?c=2,?2,?2，
∵(a?c)·b=2，
∴2×?2+?2×1+?2×n=2，解得n=?4，
故b=(?2,1，?4)，
∴向量a与b的夹角的余弦值为：
cos=a?b|a|?|b|=3×?2+0×1+1×?432+02+12×?22+12+?42=?21021，
故选B．
2.【答案】D
【解答】
解：∵a=(1,?1,0)，?b=(3,?2,1)，
∴a+b=(4,?3,1)，∴|a+b|=42+(?3)2+12=26．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
平面DMN截正方体ABCD?A1B1C1D1的截面为梯形DMEN，其中ME//DN，BE=1，
取C1D1中点F，在DD1上取点H，使DH=2，在AA1上取点G，使AG=1，
则平面DMEN//平面B1FHG，
∵动点P在正方形AA1DD1(包括边界)内运动，且PB1//平面DMN，
∴P点的轨迹是线段GH，
易知G(3,0，1)，H(0,0，2)，C(0,3，0)，
∴GH=(?3,0，1)，GC=(?3,3，?1)，
∴点C到线段GH的距离d=|GC|?1?cos2GC,GH=19?1?(819×10)2=3355，
∴PC的长度的最小值为3353，
GC=19，HC=13，∴PC长度的最大值为19．
∴PC的长度范围为[3355,19].
4.【答案】A
【解析】解：∵向量a=(1,λ,1),b=(2,?1,?2)，
a与b夹角的余弦值为26，
∴cos=a?b|a|?|b|=?λ2+λ2?9=26，
解得λ=?2(λ=2舍去)．
故选：A．
5.【答案】A
【解答】
解：∵AC⊥l，BD⊥l，
∴=60°，且AC?BA=0，AB?BD=0，
∴CD=CA+AB+BD，
∴|CD|=(CA+AB+BD)2
=a2+a2+(2a)2+2a?2acos120°=2a．
故选A．
6.【答案】D
【解答】
解：?因为底面ABCD是平行四边形，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=120°，∠DAA1=60°，又?AC1=AB+AD+AA1，
所以?AC12=AB2+AD2+AA12+2AB·AD+2AB·AA1+2AD·AA1=1+1+1?2×12?2×12+2×12=2.．
因此AC1的长为2．
故选D．
7.【答案】D
【解答】
解：设C(x,y，z)，
因为O0,0,0,E22,0,0,F0,22,0，B为EF的中点，
则B(2,2,0)，
EF=(?22,22,0)，BC=(x?2,y?2,z)，
因为|CO|=|CB|=3，且cosEF,BC=16，
所以x2+y2+z2=(x?2)2+(y?2)2+z2=3,
?22(x?2)+22(y?2)+0×z4×3=16，
解得x=24,y=324,z=±312，
所以OC?OF=0×24+22×324±312×0=3，
故选D．
8.【答案】B
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点A的坐标为(4,?3,5)，点B的坐标为(?2,1，?7)，
则线段AB的中点坐标为(1,?1,?1)．
故选：B．
9.【答案】C
【解答】
解：①点A(1,3，?4)关于x轴的对称点的坐标为(1,?3,4)，故①错误；
②点P(?1,2，3)关于Oxy平面对称的点的坐标是(?1,2，?3)，故②正确；
③已知点A(?3,1，5)与点B(4,3，1)，则AB的中点坐标是(12,2，3)，故③正确；
④两点M(?1,1，2)、N(1,3，3)间的距离为：(1+1)2+(3?1)2+(3?2)2=3≠5，故④错误；
正确的是②③．
故选：C．
10.【答案】B
【解析】
【解答】
解：∵空间向量a=(1,0,1)，b=(1,1，n)，且a?b=3
则a?b=1+n=3，解得n=2，
代入得cos=a?b|a||b|=32×6=32．
又向量夹角范围：0,π，故a,b的夹角为π6，
则a与λb的夹角，当λ>0时为π6；λ<0时为5π6．
故选：B．
11.【答案】B
【解答】
解：∵底面ABCD为矩形，则AD⊥AB，又AD⊥AE，且AB∩AE=A，∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AP。
∵PA=AB=2，E为PB中点，AE=1，
则AP+AB=2?AP2+2AP·AB+AB2=4?AP·AB=0，即AB⊥AP．
以A为原点建立空间直角坐标系，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，
则B(2,0,0),E(22,0,22),C(2,1,0),D(0,1,0)，
BC=(0,1,0),EC=(22,1,?22),CD=(?2,0,0)，
设平面BEC的法向量为n=(x,y,z)，则n·BC=y=0n·CE=22x+y?22z=0，令x=1，则y=0，z=1，则n=(1,0,1)，
设平面DEC的法向量为m=(x,y,z)，则m·DC=?2x=0n·CE=22x+y?22z=0，令y=1，则x=0，z=2，则m=(0,1,2)，
cos=22×3=33，
则B?EC?D的正弦值为63，
故选B．
12.【答案】D
【解答】
解：设C(x,y，z)，因为O0,0,0,E22,0,0,F0,22,0，B为EF的中点，则B(2,2,0)，
EF=(?22,22,0)，BC=(x?2,y?2,z)，因为|CO|=|CB|=3，若cosEF,BC=16，
所以x2+y2+z2=(x?2)2+(y?2)2+z2=3,
?22(x?2)+22(y?2)+0×z4×3=16，
解得x=24,y=324,z=±312，
所以OC?OF=0×24+22×324±312×0=3，
故选D．
13.【答案】(0,55,255)
【解答】
解：∵??a?=(1,1,0),??b?=(?1,0,2)，
∴?a?+??b?=(0,1,2)，
∵与?a?+??b同方向的单位向量，
∴设单位向量为(0,m，2m)，m>0，
且m2+4m2=1，
解得m=?55?
∴与?a?+??b同方向的单位向量是(0,55,255)，??，
故答案为：(0,55,255)．
14.【答案】5511
【解答】
解：∵a=(2,?1,0)，b=(k,0，1)，=60°，
∵cos=a?b|a||b|，
∴cos60°=2k5(k2+1)=12，
解得k=5511，k=?5511(舍去)
故答案为5511．
15.【答案】78
【解析】解：∵a=(4,2,?4)，b=(6,?3,3)，
∴a?b=(?2,5，?7)，
∴|a?b|=(?2)2+52+(?7)2=78．
故答案为：78．
16.【答案】3
【解答】
解：∵向量a=(x,4,5)，b=(1,?2,2)，，
∴a?b=x?8+10=x+2，|a|=x2+42+52=41+x2，|b|=12+?22+22=3．
又a，b夹角的余弦值为26，
∴26=a?b|a|?|b|=x+241+x2×3，
解得x=3．
故答案为3．
17.【答案】π3
【解答】
解：AB=(2,?2,4)?(2,?5,1)=(0,3，3)，
AC=(1,?4,1)?(2,?5,1)=(?1,1，0)，
∴AB?AC=(0,3，3)?(?1，1，0)=0+3+0=3．
再由|AB|=32，|AC|=2，设向量AB与AC的夹角θ，
则有AB?AC=|AB|?|AC|cosθ=32?2?cosθ=6cosθ．
故有3=6cosθ，∴cosθ=12．
再由0≤θ≤π，可得θ=π3．
故答案为π3．
18.【答案】解：(I)BC=2,1,?2，由于c//BC，故可设c=(2n,n,?2n)，
故|c|=4n2+n2+4n2=3|n|=3，
解得n=±1，
故c为2,1,?2或?2,?1,2;
(II)a=AB=?1,?1,0,b=AC=1,0,?2，
ka+b=(1?k,?k,?2)，
由于ka+b与b垂直，
则(1?k,?k,?2)?(1,0,?2)=1?k+4=0,
所以k=5;
(III)依题意AB=?1,?1,0=2，AC=1,0,?2=5，BC=2,1,?2=3，
故由余弦定理得，
所以，
故三角形面积为．
19.【答案】解：(1)空间三点A(?2,0，2)，B(?1,1，2)，C(?3,0，3)．
设a=AB=(1,1，0)，b=AC=(?1,0，1)，
∴a?b=?1+0+0=?1，|a|=2，|b|=2，
∴cosθ=a?b|a|?|b|=?12=?12，
∵0≤θ≤π，∴θ=2π3．
(2)∵向量ka+b与互相垂直，
∴(ka+b)?(ka?b)=k2|a|2?|b|2=2k2?2=0，
解得k=±1．
(3)|a+3b|2=|a|2+9|b|2+6a?b=2+9×2+6×(?1)=14．
则|a+3b|2=14．
20.【答案】解：(1)因为a=(1,2,?2)，b=(4,?2,4)
所以a?b=(1?4,2+2,?2?4)=(?3,4，?6)；
(2)由a=(1,2,?2)，c=(3,m,n)，
当a//c时，31=m2=n?2，
解得m=6，n=?6；
(3)因为a=(1,2,?2)，b=(4,?2,4)，
所以a?b=1×4+2×(?2)+(?2)×4=?8，
|a|=12+22+(?2)2=3，|b|=42+(?2)2+42=6，
所以cos=a?b|a|×|b|=?83×6=?49．
21.【答案】证明：(1)直三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都是2，D，E分别是AC，CC1的中点，
取A1C1中点O为坐标原点，OA1为x轴，OD为y轴，OB1为z轴，建立空间直角坐标系，
A(1,2，0)，E(?1,1，0)，A1(1,0，0)，B(0,2，3)，D(0,2，0)，
AE=(?2,?1,0)，DB=(0,0，3)，DA1=(1,?2,0)，
∴AE?DB=0，AE?DA1=0，
∴AE⊥DB，AE⊥DA1，
∵DB∩DA1=D，∴AE⊥平面A1BD；
解：(2)∵AE⊥平面A1BD，∴AE=(?2,?1,0)是平面A1BD的法向量，
B1(0,0，3)，DA1=(1,?2,0)，DB1=(0,?2,3)，
设平面A1B1D的法向量m=(x,y，z)，
则m?DA1=x?2y=0m?DB1=?2y+3z=0，取y=1，得m=(2,1，23)，
∴二面角B?A1D?B1的余弦值为：
|cos|=|AE?m||AE|?|m|=55×193=28519．